2026届高考一轮复习基础练数学第六章数列（数学模型 2 数列模型的实际应用）

这是一份2026届高考一轮复习基础练数学第六章数列（数学模型 2 数列模型的实际应用），共7页。试卷主要包含了[人A选必二P26习题4，01等内容，欢迎下载使用。
数列模型应用问题的求解策略:认真审题,准确理解题意→依据问题情境,构造等差、等比数列,应用通项公式、数列性质、前 n 项和公式求解,或通过探索、归纳、构造递推数列求解 → 验证、反思结果与实际是否相符.
应用专练
1.[多选] [人 A 选必二 P26 习题 4.2 第 12 题变式] 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法 · 商功》中,后人称为 “三角垛”. “三角垛”的最上层有 1 个球, 第二层有 3 个球, 第三层有 6 个球……设第 n 层有 an 个球,从上往下 n 层球的总个数为 Sn ,则（）
A. S3=a4 B. an+1−an=n+32
C. an+1−an=n+1 D. a10=55
2.[多选] [人 A 选必二 P40 练习第 2 题变式] 某企业为一个高科技项目注入了启动资金 2000 万元,已知每年可获利 20%, 但由于竞争激烈, 每年年底需从利润中取出 200 万元资金进行科研、技术改造与广告投入,方能保持原有的利润增长率. 设经过 n 年之后,该项目的资金为 an 万元,则下列叙述正确的是（） lg2≈0.30,lg3≈ 0.48)
A. a1=2200
B. 数列 an 的递推关系式为 an+1=an× 1+20%
C. 数列 an−1000 为等比数列
D. 大约要经过 6 年, 该项目的资金才可以达到或超过翻一番 (为原来的 2 倍) 的目标
3.[人 A 选必二 P31 例 4 变式] 某单位用分期付款的方式为职工购买 40 套住房, 总房价 1 150 万元. 约定:2023 年 7 月 1 日先付款 150 万元,以后每月 1 日都交付 50 万元, 并加付此前欠款利息, 月利率 1%. 当付清全部房款时, 各次付款的总和为（）
A. 1205 万元 B. 1255 万元
C. 1305 万元 D. 1360 万元
变式探究
小李年初向银行贷款 M 万元用于购房,购房贷款的年利率为 P ,按复利计算,并从借款后次年年初开始归还, 分 10 次等额还清, 每年 1 次,则每年应还( )万元.
A. M10 B. MP1+P101+P10−1
C. M1+P1010 D. MP1+P91+P9−1
4.[多选] [人 A 选必二 P55 复习参考题 4 第 3(3)题变式]某同学为了画出漂亮的雪花, 将一个边长为 1 的正六边形进行线性分形. 如图,记图(n) 中所有正六边形的边长之和为 an ,若图(n)中每个正六边形的边长是图(n - 1)中每个正六边形的边长的 12 ,则下列结论正确的是（）
图(1) 图(2) 图(3)
A. 图(4)中共有 294 个正六边形
B. a4=10294
C. an 是一个递增的等比数列
D. 记 Sn 为数列 an 的前 n 项和,则对任意的 n∈N∗ 且 n≥2 ,都有 an>Sn−1
5.[人A选必二P26习题4.2第12题变式]中国古代"圭表"的日影长度记录构成数列an。已知： ①冬至影长a1=12.5尺，夏至a7=1.5尺 ②相邻节气影长差成等差数列 则（）
A.公差d=1.8尺
B.春分影长a4=7尺
C.立冬a10=13.7尺
D.全年影长和S₂₄=168尺
6.[多选][人A选必二P40练习第2题变式]某新能源汽车公司研发投入方案： • 初始投入100亿元 • 每年研发费增长20% • 每年利润提取固定50亿补充研发 设第n年研发资金为bn亿元，则（）
A.b₁=170亿
B.bₙ₊₁=1.2bₙ+50
C.bₙ=300×1.2ⁿ⁻¹-250
D.2026年研发资金首次超500亿
7.[人A选必二P31例4变式]某医院分期购买医疗设备，总价960万元：首付160万元,每月末付50万元加欠款1%利息,付清次数为（）
A.14次
B.16次
C.18次
D.20次
变式探究
小王助学贷款P元，年利率r，毕业次年始10年等额偿还，每年还（） A.P(1+r)¹⁰/10
B.Pr(1+r)¹⁰/[(1+r)¹⁰-1]
C.Pr/[1-(1+r)⁻¹⁰]
D.P(1+r)¹⁰r/10
8.[多选][人A选必二P55复习参考题4第3(3)题变式]科赫雪花分形迭代规则： • 第1代正三角形边长1,每代边数an=3×4n−1,每代边长bn=(13)n−1 则（）
A a3=48
B.周长Lₙ=3×(4/3)ⁿ⁻¹
C.面积极限为835
D.Lₙ/Sₙ=4n−13
数学模型 2 数列模型的实际应用参考答案及解析
1. 答案：ACD
解析：
由题意，第n层球数an=1+2+⋯+n=n(n+1)2，前n层和Sn=k=1nk(k+1)2。
S3=a1+a2+a3=1+3+6=10，a4=4×52=10，故S3=a4，A正确。
an+1−an=(n+1)(n+2)2−n(n+1)2=n+1，C正确，B错误。
a10=10×112=55，D正确。
2. 答案：ACD
解析：
a1=2000×(1+20%)−200=2200，A正确。
递推关系应为an+1=an×1.2−200，B错误。
变形得an+1−1000=1.2(an−1000)，故{an−1000}是首项1200、公比1.2的等比数列，C正确。
由an=1000+1200×1.2n−1≥4000，得1.2n−1≥52，两边取对数：(n−1)lg1.2≥lg5−lg2，而lg1.2=lg3+2lg2−1≈0.076，lg5=1−lg2≈0.7，解得n−1≈0.7−≈5.26，故n≈6.26，即6年后达到目标，D正确。
3. 答案：B
解析：
2023年7月1日付款150万元后，欠款1000万元。后续每月付款包括本金50万元和剩余欠款利息。设第k次付款时（k=1,2,⋯,20），欠款为1000−50(k−1)万元，利息为[1000−50(k−1)]×1%。
各次付款总和为：
150+k=12050+(1000−50(k−1))×0.01
化简得：
万元
150+20×50+0.01k=120(1050−50k)=150+1000+0.0120×1050−50×20×212=1255万元
变式探究：B
设每年还款x万元，贷款M万元按复利10年后本利和为M(1+P)10，而每年还款的本利和为x(1+P)9+x(1+P)8+⋯+x=x⋅(1+P)10−1P，故x=MP(1+P)10(1+P)10−1。
4. 答案：CD
解析：
图(n)中正六边形个数：图(1)1个，图(2)1+6=7个，图(3)7+6×6=43个，图(4)43+6×36=259个，A错误。
边长之和an：图(1)边长1，和为6×1=6；图(2)每个边长12，新增6个，和为6×1+6×6×12=6+18=24；图(3)边长14，新增6×6个，和为24+6×6×6×14=24+54=78；图(n)中每个层级的边长为(12)k−1，对应正六边形个数为6k−1（k=1到n），故an=k=1n6k−1×6×(12)k−1=6k=1n(3)k−1=6×3n−12=3(3n−1)，则a4=3(81−1)=240，B错误。
an=3(3n−1)是递增数列，但公比为3，是等比数列，C正确。
Sn−1=3(3n−1−1)，an=3(3n−1)=3×3n−1×3−3=9×3n−1−3，而Sn−1=3×3n−1−3，故an=3Sn−1+6>Sn−1，D正确。
5. 答案：B
解析：
冬至到夏至共7项，a1=12.5，a7=1.5，公差d=a7−a16=1.5−12.56=−116≈−1.83尺，A错误。
春分为第4项，a4=a1+3d=12.5+3×(−116)=12.5−5.5=7尺，B正确。
立冬为第10项，a10=a1+9d=12.5+9×(−116)=12.5−16.5=−4尺，显然不合理，C错误。
全年24节气，等差数列前24项和S24=24a1+24×232d=24×12.5+12×23×(−116)=300−506=−206，显然错误,D错误
6. 答案：AC
解析：
A正确：初始投入100亿元，第一年研发费增长20%为 100×1.2=120 亿元，加上利润提取50亿元补充，故 b1=120+50=170 亿元。
B错误：递推关系应为 bn+1=bn×1.2+50（每年研发费在上年基础上增长20%，再补充50亿）。
C正确：由递推式 bn+1+k=1.2(bn+k)，解得 k=250，故 {bn+250} 是首项 b1+250=420、公比1.2的等比数列，因此 bn=420×1.2n−1−250=300×1.2n−250（化简后）。
D错误：2025年为第1年（n=1），2026年为n=2，b2=300×1.22−250=300×1.44−250=432−250=182