广东省东莞市三校2024-2025学年高二下学期期中联考数学试题（Word版附解析）

这是一份广东省东莞市三校2024-2025学年高二下学期期中联考数学试题（Word版附解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．若曲线在点(0,)处的切线方程为，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
2．无人机集群智能灯光秀是一种集无人机技术和智能照明相结合的艺术表演.它利用大量无人机排列组合，加上灯光智能照明的“协作”，依据编程和算法，制造出惊人的3D视觉效果.如图，在某一次无人机灯光表演秀中，有8架无人机排布成如图形式，已知每架无人机均可以发出3种不同颜色的光，编号1至5号的无人机颜色必须相同，编号7、8号的无人机颜色必须相同，编号6号的无人机与其他无人机颜色均不相同，则这8架无人机同时发光时，一共可以有（ ）种灯光组合.
A．9B．12C．15D．18
3．下列求导运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．已知f1（x）=x，f2（x）=，，从以上三个函数中任意取两个相乘得到新函数，则所得新函数为奇函数的概率为
A．B．
C．D．
5．盒中有10个灯泡，其中有三个是坏的，现从盒中随机抽取4个，那么概率是的事件为（ ）
A．恰有1个是坏的B．4个全是好的
C．恰有2个是坏的D．至多有2个是坏的
6．为研究某池塘中水生植物的覆盖水塘面积（单位：）与水生植物的株数（单位：株）之间的相关关系，收集了4组数据，用模型去拟合与的关系，设与的数据如表格所示：得到与的线性回归方程，则（ ）
A．-2B．-1C．D．
7．已知随机变量服从正态分布，且，则等于（ ）
A．0.14B．0.62C．0.72D．0.86
8．若函数与的图像存在公共切线，则实数的最大值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知，，则（ ）
A．B．
C．D．
10．设函数则下列说法正确的有（ ）
A．函数仅有1个零点
B．是的极小值点
C．函数的对称中心为
D．过可以作三条直线与的图象相切
11．高尔顿钉板（或高尔顿板）是英国生物统计学家高尔顿设计的用来研究随机现象的模型．某游乐场根据“高尔顿钉板”模型，仿制了一款如图的游戏机：玩家投入一枚游戏币后，机器从上方放下一颗半径适当的小球，小球等可能的从第1层由2个钉子（图中圆点）隔出的3个空隙中落下，碰撞到下一层的钉子后等可能地从碰撞到的钉子左边或右边落下，如此继续下去，最后落入编号为①②…⑧的槽内，然后根据落下的结果发放奖品.设小球落入编号①②…⑧的槽内概率分别为则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．的最大值为D．的最小值为
三、填空题
12．对四组数据进行统计，依次获得如图所示的散点图．
关于其相关系数的大小比较，将0、、、、从小到大排列，应为 ．
13．小李经常参加健身运动，他周一去健身的概率为，周二去健身的概率为，且小李周一不去健身的条件下周二去的概率是周一去健身的条件下周二去的概率的2倍，则小李周一、周二都去健身的概率为 ．
14．已知随机变量，若最大，则 ．
四、解答题
15．现有编号为，，的3个不同的红球和编号为，的2个不同的白球.
(1)若将这些小球排成一排，要求球排在正中间，且，不相邻，则有多少种不同的排法？
(2)若将这些小球放入甲，乙，丙三个不同的盒子，每个盒子至少一个球，则有多少种不同的放法？（注：请列出解题过程，结果用数字表示）
16．已知函数.
(1)若是的极值点，求的值；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若恒成立，求a的取值范围；
17．某市从2015年起每年6月都举办一届民俗文化周，到2020年已举办了六届，据旅游部门统计在每届民俗文化周期间，吸引了不少外地游客，极大地推进了该市的旅游业发展，现将前五届民俗文化周期间外地游客的人数统计如下表：
(1)求关于的线性回归方程；
(2)据旅游部门统计在每届民俗文化周期间，每位外地游客可为本市增加100元左右的旅游收入，利用（1）中的线性回归方程，预测2023年第9届民俗文化周期间的外地游客可为本市增加的旅游收入为多少万元.
参考公式： ，.
18．质监部门从某超市销售的甲、乙两种食用油中分别各随机抽取桶检测某项质量指标，由检测结果得到如下的频率分布直方图：
(1)写出频率分布直方图（甲）中的值；记甲、乙两种食用油桶样本的质量指标的方差分别为，，试比较，的大小（只要求写出答案）；
(2)估计在甲、乙两种食用油中随机抽取桶，恰有一桶的质量指标大于的概率；
(3)由频率分布直方图可以认为，乙种食用油的质量指标值服从正态分布．其中近似为样本平均数，近似为样本方差，设表示从乙种食用油中随机抽取桶，其质量指标值位于的桶数，求的数学期望．
注：①同一组数据用该区问的中点值作代表，计算得
②若，则，．
19．已知函数，，设曲线在点处的切线方程为. 如果对任意的，均有：
①当时，；
②当时，；
③当时，，
则称为函数的一个“ʃ­-点”.
（1）判断是否是下列函数的“ʃ­-点”：
①； ②.（只需写出结论）
（2）设函数.
（ⅰ）若，证明：是函数的一个“ʃ­-点”；
（ⅱ）若函数存在“ʃ­-点”，直接写出的取值范围.
1．D
由可知切线的斜率为，所以切线方程为，又切线方程为，比较系数可得a，b的值．
【详解】因为，切点为(0,)，
所以切线的斜率为，则切线方程为，即，
又切线方程为，即，
所以，.
故选：D
2．B
根据分步乘法原理求解即可.
【详解】先考虑6号，有3种颜色可选.则剩下的1至5号有2种颜色可选，
号也有2种颜色可选，所以一共有种灯光组合.
故选：B
3．C
【详解】A. ，故A错；B. ，故B错；C. ，故C正确；D. ，故D错.
故选：C.
4．C
从三个函数中任意取两个相乘得到新函数，基本事件总数n＝,所得新函数为奇函数包含的基本事件个数m＝=2，所以根据概率计算公式p=求得概率为
【详解】解：∵f1（x）＝x是奇函数，
f2（x）＝ 是奇函数，
是偶函数，
从以上三个函数中任意取两个相乘得到新函数，
基本事件总数n＝，
所得新函数为奇函数包含的基本事件个数m＝＝2，
∴所得新函数为奇函数的概率p＝.
故选C．
5．C
根据超几何分布的概率公式，结合组合数公式求出每个选项对应的概率，即可求解.
【详解】盒子中有10个灯泡，现从盒子中随机抽取4个的总数为.
A：盒子中有10个灯泡，现从盒子中随机抽取4个，
恰好1个是坏的概率为，故A错误；
B：盒子中有10个灯泡，现从盒子中随机抽取4个，
4个全是好的概率为，故B错误；
C：盒子中有10个灯泡，现从盒子中随机抽取4个，
恰好2个是坏的概率为，故C正确；
D：盒子中有10个灯泡，现从盒子中随机抽取4个，
至多2个是坏的概率为，故D错误.
故选：C
6．C
根据已知条件，求得，进而代入回归方程可求得，从而得出，联立，即可求得本题答案.
【详解】由已知可得，，，
所以，有，解得，
所以，，
由，得，
所以，，则.
故选：C.
7．D
根据正态分布的性质进行计算即可.
【详解】随机变量服从正态分布，
且,
所以，
，
所以，
故选:D.
8．A
分别设公切线与和的切点，，根据导数的几何意义列式，再化简可得，再求导分析的最大值即可
【详解】，，
设公切线与的图像切于点，
与曲线切于点，
所以，
故，所以，
所以，
因为，故，
设，
则，令
当时，，当时，，
所以在上递增，在上递减，
所以，
所以实数a的最大值为e，
故选：A.
9．ACD
利用二项式定理，结合赋值逐项进行判断即可.
【详解】由，
所以的展开式中最高次项为次项，即，故A正确；
的展开式中，的系数为，的系数为，
则，故B错误；
令，得，故C正确；
令，得，
所以，，故D 正确；
故选：ACD.
10．ACD
先求导函数，根据导函数正负得出函数的单调性得出极值进而得出零点判断A，B；应用对称性定义计算判断C，先设切点再得出切线方程代入计算求参即可得出三个根判断D.
【详解】对AB，，，
当或时，，当时，，所以函数在，上单调递增，在上单调递减，
所以，，又，
所以函数仅有1个零点，且该零点在区间上，故A正确，B错误；
对C，由，得，
所以函数的图象关于对称，故C正确；
对D，设切点为，则，故切线方程为，
又过点，所以，整理得，
即，解得或或，所以过可以作三条直线与的图象相切，故D正确．
故选：ACD．
11．ABC
利用利用独立重复试验的概率公式和对称性求出.
【详解】依题意：小球从最上层3个缝隙落下的概率都相等，往后每一层左右两边落下的概率相同，由对称性可知，
，，
，，
所以A，B正确,
，
，故C正确，D错误.
故选：ABC.
12．
根据散点图直接求解即可.
【详解】由散点图可知，
所以.
故答案为:.
13．/
设“小李周一去健身”为事件A，设“小李周二去健身”为事件B，根据题意利用全概率公式可得，进而结合条件概率公式分析求解.
【详解】设“小李周一去健身”为事件A，设“小李周二去健身”为事件B，
则“小李周一、周二都去健身”为事件，
由题意可知：，，且，
由全概率公式可知：，
即，代入，
可解得，
所以.
故答案为：.
14．24
先根据解出，再根据二项分布的方差公式求出，再计算即可.
【详解】由题意知：，要使最大，有，
化简得，解得，故，又，
故.
故答案为：24.
15．(1)16
(2)150
（1）由特殊元素优先的原则，先排球，再排，两球，其余小球任意排；
（2）把5个小球分成3组，再进入3个盒子中.
【详解】（1）将这些小球排成一排，要求球排在正中间，且，不相邻，
则先把安在正中间位置，从的两侧各选一个位置插入、，其余小球任意排，
方法有种.
（2）将这些小球放入甲，乙，丙三个不同的盒子，每个盒子至少一个球，
则先把5个小球分成3组，再进入3个盒子中.
若按311分配，方法有种，
若按221分配，方法有种.
综上可得，方法共有种.
16．(1)
(2)答案见解析
(3)；
（1）由题意可得，从而可求出的值；
（2）求出函数的定义域，对函数求导后，分和两种情况讨论导数的正负，从而可求出函数的单调区间；
（3）将问题转化为恒成立，构造函数，利用导数求出其最大值，即可求出a的取值范围.
【详解】（1）由，得，
因为是的极值点，
所以，即，所以，经检验符合题意.
（2）.
当时，，所以在上单调递增；
当时，令，解得，
当时，；
当时，；
所以在上单调递增，在上单调递减，
综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；
（3）的定义域为，若恒成立，则恒成立，
即恒成立，
令，只需，又，
令得，
时，，则单调递增；
时，，则单调递减；
所以，解得：；
17．(1)
(2)2320万元
【详解】（1）由所给数据计算得：
，
，
，
，
，
，
所以所求的线性回归方程为.
（2）由（1）知，当时，，
于是预测2023年第9届民俗文化周期间的外地游客可达23万2千人，
由232 000×100＝23 200 000（元），
所以预测2023年第9届民俗文化周期间的外地游客可为本市增加的旅游收入达2 320万元.
18．(1)，
(2)
(3)
（1）根据频率之和为，即小矩形的面积为计算的值，根据图象判断乙的分布比较集中，方差小，甲波动大，方差大；
（2）根据频率分布直方图分布计算甲和乙两种食用油质量指标小于等于的频率，和大于的频率，将所求事件分为两种情况求概率；
（3）所求事件的概率为 ， ，根据二项分布求期望.
【详解】（1）由频率分布直方图可得：，解得；
记甲、乙两种食用油桶样本的质量指标的方差分别为，，
由频率分布直方图可得.
（2）设事件：在甲种食用油中随机抽取桶，其质量指标不大于，
事件：在乙种食用油中随机抽取桶，其质量指标不大于，
事件：在甲、乙两种食用油中随机抽取桶，恰有一个桶的质量指标不大于，且另一个不大于，
则，，
∴
（3）计算得：，
，由条件得，
从而，
∴从乙种食用油中随机抽取桶，其质量指标值位于的概率是，
根据题意得，
∴.
19．（1）①0是的“ʃ­-点”； ②0不是的“ʃ­-点”.（2）（ⅰ）证明见解析（ⅱ）
（1）根据“ʃ­-点”的定义进行判断，即可得结论;
（2）（ⅰ）先求导,再求在处的切线的方程为.令.在求导,讨论导数的符号可得函数的单调性.根据其单调性判断函数在时, 时,和时的符号即可.
（ⅱ）由（ⅰ）可知.
【详解】（1） ①0是的“ʃ­-点”；
②0不是的“ʃ­-点”.
（2）当时，，其定义域为，（）.
（ⅰ）证明：因为 ，，
所以 在点处的切线方程为，
即 .
令 ，
则 .
因为 ，所以 .
所以 函数是上的增函数.，且 ，
所以 当时，，即；
当时，，即；
当时，，即，
所以 是函数的 “ʃ­-点”.3
4
6
7
2
2.5
4.5
7
年份
2015年
2016年
2017年
2018年
2019年
民俗文化周届数编号
1
2
3
4
5
外地游客人数（单位：十万）
0.6
0.8
0.9
1.2
1.5
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
C
C
C
C
D
A
ACD
ACD
题号
11









答案
ABC