四川省绵阳外国语学校2024-2025学年高一下学期期末模拟考试数学试卷

这是一份四川省绵阳外国语学校2024-2025学年高一下学期期末模拟考试数学试卷，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题12．113．14． 2，解答题等内容，欢迎下载使用。
高一年级数学试卷
本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共 4 页。完卷时间：120 分钟。满分：150 分
第Ⅰ卷（选择题，共 58 分）
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1 i
在复平面内，对应的点位于（）
2  i
第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
已知  α ， csα  1 ，则sin2α （）
2
3
4
2
3
4
3
2
3
2
已知向量a  (1, 2) ， b  (2, 0) ， c  (0,1) ，若 → λ→ ，则λ （）
A．4B． 1
2
C．  1
2
a //(bc )
D．2
若 m，n 为两条直线，α 为一个平面，则下列结论中正确的是（）
若m / /α, n  α，则m // nB．若m / /α, n / /α，则m // n
若m / /α, n α，则m  n
若m / /α, n α，则 m 与 n 相交
已知ABC 中，角 A, B,C 的对边分别为a, b, c ，A  π ，b  2 ，S
3
ABC
 2
，则ABC
3
外接圆的面积为()
2πB． 4πC． 8πD．16π
已知三棱锥 A  BCD 内接于球O ， AB  BC  BD  4 ， CBD  60 ， AB  平面
BCD ，则球O 的表面积为（）
28π
​
3
25π
​
4
112π
​
3
60π
已知函数 f  x  Asin ωx φ A  0,ω 0, φ  π 在一个周期内
2 

的图象如图所示；若 y  f  x θ 为偶函数，则θ的值可以为（）
 π
3
 4πC． π
32
D． π
π
已知a ， b ， e 是平面向量， e 是单位向量，若非零向量a 与e 的夹角为 4 ，向量b 满
→2→ →→→
足b  6b  e  8  0 ，则 a  b 的最小值是（）
32 1
2
1
32 1
2
2 
2
2
二､多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
已知正方体 ABCD  A1B1C1D1 的棱长为 1，下列说法正确的是（ ）
BD1  DC1
BC1 与 B1D1 所成的角为60
3
1
BC 与平面 D DBB 所成的角为45D． C 到平面 BDC 的距离为
3
111
设点 M 是V ABC 所在平面内一点，下列说法正确的是（）
若 AB  BC  BC  CA  CA  AB ，则V ABC 的形状为等边三角形
––––→
若 AM 
1 –––→
AB 
1 –––→
AC ，则点 M 是边 BC 的中点
22
若 AC  AB  0 ，则V ABC 一定为锐角三角形
若 AM  2 AB  AC ，则点 M、B、C 三点共线
已知函数 f  x  sin ωx  π ω 0 在0, 2π上有且只有五个零点，下列结论中正
4 

确的是（）
f  x 的图象关于 x  π 对称B．在0, 2π上，方程 f  x  1 有 3 个根

 88 
ω的取值范围是 19 , 23 
f  x 在 0, π  上单调递增


20
第Ⅱ卷（非选择题，共 92 分）
三､填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
→→→→
3
已知向量 a ， b 满足 a  1， b

， a  2b
 3 ，则a  b 
已知a ， b ， c 分别是V ABC 的三个内角A ， B ， C 所对的边.若b  4 ， A  30∘ ，写出一个a 值，使满足条件的V ABC 有 2 个，则a 取值范围是
2
在三棱锥 P  ABC 中，PA  平面 ABC, PA  AB  AC  2, BC  2
，点 D 为aPAB
内（包含边界）一点，且 BD  CD ，则点 D 的轨迹的长度为．
四､解答题：共 77 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15（13 分）．如图，在△OAB 中，P 为线段 AB 上的一个动点（不含端点），且满足 AP  λPB ．
3
若λ 1 ，用向量OA ， OB 表示OP ；
在（1）的条件下，若| OA | 6 ， | OB | 2 ，且AOB  120 ，求OP  AB 的值
16（15 分）如图，观测站C 在目标A 的南偏西20 方向，经过A 处有一条南偏东40 走向
的公路，在C 处观测到与C 相距 31km 的 B 处有一人正沿此公路向A 处行走，走 20km 到达 D 处，此时测得C ， D 相距 21km.
求sin BDC ；
求 D，A 之间的距离.
17（15 分）．已知函数 y 
f (x)  sin2 x 
3 sin x cs x  1 .
2
求函数 y 
求函数 y 
f (x) 的单调递增区间；
f (x) 在区间0, 2π  的值域；
3 
已知函数h  x 
f  x  π  ，若不等式cs x  h(x)  m  0 在0, π  上恒成立，求实数m
6 
2 

的取值范围.
18（17 分）．已知如图甲，在梯形 ABCD 中， AD//BC ， ABC  BAD  π ，
2
AB  BC  2 AD  4 ，E，F 分别是 AB ，CD 的中点， EF //BC ，沿 EF 将梯形 ABCD 翻折，使平面 AEFD  平面 EBCF （如图乙）．
证明： EF  平面 ABE ；
求点 E 到平面 ABF 的距离；
求二面角 D  BF  E 的正切值．
19（17 分）．如图几何体是圆柱的一部分，它是由矩形 ABCD（及其内部）以 AB 边所在直 线为旋转轴旋转120 得到的.已知 AD  2 ， AB  4 ，P 是C‸E 上的中点，Q 是 AC 的中点， BP 与 CE 交于点 O.
求该几何体的表面积；
求证： FD  AO ；
若 M 是 D‸F 上的一点，且满足平面OMQ// 平面 ABEF，求
sin FAM 的值
绵阳外国语学校 2024～2025 学年下期期末模拟教学质量检测
高一年级数学试卷参考答案
一．单选题1.D2.C3.A4.C5B6C7 B8A
二、多选题9ABD10ABD11.BCD
π
三、填空题12．113．（2，4）14． 2
四、解答题
–––→
λ –––→
【详解】（1）因为 AP  λPB ，所以 AP  λ1 AB ，
–––→–––→–––→–––→λ–––→–––→1–––→λ –––→
所以OP  OA  AP  OA  λ1 OB  OA  λ1 OA  λ1 OB ，
当λ 1
–––→
时， OP 
3 –––→
OA 
1 –––→
OB ．
344
–––→
3 –––→
1 –––→
–––→ –––→
 3 –––→
1 –––→ 
–––→–––→
由（1）可知OP  OA  OB ，所以OP  AB   OA  OB   OB  OA
OA  OB 
| OB |
．
44 44
  3
uur
| OA |

2
1 uur uuur
1 uuur 2
424
因为| OA | 6 ， | OB | 2 ， AOB  120 ，
–––→ –––→31
1 1

所以OP  AB   4  36  2  6  2   2   4  4  29 ，
【详解】（1）由题意知： BD  20km ， CD  21km ， BC  31km
BD2  CD2  BC 2400  441 9611
在 BCD 中，由余弦定理cs BDC  
2BD  CD2  20  217
1 cs2 BDC
4 3
7
因为0  BDC  180 ,所以sin BDC 
7
（2）Q cs CDA  cs 180  BDC   cs BDC  1 ， 0  CDA  180 ,
1 cs2 CDA
4 3
7
sin CDA ，由题意知： CAD  20  40  60
在aACD 中，由正弦定理得：
CD
sin CAD
AC

sin ADC
，所以 AC  24km
由余弦定理得： AD2  CD2  2 AD  CD cs ADC  AC 2 ，
即 AD2  441 6 AD  576 ，解得： AD  15km 或 AD  9km （舍）
 D ， A 之间的距离为15km
【详解】（1） f (x)  sin2 x 
3 sin x cs x  1
2
 1  cs 2x 3 sin 2x  1  sin  2x  π  ，
6 
222
令2kπ π  2x  π 2kπ π ， k  Z ,得kπ  π  x  kπ  π ， k  Z ,
26263
故单调递增区间为kπ  π , kπ  π  , k  Z .
63 
（2）当 x  0, 2π  时， 2x  π   π , 7π  ，所以 f (x)  sin  2x  π   1 ,1 ，故值
3 
6
66 
6 2

域为 1 ,1 .
2
由题意得

π 
1 29
4
8
m  cs x  sin  2x    cs 2x  cs x  2 cs2 x  cs x 1  2 cs x   
2 
1 29
π 
4
设 g  x  2 cs x  

 8 当 x  0, 2  时，则cs x [0,1] ，则
 min 2 4
 π  1 2
g xg  2  

 9  1所以m  1.
8
【详解】（1）在直角梯形 ABCD 中，因为ABC  BAD  π ，故 AB  AD ，
2
AB  BC .
又 E，F 分别是 AB ， CD 的中点，所以 EF / / BC ，所以 EF  AB .
所以在折叠后的几何体中，有 EF  AE ， EF  BE ，
AE I
BE  E ， AE, BE  平面 ABE ，所以 EF  平面 ABE .
如图：因为平面 AEFD  平面 EBCF ，平面 AEFD 平面 EBCF  EF ， AE  平面 AEFD ， AE  EF ，所以 AE  平面 EBCF .
因为 BE  平面 EBCF ，所以 AE  BE .
4  9
13
所以 EA, EB, EF 两两垂直，且 EA  EB  2 ， EF  3 .
2
22
所以△ABF 中， AB  2
， FA  FB .
13  2
所以 S 1  2 2 
.
a ABF2
又VA BEF
 1 S 3
a BEF
 EA  1  1  2  3 2  2 .
32
设点 E 到平面 ABF 的距离为h ，
则VABEF  VE ABF
 1 S 3
a ABF
 h  2  h 6
 3 22 .
11
22
即点 E 到平面 ABF 的距离为 3 22 .
11
过 D 作 DG  EF 于点G ，过G 作GH  BF 于点 H ，连接 DH .
因为平面 AEFD  平面 EBCF ，所以 DG  平面 BCFE ， BF  平面 BCFE ，所以 DG  BF ，又GH  BF ， DG, GH 是平面 DGH 内的两条相交直线， 所以 BF  平面 DGH ，所以DHG 即为二面角 D  BF  E 的平面角.
因为aFHG ~aFEB ，所以 FG  HG
FBEB
 HG  1 2  2 13 .
13
13
在RtaDGH 中，
tan DHG 
2
2 13
13

13
.
13
即二面角 D  BF  E 的正切值为.
【详解】（1）几何体的表面积上下两个扇形的面积之和为： 2  1  2π  22  8π
233
两个矩形面积之和为： 2  2  4  16 侧面圆弧段的面积为： 2π  2  4  16π
33
故这个几何体的表面积为： 8π  16π 16  16  8π
33
连接CE ，因为 BE  BC ，所以 BP  EC ，直线 AB  平面 BCE ， CE  平面 BCE ，所以 AB ^
CE ，
AB ∩ BP  B, AB, BP  平面 ABP ，CE  平面 ABP ，AO 平面
ABP ，
所以CE  AO ，因为 EF / /CD, EF  CD, 所以 EFDC 是平行四边形，所以 FD / /CE ，所以 FD  AO ；
连接 OM，QM，因为平面OMQ / / 平面 ABEF，
设平面OMQ ∩ 平面 ABCD  HG ，又平面 ABEF  平面 ABCD  AB ，则 HG / / AB ， 因为 Q 是 AC 的中点，所以 H 为 BC 的中点， G 为 AD 的中点，
因为平面OMQ ∩ 平面 ADF  MG ，
又平面 ABEF  平面 ADF  AF ，平面OMQ// 平面 ABEF，所以GM / / AF ，
又FAD  120 ，所以AGM
因为 AG  1， AM  2 ，
在aAGM 中，由正弦定理可得
 60 ，
AGAM，
3
1 2
sinAMG
sinAGM
所以 sinAMG3 ，所以sinAMG ，因为 GM / / AF ，所以FAM
 AMG ，
24
所以sinFAM 3 .
4