专题05 二次根式-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（苏科版）（原卷版+解析版）

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考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢
重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺
难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升
复习提升：真题感知+提升专练，全面突破
核心考点聚焦
1、二次根式有意义的条件
2、利用二次根式的性质化简
3、二次根式的混合运算
4、无理数的大小估算
5、同类二次根式
6、二次根式应用
中考考点聚焦
一．二次根式的相关概念
二次根式的概念：一般地，我们把形如a（?≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，二次根号下的数叫做被开方数．
最简二次根式：开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
同类二次根式的概念：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式.
二次根式的性质与化简

二次根式的化简方法：
1）利用二次根式的基本性质进行化简；
2） 利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．ab =a•b （a≥0，b≥0），ab =ab （a≥0，b＞0）
化简二次根式的步骤：
1）把被开方数分解因式；
2）利用积的算术平方根的性质，把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平方根的积；
3）化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2
三.二次根式运算
乘法法则: 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即：ab =a•b （a≥0，b≥0）.
除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即：ab=ab（a≥0，b＞0）.
加减法法则：先把各个二次根式化为最简二次根式后，再将被开方数相同的二次根式合并.
【口诀】一化、二找、三合并.
分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程.
【分母有理化方法】
1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即：1a=aa•a=aa
2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分.
即：1a−b=a+b(a−b)(a+b)=a+ba−b；
混合运算顺序：先乘方、再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)．
【题型1利用二次根式的性质化简】
1．（24-25九年级上·四川宜宾·期末）若x3−x=x⋅3−x，化简x+12+x−4的结果是（ ）
A．−3B．5C．2x−3D．3−2x
2．（24-25八年级上·黑龙江绥化·期末）已知10，求代数式x+9x最小值．
解：令a=x，b=9x，则由a+b≥2ab，得x+9x≥2x⋅9x=6．
当且仅当x=9x，即x=3时，代数式取到最小值，最小值为6．
根据以上材料解答下列问题：
【灵活运用】
（1）已知x>0，则当x= 时，代数式x+2x到最小值，最小值为________．
（2）已知x>0，求代数式2x2−5x+3x的最小值．
【拓展运用】
（3）某校要对操场的一个区域进行改造，利用一面足够长的墙体将该区域用围栏围成中间隔有两道围栏的矩形花圃，如图所示，为了围成面积为500平方米的花圃，所用的围栏至少为多少米？
真题感知
1．（2024·山东济宁·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A．2+3=5B．2×5=10
C．2÷2=1D．(−5)2=−5
2．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）实数a,b在数轴上的对应位置如图所示，则(a−b)2−b−a−2的化简结果是（ ）
A．2B．2a−2C．2−2bD．-2
3．（2024·四川乐山·中考真题）已知10,a±2b>0)化简呢？如能找到两个数m，nm>0，n>0，使得m2+n2=a，即m＋n=a，且使m·n=b，即m⋅n=b，那么a±2b=m±n，双重二次根式得以化简；
例如化简：3+22；
∵3=1+2且2=1×2，
∴3+22=12+22+21×2，
∴3+22=1+2．
由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成a±2b的形式，且能找到m，nm>0，n>0使得m＋n=a，且m⋅n=b，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式．请通过阅读上述材料，完成下列问题：
(1)填空：5−26=__________；12+235=__________；
(2)化简：①9+62；②16−415．
3．（23-24八年级下·安徽淮北·期中）已知，a=6+3，b=6−3，求值：
(1)ab
(2)a2−3ab+b2
4．（24-25八年级上·全国·期末）有理数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简：a2+(a−b)2−3(a+b)3−|b−c|．
5．（24-25八年级上·广东茂名·期中）我们知道2+12−1=22−12=2−1=1，因此想要化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式，分母就变成了有理数，这就是分母有理化．例如：
12−1=1×2+12−12+1=2+122−12=2+1
16+5=1×6−56+56−5=6−562−52=6−5
请仿照以上方法，解决如下问题
(1)化简17+6；
(2)计算11+2+12+3+13+4+⋅⋅⋅+198+99+199+100．
6．（24-25八年级上·宁夏中卫·期中）阅读材料：像5+2×5−2=1,a⋅a=aa≥0,⋯⋯这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．
如：12−1=2+12−1×2+1=2+1，
请你解决如下问题：
(1)3+2的有理化因式是____________，16+5=____________．
(2)化简13+2+14+3+15+4+⋯+12023+2022．
(3)数学课上，老师出了一道题“已知a=12−1，求3a2−6a−1的值．”
聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答：
因为a=12−1=2+12−1×2+1=2+1 所以a−1=2．
所以(a−1)2=2，所以a2−2a+1=2，所以a2−2a=1，所以3a2−6a=3，所以3a2−6a−1=2
利用上述方法：若a=23−7，求−2a2+12a+3的值．
常考考点
真题举例
二次根式有意义的条件
2024·江苏徐州·中考真题
利用二次根式的性质化简
2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题
二次根式的混合运算
2024·山东威海·中考真题
无理数的大小估算
2023·重庆·中考真题
同类二次根式
2023·山东烟台·中考真题