人教A版高二数学选修第二册一元函数的导数及其应用全章十大基础题型归纳（基础篇）（原卷版+解析版）

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1．（23-24高二下·陕西渭南·期中）某质点沿直线运动，其位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为y(t)=t2+2t，则该质点在1≤t≤3这段时间内的平均速度为（ ）
A．6m/sB．7m/sC．8m/sD．9m/s
【解题思路】根据平均速度的计算方法，列式计算，即可得答案.
【解答过程】由题意知位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为yt=t2+2t，
则该质点在1≤t≤3这段时间内的平均速度为ΔyΔt=y3−y13−1=32+2×3−1−22=6（ms）.
故选：A.
2．（23-24高二下·福建厦门·期中）如果质点A运动的位移S（单位：m）与时间t（单位：s）之间的函数关系是St=−2t，那么该质点在t=3s时的瞬时速度为（ ）
A．−23B．23C．−29D．29
【解题思路】根据瞬时变化率的定义求解即可.
【解答过程】ΔSΔt=S3+Δt−S3Δt=−23+Δt+23Δt=233+Δt，
所以limΔt→0ΔSΔt=limΔt→0233+Δt=29.
故选：D.
3．（23-24高二·全国·课后作业）一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s=3t−t2（位移：m，时间：s）.
(1)求此物体的初速度；
(2)求此物体在t=2时的瞬时速度；
(3)求t=0到t=2时的平均速度.
【解题思路】（1）根据初速度的定义求解即可，
（2）根据瞬时速度的定义求解即可，
（3）根据平均速度的定义求解即可.
【解答过程】（1）初速度v0=limΔt→0s(Δt)−s(0)Δt
=limΔt→03Δt−(Δt)2Δt
=limΔt→0(3−Δt)=3(m/s)
（2）v=limΔt→0s(2+Δt)−s(2)Δt
=limΔt→03(2+Δt)−(2+Δt)2−(3×2−4)Δt
=limΔt→0−(Δt)2−ΔtΔt
=limΔt→0(−Δt−1)=−1(m/s)，
所以此物体在t=2时的瞬时速度为−1m/s，方向与初速度方向相反，
（3）v=s(2)−s(0)2−0=6−4−02=1(m/s)，
所以t=0到t=2时的平均速度为1m/s.
4．（23-24高二上·上海·课后作业）自由落体运动中，物体下落的距离d（单位：m）与时间t（单位：s）近似满足函数关系d=5t2．
(1)求物体在2,4时间段内的平均速度；
(2)求物体在t=3时的瞬时速度；
(3)求物体在t=aa>0时的瞬时速度．
【解题思路】（1）由平均速度计算公式即可知物体在2,4时间段内的平均速度为30m/s；
（2）根据导函数定义可知物体在t=3时的瞬时速度为30m/s；
（3）根据（2）中的结论可知将t=aa>0代入计算即可求得结果.
【解答过程】（1）由d=5t2可知，第4s时的距离为d4=5×42=80；
第2s时的距离为d2=5×22=20；
所以平均速度为v=d4−d24−2=80−204−2=30m/s
（2）根据导数的定义可知
v=limΔt→0ΔdΔt=limΔt→05t+Δt2−5t2Δt=limΔt→010tΔt+5Δt2Δt=limΔt→010t+5Δt=10t；
所以物体在t=3时的瞬时速度为v=10t=30m/s；
（3）由（2）的结论可知，物体在t=aa>0时的瞬时速度v=10am/s.
题型2
利用导数的定义解题
1．（23-24高二下·四川凉山·期中）设函数f(x)在x=x0处可导，且满足limΔx→0fx0+Δx−fx02Δx=12，则f′x0=（ ）
A．2B．1C．-1D．-2
【解题思路】由导数的概念求解即可得.
【解答过程】f′x0=limΔx→0fx0+Δx−fx0Δx=2limΔx→0fx0+Δx−fx02Δx=2×12=1.
故选：B.
2．（23-24高二下·江西赣州·期中）设fx存在导函数且满足limΔx→0f1−f1−2Δx2Δx=−1，则曲线y=fx上的点1,f1处的切线的斜率为（ ）
A．−1B．−2C．1D．2
【解题思路】由导数的定义及几何意义即可求解.
【解答过程】解：因为fx存在导函数且满足limΔx→0f1−f1−2Δx2Δx=limΔx→0f1−f1−2Δx1−1−2Δx=−1，
所以f′1=−1，即曲线y=fx上的点1,f1处的切线的斜率为−1，
故选：A.
3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数fx=3x2−x，求lim△x→0f1+△x−f1−△x△x．
【解题思路】先求得f1+Δx−f1−Δx=10Δx，故可求题设的极限.
【解答过程】因为fx=3x2−x，所以:
f1+Δx−f1−Δx=3(1+Δx)2−1+Δx−3(1−Δx)2+1−Δx=10Δx，
故limΔx→0f1+Δx−f1−ΔxΔx=lim△x→010ΔxΔx=10．
4．（23-24高二·全国·课后作业）已知函数f(x)＝{−1x,x>0,1+x2,x≤0求f′(4)⋅f′(−1)的值．
【解题思路】根据导数的定义f′(x0)=limΔx→0ΔyΔx ,分别求出f′(4)=116，f′(−1)=−2，即可得到答案.
【解答过程】当x=4 时，Δy=−14+Δx+14=12−14+Δx=4+Δx−224+Δx
=Δx24+Δx（4+Δx+2）
∴ΔyΔx=124+Δx(4+Δx+2)
∴limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0124+Δx(4+Δx+2)=12×4×(4+2)=116
∴f′(4)=116
当x=−1 时，ΔyΔx=f(−1+Δx)−f(−1)Δx=1+(−1+Δx)2−1−(−1)2Δx=Δx−2
由导数的定义，得f′(−1)=limΔx→0(Δx−2)=−2，
∴ f′(4)⋅f′(−1)=116×(−2)=−18.
题型3
函数图象与导函数的关系
1．（23-24高二下·广东茂名·期中）函数f(x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是（ ）
A．f′(1)>f′(2)>f′(3)>0B．f′(1)f′(3).
故选：D.
2．（23-24高二下·陕西渭南·期末）已知函数fx的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．00，12时，xa时，f'(x)>0；20；a