苏科版2025年新七年级数学暑假培优练暑假作业03幂的运算(知识梳理+7大题型+拓展突破)(原卷版+解析)

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知识点01 同底数幂的乘法性质
(其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
（1）公式的推广：（都是正整数）.
（2）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即（都是正整数）.
知识点02 幂的乘方法则:
(其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.
（1）公式的推广： (，均为正整数).
（2）逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形.
知识点03 积的乘方法则
(其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
（1）公式的推广： (为正整数).
（2）逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是底数互为倒数时，计算更简便.
知识点04 同底数幂的除法法则
同底数幂相除，底数不变，指数相减，即（≠0，都是正整数，并且）。
注意：幂运算中底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.
知识点05 零指数幂
任何不等于0的数的0次幂都等于1.即（≠0）
底数不能为0，无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.因此常数项也叫0次单项式.
知识点06 负整数指数幂
任何不等于零的数的（为正整数）次幂，等于这个数的次幂的倒数，即（≠0，是正整数）.
知识点07 科学记数法的一般形式
（1）把一个绝对值大于10的数表示成的形式，其中是正整数，
（2）利用10的负整数次幂表示一些绝对值较小的数，即的形式，其中是正整数，.
用以上两种形式表示数的方法，叫做科学记数法.
题型一 同底数幂的乘法
1．若，，则的值是（ ）
A．10B．7C．5D．3
【答案】A
【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆用，将变形为，代入数值计算即可，掌握同底数幂乘法的逆用是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
故选：A．
2．计算的结果等于 ．
【答案】
【分析】本题考查同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据同底数幂的乘法法则进行解题即可．
【详解】解：．
故答案为：
3．已知，求x的值．
【答案】
【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，利用幂的乘方的法则进行整理，即可得到关于的方程，解方程即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
解得：
题型二 幂的乘方
1．可以表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了合并同类项，幂的乘方和同底数的乘法运算，根据合并同类项，幂的乘方和同底数的乘法运算逐项判断即可．
【详解】A. 不是同类项，不能合并，不符合题意；
B. 不是同类项，不能合并，不符合题意；
C. ，不符合题意；
D. ，符合题意；
故选：D．
2．已知， 计算的值
【答案】8
【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法运算，掌握整式的运算法则是解题的关键．
根据题意可得，再根据同底数幂的乘法运算即可求解．
【详解】解：
，
故答案为： ．
3．计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)0
【分析】此题主要考查了幂的乘方运算以及同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键．
（1）首先利用幂的乘方运算化简，进而利用同底数幂的乘法运算得出即可；
（2）首先利用幂的乘方运算化简，进而利用同底数幂的乘法运算法则以及合并同类项法则得出即可．
【详解】（1）
；
（2）
．
题型三 积的乘方
1．计算的结果是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查积的乘方和同底数幂的乘法，运用积的乘方和同底数幂的乘法法则求出结果再判断即可
【详解】解：
，
故选：C
2．已知，，则 ．
【答案】6
【分析】利用幂的乘方与积的乘方的法则，进行计算即可解答．本题考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握幂的乘方与积的乘方的法则是解题的关键．
【详解】解：，，
，
故答案为：6．
3．若且，、是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题：
(1)若，求的值．
(2)若，，用含的代数式表示．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，解题的关键是熟练利用幂的乘方与积的乘方对式子进行变形．
（1）由题意得出，即可得出答案；
（2）将代入可得答案．
【详解】（1）解：．
，
，
；
（2）解：，
，
．
题型四 同底数幂的除法
1．已知，，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了同底数幂的除法的逆运算，幂的乘方的逆运算，关键是灵活应用同底数幂的除法和幂的乘方公式进行变形．根据同底数幂的除法和幂的乘方公式进行转化，再整体代入计算便可．
【详解】解：∵，，
∴．
故选A．
2．若，则 ．
【答案】9
【分析】本题考查求代数式的值，解题的关键是将已知式子两边化为同底数的幂．将已知式子两边化为同底数的幂，即可列出关于、的方程，从而求解．
【详解】解：，
，
，
故答案为：9．
3．已知，求的值．
【答案】
【分析】本题考查幂的乘方和同底数幂的乘法、除法，掌握运算法则和运算顺序是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
解得，
∴．
题型五 零指数幂
1．若等式成立，那么满足等式成立的的值得个数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】A
【分析】本题考查零指数幂以及有理数的乘方，理解“任何不为0的零次幂都等于1，1的任何次幂都等于1，的偶次幂等于1”是解决问题的关键．
【详解】解：根据任何不为0的零次幂都等于1可得，，解得，
而时，，因此符合题意；
由1的任何次幂都等于1可得，，解得，因此符合题意；
由的偶次幂等于1可得，解得，当时，不是偶数，因此不符合题意；
综上所述或，共2个，
故选：A．
2． ．
【答案】
【分析】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，利用负整数指数幂，零指数幂的意义计算即可．
【详解】解：原式
，
故答案为：．
3．已知，求整数的值．（提示：分类考虑）
【答案】整数的值为0或
【分析】本题主要考查了有理数的乘方．①当时；②当时；③当，且时，根据题意判断是否符合条件，从而求得的值．
【详解】解：当，即时，，
∴；
当，，即且时，，
∴；
当，即时，，
∴；
综上，整数的值为0或．
题型六 负整数指数幂
1．计算下列各式，结果为负数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了正、负数的意义，有理数的乘方及负整数幂的运算，根据运算法则计算判断即可．
【详解】解：A、，为正数，不符合题意；
B、，为负数，符合题意；
C、，为正数，不符合题意；
D、，为正数，不符合题意；
故选：B．
2．计算： ．
【答案】
【分析】本题主要考查零次幂和负整数指数幂，根据零次幂和负整数指数幂去处法则进行计算后再进行减法运算即可
【详解】解：，
故答案为：
3．计算：．
【答案】3
【分析】本题考查了负整数指数幂，以及零次幂，绝对值，先化简负整数指数幂，以及零次幂，绝对值，再运算加减，即可作答．
【详解】解：
．
题型七 科学记数法
1．华为海思麒麟990（5G）采用的是7纳米工艺制程，纳米是一个长度单位，7纳米是指芯片线路宽度，其宽度越小，对制作工艺要求越高，已知1纳米是千分之一微米，一微米是百万分之一米，如果将纳米换算成国际标准长度单位米，那么7纳米用科学记数法可表示为（ ）
A．米B．米C．米D．米
【答案】A
【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】由题意可得1纳米等于米，故7纳米等于米．
故选：A
2．我国北斗公司的北斗定位芯片问世，该芯片的制造工艺达到了米米用科学记数法表示为 米．
【答案】
【分析】根据“科学记数法表示较小的数，一般形式为，，n为整数，n由原数左边起第一个不为0的数字前面的0的个数所决定”，进行求解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
3．细菌是非常小的微生物，其中杆菌可以算较大的个体，但让70个杆菌“头尾相连”排成一列，刚抵上一根直径为的头发丝的宽度，这种杆菌每个大约有多长？
【答案】
【分析】此题考查了科学记数法表示绝对值小于1的数，用直径除以总个数，再用科学记数法表示即可得到答案．
【详解】解：．
故这种杆菌每个大约有长．
1．（2024年江苏省南京市秦淮区中考二模数学试题）下列计算，结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了同底数幂乘除法，幂的乘方和合并同类项，根据同底数幂乘除法，幂的乘方和合并同类项法则逐项判断即可，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】、，原选项计算错误，不符合题意；
、，原选项计算正确，符合题意；
、，原选项计算错误，不符合题意；
、，原选项计算错误，不符合题意；
故选：．
2．（第8章幂的运算易错（5个考点30题专练）-2023-2024学年七年级数学下学期考试满分全攻略高频考点 重难点讲练与测试（苏科版））若，则 （ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】本题考查同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方等知识点，灵活运用所学知识进行变形成为解题的关键．
将等式两边分别整理成以10为底的幂，然后再对比其指数作答即可．
【详解】解：
．
，
，
．
故选：D．
3．（2024年江苏省东台市中考一模数学试题）下列运算：①；②；③；④；正确的是（ ）
A．②③④B．①②③C．①②④D．①③④
【答案】D
【分析】本题考查幂的运算，根据同底数幂的乘除法、积的乘方运算法则计算后判断即可．
【详解】①，计算正确；
②，计算错误；
③，计算正确；
④，计算正确；
∴正确的是①③④，
故选：D．
4．（江苏省无锡市宜兴市2023-2024学年七年级下学期期中考试数学试题）已知，，，则的值为（ ）
A．1B．3C．729D．9
【答案】A
【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，幂的乘方的逆运算，同底数幂乘除法计算，先根据幂的乘方计算法则求出，，再由同底数幂乘除法计算法则求出，则．
【详解】解：∵，，，
∴，，，
∴，，
∴
∴，
故选：A．
5．（江苏省宿迁市沭阳如东实验学校2023-2024学年七年级上学期1月考前模拟数学试题）观察等式：；；…已知按一定规律排列的一组数：、、、…、、．若，用含m的式子表示这组数的和是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查数字类规律探索以及幂的乘方，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的难点在于得出规律：．由等式：；；，得出规律：，那么，将规律代入计算即可．
【详解】∵；
；
…
∴，
∴
，
∵
∴，
∴原式．
故选：D．
6．（江苏省镇江市外国语学校2023-2024学年七年级下学期期中数学试题） ．
【答案】/
【分析】本题考查了积的乘方的逆运用， 同底数幂乘法的逆用，先把整理得，再运算括号内，即可作答，解题的关键是熟练掌握相关运算法则．
【详解】解：
，
，
，
，
故答案为：．
7．（江苏省无锡市锡山区锡山高级中学实验学校2023-2024学年七年级下学期期中数学试题）已知，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，幂的乘方计算，同底数幂除法计算，负整数指数幂，先求出，再由幂的乘方的逆运算法则和幂的乘方计算法则把原式变形为，进而根据同底数幂除法计算法则得到，据此可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴
，
故答案为：．
8．（江苏省宿迁市崇文初级中学2023-2024学年七年级下学期3月月考数学试题）若，用x的代数式表示y，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了幂的乘方的逆运算．熟练掌握幂的乘方的逆运算是解题的关键．
根据，求解作答即可．
【详解】解：由题意知，，
故答案为：．
9．（江苏省淮安市淮安区徐杨中学2023-2024学年七年级上学期9月月考数学试题）已知，则整数x的值是 ．
【答案】4或2或
【分析】分三种情况讨论①时，②时，③当时，分别求解即可．
【详解】解：，
①时，，
②时，，，成立，
③当时，，成立，
整数的值是：4或2或．
故答案为：4或2或．
【点睛】本题主要考查了零指数幂及有理数的乘方，解题的关键是分类讨论．
10．（江苏省南京市江宁区江宁区麒麟初级中学2023-2024学年七年级下学期3月月考数学试题）如图，王老师把家里的WIFI密码设置成了数学问题．吴同学来王老师家做客，看到WIFI图片，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了王老师家里的网络，那么她输入的密码是 ．
【答案】
【分析】本题考查了幂的混合运算，以及规律型：数字的变化类，由前面两个等式发现规律是解题的关键．
根据前面两个等式，得出密码规律：由汉字的拼音与字母x、y、z的指数组成．依此即可求解．
【详解】解：根据前面两个等式，
王⊕=，
浩⊕，
得出密码规律：由汉字的拼音与字母x、y、z的指数组成．
∴阳⊕．
故答案为：．
11．（江苏省盐城市亭湖区盐城景山中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题）计算：
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了有理数的混合运算，幂的乘方，同底数幂的乘法，解题的关键是掌握相关的运算法则．
（1）先算乘方，再算乘除，最后算减法即可；
（2）先算幂的乘方，同底数幂的乘法，再算加减即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）
12．（江苏省昆山、太仓、常熟、张家港市2023-2024学年七年级下学期数学期中试题）根据下列条件回答问题
(1)已知，求n的值；
(2)已知，，求的值．
【答案】(1)
(2)25
【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方和同底数幂的乘法法则，能正确幂的乘方与积的乘方和同底数幂的乘法法则进行计算是解此题的关键．
（1）先根据幂的乘方进行变形，再根据同底数幂的乘法法则进行计算，求出，再求出答案即可；
（2）先根据积的乘方进行变形，再代入求出答案即可．
【详解】（1）解：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，，
的
．
13．（江苏省南京市秦淮区2023-2024学年七年级下学期期中数学试题）已知：，，．
(1)求的值；
(2) 、、之间的数量关系为 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查幂的乘方、同底数幂的乘除法，
（1）根据同底数幂的除法进行解答即可；
（2）根据同底数幂的乘法，幂的乘方可得，即可得出结论．
【详解】（1）解：
；
（2）∵，
∴．
故答案为：．
14．（江苏省苏州市吴江、吴中、相城、新区四区统考2023-2024学年七年级下学期数学试题）阅读材料：的末尾数字是3，的末尾数字是9，的末尾数字是7，的末尾数字是1，的末尾数字是3，……，观察规律：
，
的末尾数字是1，
的末尾数字是1，
的末尾数字是3，
同理可知，的末尾数字是9，的末尾数字是7．
解答下列问题：
(1)的末尾数字是_______，的末尾数字是_______；
(2)求的末尾数字；
(3)求证：能被5整除．
【答案】(1)3，6；
(2)6；
(3)见解析．
【分析】（1）根据阅读材料中的结论可知的末尾数字；根据阅读材料中提供的方法，可得的末尾数字是4，的末尾数字是6，于是得解；
（2）先将化成，再利用的末尾数字是6，从而得出结论；
（3）分别证明的末尾数字为6和的末尾数字9推出的末尾数字是5，则命题即可得证．
【详解】（1）解：，
的末尾数字为3；
的末尾数字是4，的末尾数字是6，的末尾数字是4，…
的末尾数字是4，的末尾数字是6，
的末尾数字是6；
故答案为：3，6；
（2）解：，
的末尾数字是6，
的末尾数字是6；
（3）证明：的末尾数字是2，的末尾数字是4，的末尾数字是8，的末尾数字是6，的末尾数字是2，…
的末尾数字是2，的末尾数字是4，的末尾数字是8，的末尾数字是6，
的末尾数字为6；
同理可得：
的末尾数字7，的末尾数字9，的末尾数字3，的末尾数字1；
的末尾数字9，
的末尾数字是5，
能被5整除．
【点睛】此题是一道阅读理解题，主要考查了幂的运算、数的整除，熟练掌握同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方法则是解答此题的关键．
15．（河北省张家口市宣化区2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（冀教版））如果，那么我们规定．例如：因为，所以．
(1)______；若，则______；
(2)已知，，，若，求的值．
【答案】(1)；
(2)
【分析】本题考查同底数幂的乘法逆用，幂的逆运算，解题的关键是根据新定义转换成乘方运算．
（1）根据新定义运算的含义可得答案；
（2）由新定义可得： ，，，再结合，进一步可得答案．
【详解】（1）解：由题意可得：，
∵，
∴；
（2）∵如果，那么我们规定，
∴由，可得，
，可得，
，可得，
∵，
∴，
∵，，
∴．
16．（2021年江苏省宜兴市实验中学中考二模数学试题）化简或计算：
（1）； （2）．
【答案】(1)9；（2）．
【分析】（1）根据零指数幂，负整数指数幂，逆用积的乘方计算；
（2）根据同底数幂的乘法，幂的乘方法则计算即可．
【详解】（1）
=1+8-
=9-
=9；
（2）
=
=．
【点睛】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，同底数幂的乘法，幂的乘方，熟练掌握计算的法则是解题的关键．
1．（2023·江苏镇江·中考真题）下列运算中，结果正确的是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法运算和除法运算、幂的乘方运算逐项分析，即可求解．
【详解】解：，故A选项错误；
，故B选项错误；
，故C选项正确；
，故D选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法运算和除法运算、幂的乘方运算，掌握以上运算法则是解题的关键．
2．（2023·江苏镇江·中考真题）如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、5个，先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于（ ）

A．128B．64C．32D．16
【答案】A
【分析】先表示每个袋子中球的个数，再根据总数可知每个袋子中球的个数，进而求出， ，最后逆用同底数幂相乘法则求出答案．
【详解】调整后，甲袋中有个球，，乙袋中有个球，，丙袋中有个球．
∵一共有（个）球，且调整后三只袋中球的个数相同，
∴调整后每只袋中有（个）球，
∴，，
∴，，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了幂的混合运算，找准数量关系，合理利用整体思想是解答本题的关键．
3．（2021·江苏盐城·中考真题）计算的结果是（ ）
A．B．C．aD．
【答案】B
【分析】根据同底数幂的乘法运算法则进行计算即可．
【详解】解：，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，解题的关键是熟练掌握同底数幂乘法运算法则，底数不变，指数相加，即．
4．（2023·江苏·中考真题）计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用同底数幂的除法进行解题即可．
【详解】解：，
故选B．
【点睛】本题考查同底数的幂的除法，掌握运算法则是解题的关键．
5．（2023·江苏泰州·中考真题）溶度积是化学中沉淀的溶解平衡常数．常温下的溶度积约为，将数据用科学记数法表示为 ．
【答案】
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
6．（2022·江苏南京·中考真题）若，，则 ．
【答案】
【分析】根据同底数幂的乘法运算法则得到，即可解答．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法运算法则，有理数的加法运算法则，掌握同底数幂的乘法运算法则是解题的关键．
7．（2022·江苏扬州·中考真题）掌握地震知识，提升防震意识．根据里氏震级的定义，地震所释放出的能量与震级的关系为（其中为大于0的常数），那么震级为8级的地震所释放的能量是震级为6级的地震所释放能量的 倍．
【答案】1000
【分析】分别求出震级为８级和震级为6级所释放的能量，然后根据同底数幂的除法即可得到答案．
【详解】解：根据能量与震级的关系为（其中为大于0的常数）可得到，
当震级为8级的地震所释放的能量为：，
当震级为6级的地震所释放的能量为：，
，
震级为8级的地震所释放的能量是震级为6级的地震所释放能量的1000倍．
故答案为：1000．
【点睛】本题考查了利用同底数幂的除法底数不变指数相减的知识，充分理解题意并转化为所学数学知识是解题的关键．
8．（2022·江苏苏州·中考真题）计算： ．
【答案】a4
【分析】本题须根据同底数幂乘法，底数不变指数相加，即可求出答案．
【详解】解：a3•a，
=a3+1，
=a4．
故答案为：a4．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，在解题时要能灵活应用同底数幂的乘法法则，熟练掌握运算性质是解题的关键．