山东省名校联盟2024-2025学年高一下学期期中检测数学试卷（解析版）

这是一份山东省名校联盟2024-2025学年高一下学期期中检测数学试卷（解析版），共13页。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动、用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数满足，其中为虚数单位，则（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，所以，所以.
故选：B.
2. 已知的内角的对边分别是，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，
因为，所以，则，即，
故选：C．
3. 已知是两个不共线的向量，，，则三点共线的充要条件是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为是两个不共线的向量，故，均不为零向量，若三点共线，则，为共线向量，故存在实数，使得，
故，而是两个不共线的向量，故，
故，反之，若，则，故，
故，为共线向量，而，共起点，故三点共线，
综上，三点共线的充要条件是，
故选：A
4. 下列平面图形中，不是正方体的侧面展开图的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】根据题意得到选项A、B、C中的平面图形折起后均能构成正方体，
而D中的平面图形折起后，最下一行的三个不能构成正方体的三个面，
折起后是缺少一个面的正方体，且多出一个面.
故选：D.
5. 如图，为了测量两山顶间的距离，飞机沿水平方向在两点进行测量，，在同一个铅垂平面内．在点测得的俯角分别为，在点测得的俯角分别为，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为在点测得，的俯角分别为，，
所以，，
因为在点测得，的俯角分别为，，
所以，，
在中，已知，
由正弦定理得，
所以；
因为，则，所以，
在中，由余弦定理得，
所以，
因为，，故，
在中，由余弦定理得：，
故，所以，
故选：B.
6. 已知复数为纯虚数，其中为虚数单位，则（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意可得，
因为是纯虚数，所以，解得.
则，又，，，，
则时，，，，，
即有时，，
故.
故选：B.
7. 在中，，，若满足上述条件的有且仅有一个，则边长的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】在中利用正弦定理得，则，
若满足上述条件的有且仅有一个，则或，
则或，则边长的取值范围是.
故选：C
8. 已知平面向量满足，，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图，设，，则，
故，，故外接圆的半径为，
且在优弧上运动变化，设外接圆的圆心为，的中点为，
延长至，使得，连接，
则，且，，
而，故，
故，当且仅当过时取最大值，此时在优弧上，
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知复数满足，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】复数是的两个根，则，，
由，所以，故B正确；，故D错误.
设，则，所以，解得，
故，，
所以，，故A正确；
，故C错误；
故选：AB
10. 已知向量，将绕原点顺时针分别旋转，到达，的位置，则（ ）
A. 在上的投影向量为B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】因为，故，所以，
由题设有即，
同理，，故，，，
对于A，在上的投影向量为，故A正确；
对于B，，故，故B正确；
对于C，，故，
故C错误；
对于D，，故，故D正确；
故选：ABD.
11. 在四面体中，，，则下列结论正确的有（ ）
A. 四面体的表面积为40
B. 四面体的体积为
C. 四面体外接球的表面积为
D. 记四面体内切球的球心为，则
【答案】ACD
【解析】因为四面体的对棱相等，所以四面体可嵌入长方体，设长方体的长宽高分别为,
,解得，，.
每个面为等腰三角形，面积均为10，表面积为.选项A正确.
体积计算:长方体体积为,减去四个三棱锥体积(每个为),
得四面体体积为.选项B错误.
四面体的外接球即长方体的外接球，半径,表面积为.选项C正确.
因为四面体内切球球心到各个面的距离相等，且四面体各个面是全等的，所以可以得到内切球球心到四面体各个顶点的距离也相等，即四面体的内切球球心和外接球球心重合，则长度即为外接球的半径.选项D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的侧面积是_____________．
【答案】
【解析】由题意圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，设母线为，底面半径为，则，且，，，，
所以圆锥的侧面积．
故答案为：．
13. 在中，，，，的平分线交于，则的长度为_____．
【答案】
【解析】由余弦定理可得
即，故或（舍），
由可得，
故，
故答案为：
14. 在平面直角坐标系中，，，记，其中表示两个数中的最大数．已知，向量，则点的轨迹所围成的图形面积为_____；的取值范围为_____．
【答案】4；
【解析】由题意，，因为，所以.
所以当，即或时，，即；
当，即或时，，即；
所以点的轨迹所围成的图形是以边长为2，顶点分别为的正方形，故图形面积为.
因为，，所以，
因为，，所以，
所以，至少有一个成立.
① 当时，因，则当，即或时，
由，解得或；
当时，由，得.
② 当时，因，则当，即或时，
由，解得或；
此时，解得；
当时，由，得，此时或.
综上，可得，即的取值范围为.
故答案为：4，.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知的内角的对边分别是，向量，．
（1）求；
（2）若，且的面积为，求的周长．
解：（1）因为向量，
所以，
根据正弦定理，得，
在中，，则，
则，
即，
也即
又在中，，则，
则可得：，即，
在中，，所以.
（2）因为的面积为，由（1）知，
所以，则，
在中，由余弦定理得，，
又，则，解得，
所以的周长为．
16. 在中，点在线段上，满足，过线段中点的直线与边，分别交于点，设，．
（1）用表示；
（2）设的面积为，四边形的面积为，求的最小值．
解：（1）因为，所以，所以，
即，点是线段的中点，
所以，
故；
（2）因为三点共线，所以存在实数使得，
所以，即，
又因为，，所以，
由（1）知，所以，
所以，即,
根据基本不等式，，所以，
当且仅当即时等号成立，所以，
的面积为，
四边形的面积为，
所以，
故的最小值为.
17. 已知复数可以表示为三角形式：，其中是以轴非负半轴为始边.向量所在射线为终边的角．已知与的乘积．
（1）试将写成三角形式；
（2）当时，求的最大值和最小值．
（3）请用复数三角形式的乘积公式推导三倍角公式：，．
解：（1）设，
则，故，
故，其中.
（2）因为，故设，
故
，
因为，故，
故的最大值为3，此时，最小值为0，此时.
（3）设，则
，
但
，
故，.
18. 如图，在高为的四棱台中，上底面和下底面的面积分别为．
（1）证明：四棱台的体积；
（2）已知为正四棱台，且，，．
（i）求正四棱台的体积；
（ii）记几何体与几何体的体积分别为，求的值．
解：（1）将四棱台的侧棱延长后，侧棱必定交于一点，设该点为，
设小棱锥的高为，则，，
而，故，
故四棱台的体积，
故
.
（2）（i）由（1）中公式可得正四棱台的体积为：
，
（ii）如图，连接，
则，，
而，故，故，
故，故几何体的体积，故，
故.
19. 已知的内角的对边分别是为内一点，且
（1）如图1，若，，，求的面积；
（2）如图2，若，，求；
（3）如图3，若，证明：．
解：（1）在中，由余弦定理得，
，
故，且，
设，则，故，
在中，由正弦定理，，则
在中，由正弦定理，，则，
故，即，
化简得，
则，整理得，
而，故，故即，
故，故，
故为等边三角形，故的面积为.
（2）因为，，故，设，
则，而，，则，
因,,则,故,
在中，，
在中，有，故，
所以，即，故.
（3）因为，
故（*），
在中，由余弦定理得，
，
，
三式相加得，
将（*）代入，，
又，则，
代入上式，①，
由余弦定理可得②，
由 ①-②得：,则.