甘肃省张掖市某校2024-2025学年高二下学期6月月考数学试卷

这是一份甘肃省张掖市某校2024-2025学年高二下学期6月月考数学试卷，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
下列导数运算正确的有（）
A．  1   1
B． xex    x 1ex
x
x2
 
 
C． e2 x   e2 x
D． ln 2x  2
x
如图是函数 f  x 的导函数 f  x 的部分图象，则 f  x 的一个极大值点为（）
x1
C. x3
x2
D. x4
从1, 2, 3, 4, 5 中任取2 个不同的数，事件 A  “取到的2 个数之和为偶数”，事件 B  “取到两个数均为偶数”，则 P  B | A 
1
B.
8
1C.
4
21
5D. 2
如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD  A1B1C1D1 中， E, F , G 分别为
DD1, BD, BB1 的中点，则 EF 与CG 所成的角的余弦值为（）
A.10
10
C.15
15
随机变量 X :
B.5
5
D.10
15
N 3,σ2  ， P(2  x  4)  m, P(1 x  5)  n ，则 P(2  x  5) 的值为（ ）
A． m  n
2
B． n  m
2
C． 1 m
2
D． 1 n
2
函数 f  x   x 1e2 x 的单调递增区间是（ ）
A．   3 , 
B． (2, )
C． (1, )
D． 0, ∞
 2

n
12342024
设曲线 f  x  xn1 n  N  在点1,1 处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 x ，则 x  x  x  x  x
等于（）
2023
A．
2024
1
B．
2024
2024
C．
2025
1
D．
2025
有甲、乙两个盒子，甲盒子里有1个红球，乙盒子里有3 个红球和3 个黑球，现从乙盒子里随机取出 n 1  n  6, n  N *  个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到的红球个数为ξ个，则随着 n 1  n  6, n  N *  的增加，下列说法正确的是（ ）
E(ξ) 增加， D(ξ) 增加 B． E(ξ) 增加， D(ξ) 减小
C． E(ξ) 减小， D(ξ) 增加 D． E(ξ) 减小， D(ξ) 减小
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，有二个正确选项的，每个选项 3 分，有三个正确选项的，每个选项 2 分，有选错的得 0 分.
x
1
2
3
4
5
6
7
y
2
3
5
7
8
8
9
某企业根据市场调研得到研发投入 x （亿元）与产品收益 y （亿元）的数据统计如下，则下列叙述正确的是（ ）
参考公式：
n
 xi yi  nxy nn
bˆ  i1 , aˆ  y  bˆx, (x x )( y  y )  34, (x x )2  28 ,
 x  nx
n
22i1
i
iii
i1
i1
x  4, y  6
由散点图知变量 x 和 y 负相关
相关系数 r 的绝对值|r|越接近 0，表示 x，y 的线性相关程度越强
用最小二乘法求得 y 关于 x 的线性回归直线方程为 yˆ  1.5x  0.5
在棱长为 2 的正方体 ABCD  A1B1C1D1 中， E ， F 分别为棱 A1D1 ， AA1 的中点，则下列选项中正确的为
（）
AD1 // 平面 BEFB．直线 BE 与 A1B1 所成角的余弦值为 5
3
B1 D ^ AC
直线 AB 与平面 BEF 所成角的正弦值为 2 2
3
=
ln x
已知函数 f ( x)，则下列说法中正确的是（）
x
函数 f (x) 的最大值是 1
e
f (x) 在(1, ) 上单调递减
对任意两个正实数 x1, x2 ，且 x1  x2 ，若 f (x1)  f (x2 ) ，则 x1  x2  2e
若关于 x 的方程[ f (x)]2  mf (x)  m  0 有 3 个不等实数根，则 m 的取值范围是(
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
如图，平行六面体 ABCD  A1B1C1D1 的底面 ABCD 是边长为 1 的正方形，且A1AD  A1AB  60 ， AA1  2 ，则线段 AC1 的长为
1
e2  e
, 0)
第 x 年
1
2
3
4
5
收入 y
3
8
10
14
15
乡村振兴战略坚持农业农村优先发展，目标是按照产业兴旺､生态宜居､乡风文明､治理有效､生活富裕的总要求，建立健全城乡融合发展体制机制和政策体系，加快推进农业农村现代化.某乡镇通过建立帮扶政策，使得该乡镇财政收入连年持续增长，具体数据如表所示：
由上表可得 y 关于 x 的近似回归方程为 yˆ  3x  aˆ ，则第 6 年该乡镇财政收入预计为亿元.
设函数 f (x)  x2  (a  2)x  a ln x(a  R) ，若 f (x)  1恒成立，则 a 的取值范围是.
四、解答题：本题共 5 小题，15 题 13 分，16 题 15 分，17 题 15 分，18 题 17 分，19 题 17 分，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
已知函数 f  x  x  x ln x  a ，若曲线 y  f  x 在点1, f 1 处的切线方程为 y  bx  2 .
求a 和b 的值；
求 f  x 的单调区间.
数学总评优秀的人数
数学总评非优秀的人数
合计
每天都整理数学错题的人数
90
不是每天都整理数学错题的人数
40
100
合计
200
究学生每天整理数学错题的情况，某校数学建模兴趣小组在本校某年级学生中随机抽取了 200 名学生，调查他们平时的数学成绩和整理数学错题的情况，现统计的部分数据如下表：
完成上述样本数据的 2  2 列联表，并判断是否有99.9% 的把握认为学生的数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关；
从参与该实验的人中任选 1 人， A 表示事件“选到的人数学成绩总评优秀”， B 表示事件“选到的人每天都整理数学错题”． 利用该调查数据， 求 P  A | B, P  A | B  的值．
按照比例采用分层随机抽样的方法从不是每天都整理数学错题的学生中随机抽取 5 名学生，再从这 5
名学生中选 3 名做进一步访谈，设这 3 人中数学成绩总评非优秀的人数为 x ，求 x 的分布列和期望．
附： χ2 
n(ad  bc)2
(a  b)(c  d )(a  c)(b  d )
，其中 n  a  b  c  d ．
如图，四边形 ABCD 是正方形，平面 PABE  平面 ABCD ， PA  AB , EB / / PA ， AB  PA  4 ，
EB  2 .
求证： BD / / 平面 PEC ；
求二面角 D  PC  E 的大小.
点Q 在直线 BD 上，直线 PQ 与直线 CE 的夹角为α，二面角 D  PC  E 为 β，是否存在点Q ，使得α β π.如果存在，请求出 BQ ；如果不存在，请 说明理由.
α P χ2  k 
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
k
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
已知函数
a
f (x)  x2 ln x, g(x)  a  e x ．
求 f ( x) 的极值；
求 g(x) 的单调区间；
若x  (1, ), f (x)  g(x) ， 求 a 的取值范围．
1
甲、乙两人为了提升篮球的竞技水平，进行投篮比赛.已知甲和乙每次进球的概率分别是 2 和 p ，且每
人每次进球与否互不影响.制定比赛规则如下：一轮比赛，甲、乙双方需各投篮 3 次.一轮比赛结束后，当一
方的进球数比另一方的进球数至少多 2 个时，则该方获胜并得 1 分，另一方不得分.其他情况，双方均不得分.
若 p  2 ，
3
假设甲、乙两人各投篮一次，求至少有一人进球的概率；
求在一轮比赛结束后，乙获得 1 分的概率.
若 1  p  2 ，问至少进行多少轮比赛后，乙累计得分的期望值可以达到 3 分？
23
参考答案
1.B
B
【详解】极大值点处导数为 0，且在该点左侧附近导数值为正，在该点右侧附近导数值为负，选项中只有 x2
符合.
故选：B.
B
C
C 2  C 242
C 21
1
P  AB101
C
5
5
【详解】依题意 P  A  32
, P  AB = 2
,故 P  B | A 
.故选 B.
C
2105
210
P  A24
5
【详解】以 D 作坐标原点，分别以 DA，DC， DD1 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，
则 E  0, 0, 1  , F  1 , 1 , 0  , C 0,1, 0, G 1,1, 1  ，
2  2 22 

–––→ 1 11  –––→1 
所以 EF   , ,   , CG  1, 0,  ，
 2 22 2 
设 EF 与CG 所成的角的大小为θ，
–––→ –––→
 1 11  1 
–––→ –––→
EF  CG
 , ,   1, 0, 
则csθ cs EF , CG  –––→–––→   2 22  2  15 .
EF  CG1  1  1  1 115
4444
5A
A【详解】函数 f  x   x 1e2 x 的定义域为R ，又 f  x  2x  3e2 x ，令 f  x  0 ，解得 x   3 ，所以
2
函数 f  x   x 1e2 x 的单调递增区间是  3 ,  .故选：A
 2

D
【详解】 f  x  n 1 xn ， f 1  n 1，
\ f ( x) 在点1,1 处的切线方程为： y 1  n 1 x 1 ，
令 y  0 得： xn
  1
n 1
1 
n n 1 ，
 x  x  x  x  x 1  2  3  4  2024 1.

12342023
故选：D.
234520252025
C【详解】由题意可知，从乙盒子里随机取出n 个球，含有红球个数 X 服从超几何分布，其中
Ck Cnk
3nnn
P  X  k   3 3 ，其中k  N ，k  3 且k  n ，EX  .故从甲盒中取球，相当于从含有 1 个红球
C
6
n622
n 1
的n  1 个球中取一球，取到红球个数为ξ.故 P ξ 1  2  1 1，随机变量ξ服从两点分布，所以
n 1
n 122n  2
D(ξ)  1 P ξ 1 P ξ 1  1  1
E(ξ)  P ξ 1  2  1  1 ，随着n 的增大，E(ξ) 减小；
n 122n  2
，随着n 的增大， D(ξ) 增大.故选：C.
【答案】BC
42n  22
ACD
【详解】对于 AB，函数 f ( x) = ln x 的定义域为(0, ) ，求导得 f (x)  1 ln x ，
xx2
当0  x  e 时， f (x)  0 ，当 x e时， f (x)  0 ，函数 f (x) 在(0, e) 上单调递增，
在(e, ) 上单调递减， f (x)
max 
f (e)  ln e  1 ，A 正确，B 错误；
ee
1
对于 C，依题意， 0  x  e  x ， f (x )  ln x2  ln x1  f (x )  0 ，则1  x  e  x ，
21
212
x2x1
不等式 x  x  2e  x  2e  x ，令 F (x)  f (x)  f (2e  x)  ln x  ln(2e  x)
1212
x2e  x
 (2e  x) ln x  x ln(2e  x) ,1  x  e ，令G(x)  (2e  x) ln x  x ln(2e  x),1  x  e ，
x(2e  x)
求导得G(x)  ln x  2e  x  ln(2e  x) x 2e  x x ln[(e  x)2  e2 ] ，

x

2e  x
而当1xe 时，
x
x 2 2e  x
2e  xx
2e  x
2e  x 
x
x2e  x
 2  ln e2  ln[(e  x)2  e2 ] ，
于是G(x)  0 ，函数G( x) 在(1, e) 上单调递增， G(x)  G(e)  0 ，即 F (x)  0 ，
因此 f (x1) 
f (x2 ) 
f (2e  x2 ) ，又 f (x) 在(e, ) 上单调递减，则 x1  2e  x2 ，C 正确；
对于 D，令 f (x)  t ，若关于 x 的方程[ f (x)]2  mf (x)  m  0 有 3 个不等实数根，则关于t 的方程t 2  mt  m  0 有两个不相等的实数根t1, t2 ，   m2  4m  0 ，
10  t  1
121 2

1
解得 m  4 或 m  0 ，且t  t  m, t t  m ，则0  t1 
t2  0
e 或e ，


t  1
 2e
0  t  1
1e1 211
当
t  1
 2e
时， ()
e
 m  e  m  0 ，解得 m  e2  e ，与 m  t1t2  0 矛盾；
0  t  1
111111
当1e 时， m  t t  0 ， t (m  t )  m ，整理得
    (  )2  ，
t
1 211
mt 2tt24
 2  0
111
则 1 的取值范围是(, e2  e) ，因此m 的取值范围是(
m
故选：ACD
【答案】B
1
e2  e
, 0) ，D 正确.
14.
15.
解：（1）完善2  2 列联表，如下：
数学成绩总评优秀的人数
数学成绩总评非优秀的人数
合计
每天都整理数学错题的人数
90
10
100
不是每天都整理数学错题的人数
60
40
100
合计
150
50
200
由题可知
200(40  90  60 10)2
χ2 
2410.828 ，
50 150 100 100
所以有99.9% 的把握认为学生的数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关．
（2）由分层随机抽样可知，抽取的 5 名学生中有 2 名数学成绩总评非优秀．
ξ所有可能的取值为 0，1，2，
C31
C2C13
C1C23
C
C
C
5
5
知 P(ξ 0)  3 ， P(ξ 1)  3 2  ， P(ξ 2)  3 2 ，
5
5
3103
所以ξ的分布列为
310
故 E(ξ)  0  1 1 3  2  3  6 ．
105105
ξ
0
1
2
P
1
10
3
5
3
10
【详解】（1）如图，以 A 为原点， –––→ 、–––→ 、
为 x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系，
ADABAP
依题意，得?(0,0,0)， B 0, 4, 0 ， C 4, 4, 0 ， D 4, 0, 0 ， P 0, 0, 4 ， E 0, 4, 2 ，取 PC 的中点 M，连接 EM ，则M 2, 2, 2 ， EM  2, 2, 0 ， BD  4, 4, 0 ， 所以 BD  2EM ，则 BD / / EM ，又 EM  平面 PEC ， BD  平面 PEC ，
所以 BD / / 平面 PEC .
（2）取 PD 中点 F ，则 F 2, 0, 2 ，又 AD  AB  PA ，则 AF  PD ， 由 AB  PA, AB  AD 且 PA  AD  A 都在面 PAD 内，则 AB  面 PAD ，由CD / / AB ，则CD  面 PAD ， AF  面 PAD ，故CD  AF ，
由 PD  CD  D ， PD 、CD  平面 PCD ，所以 AF  平面 PCD ，故 AF  2, 0, 2 为平面 PCD 的一个法向量.
设平面 PCE 的法向量? = (?,?,?)，且 PC  4, 4, 4 ， PE  0, 4, 2 ，
→ –––→
所以n  PC  0 ，即4x  4 y  4z  0 ，令 y  1，得→  1, 1, 2 .
 → –––→
4 y  2z  0n
n  PE  0
–––→ →

3
2  0  4
2 2  6
所以cs AF , n  ，
2
由图，二面角 D  PC  E 为钝二面角，所以二面角 D  PC  E 的大小为 5π .
6
【答案】（ 1） 极小值为 1 ， 无极大值．
2e
答案见解析
(, 0] ．
 1
【详解】（ 1） f  (x)  2x ln x  x  x(2 ln x 1) ．
令 f (x)  0
， 解得 x  e 2 ， 令
f (x)  0
1
0  x  e 2
， 解得 ，
  1 1 
所以 f ( x) 在e 2 , ∞ 上单调递增， 在 0, e 2  上单调递减．

2
1  1   1 
  1 1
f ( x) 在 x  e 2 处取得极小值， 极小值为 f e 2   e 2  ln e 2   
， 无极大值．
2e
（ 2） g(x) 的定义域为(, 0) ∪ (0, ) ．
g(x)  
a
a2  e x ．
x2
若 a  0 ， 则 g(x) 为常函数， 无单调区间．
若 a  0 ， 则 g( x)  0, g( x) 的单调递减区间为(, 0),(0, ) ， 无单调递增区间．
x
aaaaa
（ 3） 因为 f (x)  g(x) ， 所以 x2 ln x  a  e x ， 即 x ln x   e x  e x ln e x ．
 a 
令函数 h(x)  x ln x ， 上式等价于 h(x)  h e x  ．

a
h(x)  ln x 1, h(x)  0 在(1, ) 上恒成立， 所以 h( x) 在(1, ) 上单调递增．
因为当 x (0,1) 时， h(x)  0 ， 当 x (1, ) 时， h(x)  0 ， 所以
因为 h(x)  h(1)  0 ， 所以 x ln x  0 ， 所以 a  0 ．故 a 的取值范围是(, 0] ．
x  e x ， 即 a  x ln x ．
【答案】（1）（i）因为甲和乙每次进球的概率分别是 1 和 2 ，
23
所以甲、乙两人各投篮一次，至少有一人进球的概率为 P  1 1  1  5 .(3 分)
2 36
（ii）由题知甲进球0 个，乙进球2 个或3 个，或甲进球1个，乙进球3 个，乙获得 1 分，记事件A ：甲进球0 个，乙进球2 个或3 个，
事件 B ：甲进球1个，乙进球3 个，事件C 表示乙获得 1 分，
P( A)  1 3
1 31 1 225
则() [1 ()
23
 1 3  2 3
 C3 (3)
31
 ] ，（5 分）
354
3  2   3 
P  B  C1
   

279
，（8 分）
易知 A, B 互斥，所以 P(C)  P( A)  P(B)  5  3  11 .（9 分）
542754
（2）因为一轮比赛结束后，乙获得 1 分的概率为

 1 3
P
[C2 p2 (1 p)  p3 ]  1 1 3 3  1
(3 p2  p3 ) ，（11 分）
C ( ) p
2
 33
 28
设n 轮比赛后，乙累计得分为 X ，则 X ~ B(n, 1 (3 p2  p3 )) ，（13 分）
8
由题知n  1 (3 p2  p3 )  3 ，又 1  p  2 ，函数 y  3 p2  p3 在 1 , 2  上单调递增，
823
 2 3 
所以 7  1 (3 p2  p3 )  11 ，（15 分）
64854
由11n  3 ，得到n  15 ，
54
所以至少进行15 轮比赛后，乙累计得分的期望值可以达到 3 分，此时 p  2 .（17 分）
3