第十二讲第二章函数与基本初等函数（章节验收卷）-【高考新结构一轮复习】备战2025年高考数学一轮复习精讲精练（新高考专用）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．是幂函数，且在上是减函数，则实数（ ）
A．2B．C．4D．2或
【答案】A
【分析】根据幂函数的性质和定义即可求解.
【详解】由于是幂函数，所以，解得或，
由于在上是减函数，所以，故，
因此，
故选：A
2．已知，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
根据将进行转化，再利用在上为增函数进行判断即可.
【详解】由得：，，，
因为在上为增函数，
所以，
即.
故选：B.
3．已知函数，，则的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用时的解析式的图象即可得到选项.
【详解】令，则，
所以，
，
则在轴右侧为部分抛物线，
对称轴为，时，或，
且处为空心，，
排除ACD.
故选：B
4．已知且，若函数为偶函数，则实数（ ）
A．3B．9C．D．
【答案】B
【分析】
用偶函数的定义求解.
【详解】已知且，若函数为偶函数，则有，
即，化简得，所以.
故选：B
5．假设甲和乙刚开始的“日能力值”相同，之后甲通过学习，“日能力值”都在前一天的基础上进步2%，而乙疏于学习，“日能力值”都在前一天的基础上退步1%.那么，大约需要经过（ ）天，甲的“日能力值”是乙的20倍（参考数据：，，）
A．23B．100C．150D．232
【答案】B
【分析】
根据给定信息，列出方程，再利用指数式与对数式的互化关系求解即可.
【详解】令甲和乙刚开始的“日能力值”为1，天后，甲、乙的“日能力值”分别，
依题意，，即，两边取对数得，
因此，
所以大约需要经过100天，甲的“日能力值”是乙的20倍.
故选：B
6．函数被称为取整函数，也称高斯函数，其中表示不大于实数的最大整数．若，满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
根据基本不等式求解最值，即可根据一元二次不等式求解，即可根据取整函数的定义求解.
【详解】，当且仅当时取等号，
由可得，
所以，故，
故选：C
7．已知定义在上的函数，满足不等式，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
根据给定条件，换元构造函数，分析函数的奇偶性、单调性，再解不等式即得.
【详解】令，则，原函数化为，
令，显然，
即函数是奇函数，又函数都是上的增函数，
因此函数是上的增函数，不等式，
则，
于是，解得，
所以的取值范围是.
故选：A
8．已知函数，满足，，若恰有个零点，则这个零点之和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由解析式可知为奇函数，进而可得的对称中心，根据满足的关系式，可得函数的对称中心，由两个函数的对称中心相同，即可判断出其零点的特征，进而求得个零点的和.
【详解】因为的定义域为，关于原点对称，
所以
，所以函数为奇函数，关于原点中心对称，
而函数是函数向右平移两个单位得到的函数，
因而关于中心对称，
函数满足，所以，
即，所以函数关于中心对称，且，
且，
所以由函数零点定义可知，
即，
由于函数和函数都关于中心对称，
所以两个函数的交点也关于中心对称，
又因为恰有个零点，
即函数和函数的交点恰有个，
且其中一个为，其余的个交点关于对称分布，
所以个零点的和满足，
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题的关键点是能够通过函数解析式和抽象函数关系式确定函数的对称中心，从而可确定零点所具有的对称关系.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（多选）函数概念最早是在17世纪由德国数学家莱布尼茨提出的，后又经历了贝努利、欧拉等人的改译．德国数学家康托尔创立的集合论使得函数的概念更严谨．后人在此基础上构建了高中教材中的函数定义：“一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数”，则下列对应法则f满足函数定义的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】通过换元法、三角函数方程以及指数函数方程即可逐一证明或者举反例判断.
【详解】对于A，令，符合函数定义；
对于B，令，设，一个自变量对应两个函数值，不符合函数定义；
对于C，设，当，则x可以取包括等无数多的值，不符合函数定义；
对于D，令，符合函数定义．
故选：AD.
10．已知函数的所有零点从小到大依次记为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】根据零点定义，结合正弦型函数和对数型函数的图象进行求解即可.
【详解】令，
在同一直角坐标系，画出两个函数图象如下图所示：
由图可知共有20个交点，故，则A正确，B错误；
又函数的图象都关于对称，则，
故，则C正确，错误，
故选：AC
11．已知函数，的定义域均为R，的图象关于点(2，0)对称，，，则（ ）
A．为偶函数B．为偶函数C．D．
【答案】ACD
【分析】
由赋值法，函数奇偶性，对称性对选项一一判断即可得出答案.
【详解】令，则，注意到不恒为，
故，故A正确；
因为的图象关于点(2，0)对称，所以，
令，得，
故，故B错误；
令，得，
令，得，故，
从而，故,
令，得，化简得，故C正确；
令，得，而，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：抽象函数的对称性常有以下结论
（1）关于轴对称，
（2）关于中心对称，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．函数的定义域是 .
【答案】
【分析】
由对数函数定义域及被开方数为非负解不等式即可得结果.
【详解】由的解析式可得，
解得；
所以其定义域为.
故答案为：
13．若函数的定义域为，则的范围为 .
【答案】
【分析】
将条件转化为不等式的任意性问题，然后取特殊值得到的取值范围，再验证该范围下的都符合条件.
【详解】由于函数的定义域是，
故条件即为，这等价于对任意实数成立.
若对任意实数成立，取知，即；
若，则对任意实数都有，
故对任意实数成立.
综上，的取值范围是.
故答案为：.
14．已知集合，函数.若函数满足：对任意，存在，使得，则的解析式可以是 .（写出一个满足条件的函数解析式即可）
【答案】（满足，且一次项系数不为零的所有一次或者二次函数解析式均正确）
【分析】
根据，求得，则满足的一次函数或二次函数均可.
【详解】，，
，，
，，
所以，则的解析式可以为.
经检验，满足题意.
故答案为：（答案不唯一）.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据函数的形式，确定函数的关键特征和条件.
四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知二次函数的图象过点，且不等式的解集为.
(1)求的解析式；
(2)设，若在上是单调函数，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）设，代入点的坐标求出的值，即可求出函数解析式；
（2）首先表示出，从而确定其对称轴，依题意得到或，解得即可.
【详解】（1）
因为不等式的解集为，
所以和为关于的方程的两根，且二次函数的开口向上，
则可设，，
即，
由的图象过点，可得，解得，
所以，即.
（2）
因为，对称轴，
因为在上是单调函数，所以或，解得或，
即实数的取值范围.
16．定义域为的奇函数满足，当时，，且.
(1)当时，画出函数的图象，并求其单调区间、零点；
(2)求函数在区间上的解析式.
【答案】(1)答案见解析；
(2)
【分析】
（1）利用条件得出，计算结合对数函数的图象与性质作图并求单调区间与零点即可；
（2）利用（1）的结论及求解析式即可.
【详解】（1）由题意可知：，
所以，
即，则时，
令，则，
综上，
作图如下：
结合对数函数的单调性与奇函数的性质知的单调递增区间为，无单调递减区间，
且其零点有三个，分别为；
（2）因为，则，
当时,,
当时,,
当时,，
则.
17．设函数．
(1)若对于一切实数，恒成立，求实数的取值范围；
(2)若对于，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分和两类情况，当时采用验证法即可；当时根据一元二次不等式和二次函数之间的关系建立不等式组即可求出实数的取值范围.
（2）方法一：先利用分离参数法得出；再求出函数在上的最小值即可求解.方法二：先将题目问题转化为在上恒成立；再分类讨论，利用函数的单调性求出函数的最大值即可求解.
【详解】（1）要使恒成立，
若，显然；
若，则，解得．
综上可得：实数的取值范围是．
（2）有以下两种方法：
方法一：
由得：，即.
因为，
所以．
因为函数在上单调递增，
所以函数在上单调递减，
则当时，函数在上取得最小值，最小值为，
所以只需即可．
所以的取值范围是．
方法二：
由，得，即.
令，
当时，在上是增函数，
则，解得，
所以；
当时，恒成立；
当时，在上是减函数，
则，解得，
所以．
综上所述，的取值范围是．
18．已知函数为奇函数．
(1)求的值；
(2)判断函数的单调性，并加以证明；
(3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)函数在定义域上单调递增，证明见解析
(3)
【分析】
（1）由奇函数的性质可得出，求出实数的值，然后利用函数奇偶性的定义检验即可；
（2）判断出函数为上的增函数，然后利用函数单调性的定义证明即可；
（3）利用奇函数的性质将所求不等式变形为，利用函数的单调性可得出对任意的恒成立，由可求得实数的取值范围.
【详解】（1）解：对任意的，，则函数的定义域为，
则，解得，此时，，
所以，，
所以，当时，函数为奇函数.
（2）解：由（1）知：，
则函数在定义域上单调递增，证明如下：
设任意的，则
因为，则，则，
又，，所以，，即，
所以，函数在定义域上单调递增.
（3）解：因为不等式对任意的恒成立，
所以，对任意的恒成立，
因为函数为上的奇函数，且为增函数，则，
则对任意的恒成立，所以，，解得.
因此，实数的取值范围是.
19．若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”.
(1)判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由；
(2)若函数在定义域（）上为“依赖函数”，求的取值范围；
(3)已知函数在定义域上为“依赖函数”.若存在实数，使得对任意的，不等式恒成立，求实数的最大值.
【答案】(1)不是“依赖函数”，理由见解析
(2)
(3)
【分析】
（1）根据题中定义，运用特例法进行判断即可；
（2）根据题中定义，结合指数函数的单调性、二次函数的性质进行求解即可；
（3）根据二次函数对称轴与所给的区间的位置关系，结合对钩函数、一元二次方程根的判别式分类讨论进行求解即可.
【详解】（1）对于函数的定义域内存在，
则，故不是“依赖函数”.
（2）因为在递增，故，即，
由，故，得，
从而，设
当时，函数单调递增，
故；
（3）①若，故在上最小值为0，此时不存在，舍去；
②若故在上单调递增，
∴，解得或（舍）.
∴存在，使得对任意的，有不等式都成立，
即恒成立，
由，
得，由，可得，
又在单调递增，故当时，，
从而，解得，
综上，故实数的最大值为.
【点睛】关键点睛：本题的关键是根据二次函数的对称轴与所给区间的位置分类进行求解.