甘肃省白银市靖远县第四中学2023−2024学年高二下学期7月期末考试 数学试题（含解析）

这是一份甘肃省白银市靖远县第四中学2023−2024学年高二下学期7月期末考试 数学试题（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知命题，则（ ）
A．B．
C．D．
2．直线的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
3．在的展开式中，的系数是（ ）
A．B．56C．8D．
4．从4名男生，3名女生中选出3人（可以一种性别）到校学生会任职，女生人数不多于男生人数，那么不同的选法种数有（ ）
A．23B．22C．24D．26
5．在正三角形中，是线段上的点，，则（ ）
A．B．C．D．
6．函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
7．从中任取个不同的数，事件“取到的个数之和为偶数”，事件“取到两个数均为偶数”，则（ ）
A．B．C．D．
8．若直线与函数的图象有交点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．现有大小､形状均相同的4张卡片，其中红卡1张､蓝卡3张，现随机等可能抽取卡片，当有放回依次抽取两张卡片时，记取出的红卡数为；当无放回依次抽取两张卡片时，记取出的红卡数为，则下列结论正确的有（ ）
A．B．
C．D．
10．已知正四棱锥的体积为8，高为，则当正四棱锥的外接球的体积取得最小值时，有（ ）
A．B．C．D．
11．已知圆在椭圆的内部，点为上一动点，为坐标原点.过点作圆的一条切线，交于另一点，切点为，若为的中点，且直线的斜率为，则（ ）
A．直线的斜率为B．直线的斜率是
C．直线的斜率是D．椭圆的离心率为
三、填空题（本大题共3小题）
12．曲线在处的切线方程为 .
13．已知函数的最小正周期为，若将其图象沿轴向左平移个单位长度，所得图象关于对称，则实数的最小值为 .
14．已知双曲线，过点的直线与相交于两点，且为线段的中点，则直线的方程为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．从条件①，②中任选一个，填在下面的横线上，并解答.
已知是等差数列，且__________.
(1)求的通项公式；
(2)令，求数列的前项和.
注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分.
16．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面平面是的中点，.

(1)求证：.
(2)若㫒面直线与所成的角为，求四棱锥的体积.
17．已知函数．
（Ⅰ）讨论函数在定义域内的极值点的个数；
（Ⅱ）若函数在处取得极值，对恒成立，求实数的取值范围.
18．已知是抛物线上一点.
(1)设点的坐标为，求MA的最小值；
(2)若点到直线的距离最小，求出点的坐标及距离的最小值.
19．甲､乙两人报名参加由某网络科技公司举办的“技能闯关”双人电子竞技比赛，比赛规则如下：每一轮“闯关”结果都采取计分制，若在一轮闯关中，一人过关另一人未过关，过关者得1分，未过关者得-1分；若两人都过关或都未过关，则两人均得0分.甲､乙过关的概率分别为和，在一轮闯关中，甲的得分记为.
(1)求的分布列.
(2)为了增加趣味性，系统给每位报名者基础分3分，并且规定出现一方比另一方多过关三轮者获胜，此二人比赛结束.表示“当甲的累积得分为时，最终认为甲获胜”的概率，则，其中，令.证明：点的中点的横坐标为.
(3)在第（2）问的条件下求，并尝试解释游戏规则的公平性.
参考答案
1．【答案】B
【分析】由命题的否定，量词和结论发生改变，条件不变即可得到答案.
【详解】根据含有量词命题的否定形式可知，命题的否定为.
故选B.
2．【答案】C
【分析】根据倾斜角和斜率的关系即可得出答案.
【详解】根据题意，设直线的倾斜角为，
因为其斜率，又由，
所以.
故选.
3．【答案】A
【分析】先求出二项式展开式的通项公式，由此根据x的指数，列式计算，求出参数，即可求得答案.
【详解】因为展开式的第项为，
所以令，则，
故的系数是.
故选A.
4．【答案】B
【分析】分2男1女和3男0女两种情况求解即可.
【详解】由题意知，选取的3人中女生人数不多于男生人数，包括2男1女和3男0女两种情况.
若3人中有2男1女，则不同的选法共有（种）；
若3人中有3男0女，则不同的选法共有（种）.
根据分类计数原理，所有不同的选法共有（种）.
故选B.
5．【答案】A
【分析】利用向量的数量积公式计算可得答案.
【详解】因为，所以，
所以，
.
故选A.
【方法总结】向量的数量积的求法：(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两向量的夹角是求数量积的关键．(2)根据向量数量积的运算律求解，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算．
求向量的模的常见思路及方法：(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方．(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝eq \r(a2)，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．
6．【答案】A
【分析】利用奇偶性、单调性排除法可得答案.
【详解】因为，，
所以是非奇非偶函数，图象不关于轴或原点对称，
排除B，C选项；
，
当时，，
所以在区间上单调递减，排除D选项.
故选A.
7．【答案】B
【分析】先求得和的值，然后利用条件概率计算公式，计算出所求的概率.
【详解】依题意,,故.故选B.
8．【答案】A
【分析】根据函数图象有交点可转化为方程有根，分离参数后求函数的最大值即可求解.
【详解】因为直线与函数的图象有交点，
所以方程有解，
即在上有解，
令,
则，
当时，，函数递增，当时，，函数递减，
所以当时有极大值也是最大值，
所以.
故选A.
9．【答案】AC
【分析】求出可得答案.
【详解】服从二项分布，
则；
的可能取值为0，1，
，
故.
故.
故选AC.
10．【答案】BC
【分析】借助体积公式与正四棱锥外接球半径的计算方法可用表示出外接球半径，从而可构造相应函数，借助导数研究该函数的单调性后即可得高为何值时有最小，即外接球的体积取最小，再利用球体体积公式计算即可得的最小值.
【详解】设正四棱锥的底面边长为，外接球的半径为，
由已知可得，，解得，
令，得，
所以，当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以当时，函数取得最小值，即取得最小值，
此时外接球的体积也最小.
故选BC.
11．【答案】AD
【分析】根据题意可知这是一个中点弦问题，一般采用点差法求解.
【详解】设，则，
将的坐标代入椭圆的方程，得
两式相减得，
所以，
因为直线的斜率为，所以的斜率为，A正确；
所以.
如图，设为椭圆的左顶点，连接，则，
所以.
解得或（舍去），直线的斜率为，B错误，C错误；
所以，
所以，
故，D正确.
故选AD.
12．【答案】
【分析】先求出函数的导函数，然后结合导数的几何意义求解即可.
【详解】由，
得，
则，
即当时，，
所以切线方程为：，
故答案为：.
13．【答案】
【分析】利用降幂公式化简，根据周期求出，结合平移变换和余弦函数对称性可得.
【详解】，由其最小正周期为，得，所以，
将其图象沿轴向左平移个单位长度，
所得图象对应的函数为，其图象关于对称，
则有，即，
由，知实数的最小值为.
故答案为：.
14．【答案】
【分析】因为为线段的中点，所以由点差法可以得到直线的斜率，进而可以得到直线方程.
【详解】设Ax1,y1,Bx2,y2，则两式相减得，
即，所以
因为为线段的中点，
所以，
所以，即
由点斜式方程可得直线的方程为：，
即，经检验适合题意.
故答案为：.
15．【答案】(1)
(2).
【分析】（1）若选①，由，求出，进而得到公差，最后写出an的通项公式；若选②，由，及等差数列的通项公式，求出和，最后写出an的通项公式；（2）由（1）求出，再利用等比数列的前项和公式，求数列bn的前项和.
【详解】（1）若选①：设等差数列an的公差为，
由，可得，
所以，故，所以.
若选②：
设等差数列an的公差为，因为，所以，
，解得，所以.
（2）由（1）可知，
故数列bn是以3为首项，3为公比的等比数列,
所以.
16．【答案】(1)证明见解析
(2).
【分析】（1）设的中点为，连接，根据题意已知条件证明直线两两垂直，从而建立空间直角坐标系，令，写出相应点的坐标，利用向量法证明从而得；
（2）由（1）写出的坐标，利用异面直线所成角的向量表示求出的值，在求出四棱锥的体积即可.
【详解】（1）设的中点为，连接，
由四边形是矩形，得.
是的中点，.
平面平面，平面平面，
平面直线两两垂直.
以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴建立如图所示的空间直角坐标系，设.

依题意得，，
.
，
，即.
（2）由（1）可得，
异面直线与所成的角为，
，解得，
由（1）平面，
为四棱锥的高，且，
四棱锥的体积为.
17．【答案】（Ⅰ）时在上没有极值点，当时，在上有一个极值点．（Ⅱ）．
【详解】试题分析：（Ⅰ）显然函数的定义域为.
因为，所以，
当时，在上恒成立，函数在单调递减，
∴在上没有极值点；
当时，由得，由得，
∴在上递减，在上递增，即在处有极小值．
∴当时在上没有极值点，当时在上有一个极值点
（Ⅱ）∵函数在处取得极值，由（Ⅰ）结论知，
∴，
令，∴，
令可得在上递减，令可得在上递增，
∴，即.
18．【答案】(1)
(2)12,1，最小距离为.
【分析】（1）假设的坐标，根据两点间的距离公式可以表示出MA的函数，进而利用二次函数求解最小值；
（2）利用点到直线的距离公式表示出点到直线的距离，再根据二次函数求解最小值
【详解】（1）设点Mx0,y0,|MA|2=x0-22+y0-02=x02-4x0+4+2x0=x0-12+3≥3，
所以当时，MAmin2=3，所以|MA|min=3.
（2）点到直线的距离d=|x0-y0+1|2=y02-2y0+222=y0-12+122，
当时，dmin=24，此时点的坐标为12,1.
19．【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
(3)0.12，答案见解析
【分析】（1）由题意得：分别求出相应的概率，由此能求出的分布列；
（2）由题意得，计算出的值，推导出，根据中点公式能证明点的中点横坐标为；
（3）由及，求出，由此推导出甲获胜的概率非常小，说明这种游戏规则是公平的.
【详解】（1），，，
的分布列为
（2）由题意得
，
，
.
于是有，整理可得，
根据中点公式有，
故的中点的横坐标为.
（3）由（2）可知，于是，
又，所以，
表示最终认为甲获胜的概率，
由计算结果可以看出，当甲过关的概率为0.5，乙过关的概率为0.6时，
当甲的累计得分为分时，认为甲获胜的概率为，
此时得出甲获胜的概率非常小，说明这种游戏规则是公平的.-1
0
1