江苏苏州吴江吴江中学2024~2025学年高二下册5月月考数学试卷[附解析]

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（本试卷满分150分，考试用时120分）
注意事项：
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：
1．本试卷共4页，本卷满分为150分.考试时间为120分钟.考试结束后，请将答题卡交回，试卷保留，以待讲评.
2．答题前，请您务必将自己的姓名、班级号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
4．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A B. C. D.
2. 已知随机变量 的分布列如下：
若，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知与的数据如表所示，根据表中数据，利用最小二乘法求得关于的线性回归方程为，则的值是（ ）
A. B. C. D.
4. 在的展开式中，的系数是( )
A. 4B. 5C. －5D. －4
5. 甲、乙两人同时解答一道数学题，两人各自独立思考互不影响．已知甲能正确解答的概率为，乙能正确解答的概率为，则在此题被正确解答的条件下，甲能正确解答的概率为（ ）
A. B. C. D.
6. 离散型随机变量的取值为0，1，2，若，，则（ ）
A B. C. 1D. 2
7. 化简结果为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数的图象有两条与直线平行的切线，且切点坐标分别为，，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的全部选对得6分，部分选对得部分分，错选得0分.
9. 已知随机变量，，则（ ）附：随机变量服从正态分布，则，.
A. B.
C. D.
10. 设随机事件A，B发生的概率分别为，以下说法正确的有（ ）
A. 若A，B为互斥事件，则
B. 若A，B互相独立，则
C 若，则A，B互相独立
D.
11. 函数，则下列判断正确的是（ ）
A. 是极小值点
B. 函数有且只有一个零点
C. 存在正实数，使得成立
D. 对任意两个正实数，且，若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数，若曲线在处的切线方程为，则a＋b＝_______.
13. 如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色（ 4种颜色全部使用 ），要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有 _______ 种.（用数字作答）
14. 一个箱子里装有5件产品，包括2件一等品，2件二等品，1件次品，从中任意不放回地随机抽取，每次1件，直到取到次品为止，则此过程中恰好把2件一等品全部取出的概率为___________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知，为常数.
（1）若，求在上的单调区间；
（2）若，在上的最小值为，求的值.
16. （1）已知的展开式中，第项与第项的二项式系数之比为，求展开式中的常数项．
（2）已知随机事件，，，求．
17 已知某校高二年级共有600名男生，从中随机选取6名，其身高和体重如下表所示：
（1）经分析，x与y之间存在较强的线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；
（2）判断高中男生的体重是否超标有一种简易方法，就是记身高的厘米数减去105所得差值为参考体重，一个人实际体重超过了参考体重，我们就说该人体重超标了．以频率估计概率，从该校高二年级男生中任选3人，记其中体重超标的人数为X，求X的概率分布与数学期望．
参考公式：．
18. 已知某系统由一个电源和并联的A，B，C三个元件组成，在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之间工作相互独立．
（1）电源电压X（单位：V）服从正态分布，且X的累积分布函数为，求．
（2）在统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔．已知随机变量T（单位：天）表示某元件的使用寿命，T服从指数分布，其累积分布函数为．
①设，证明：；
②若第n天只有元件A发生故障，求第天系统正常运行的条件概率．
参考数据：若，．
19. （1）已知函数，求函数的最大值；
（2）设，均为正数，证明：
（i）若，则；
（ii）若，则.
2
3
5
2
3
4
5
编号
1
2
3
4
5
6
身高
164
166
168
170
172
174
体重
58
60
62
64
67
73