吉林长春吉大附中实验学校2023~2024学年高二下册期末考试数学试卷[附解析]

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考试时间：120分钟 试卷满分：150分
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试结束后，将答题卡交回．
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区．
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．
5．保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列函数中是增函数的为（ ）
A. B. C. D.
2. 命题“，”否定为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
3. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 已知的二项式系数和为256，则的展开式中常数项为（ ）
A. 1120B. C. 70D.
5. 函数的图象大致是（ ）
A. B.
C D.
6. 原核生物大肠杆菌存在于人和动物的肠道内，在适宜的环境和温度下会迅速繁殖导致肠道内生态环境失衡从而引发腹泻等症状，已知大肠杆菌是以简单的二分裂法进行无性繁殖，在适宜的条件下分裂一次（1个变为2个）需要约24分钟，那么在适宜条件下1个大肠杆菌增长到1万个大肠杆菌至少需要约（ ）（参考数据：）
A. 4小时B. 5小时C. 6小时D. 7小时
7. 某电子竞技队伍由1名队长、1名副队长与3名队员构成，按需要担任第1至5号位的任务，由于队长需要分出精力指挥队伍，所以不能担任1号位，副队长是队伍输出核心，必须担任1号位或2号位，则不同的位置安排方式有（ ）
A. 36种B. 42种C. 48种D. 52种
8. 已知，是定义域为R的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 甲箱中有个红球和个白球，乙箱中有个红球和个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件和表示从甲箱中取出的球是红球和白球；再从乙箱中随机取出两球，用事件表示从乙箱中取出的两球都是红球，则（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知，且，则下列不等式成立是（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知偶函数的定义域为，为奇函数，且在上单调递增，则下列结论正确的是（ ）
A B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知集合，若集合恰有两个元素，则实数的取值范围是________.
13. 某校数学建模兴趣小组收集了一组恒温动物体重（单位：克）与脉搏率（单位：心跳次数/分钟）的对应数据，根据生物学常识和散点图得出与近似满足（为参数）.令，，计算得，，.由最小二乘法得经验回归方程为，则的值为___________；为判断拟合效果，通过经验回归方程求得预测值，若残差平方和，则决定系数___________.（参考公式：决定系数）
14. 设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是_____
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 甲、乙两人进行知识答题比赛，每答对一题加20分，答错一题减20分，且赛前两人初始积分均为60分，两人答题相互独立．已知甲答对每题的概率均为，乙答对每题的概率均为，且某道题两人都答对的概率为，都答错的概率为．
（1）求，的值；
（2）乙回答3题后，记乙的积分为，求的分布列和期望．
16. 数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）若，求的前项和．
17. 设函数两个极值点分别为．
（1）求实数的取值范围；
（2）若不等式恒成立，求正数的取值范围（其中为自然对数的底数）．
18. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，且，.

（1）若为的中点，证明：平面平面；
（2）若，，线段上的点满足，且平面与平面夹角的余弦值为，求实数的值.
19. 已知椭圆：（）的半长轴的长度与焦距相等，且过焦点且与轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为3.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线：与椭圆交于，两点，过点的直线交椭圆于，两点（在靠近的一侧）
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）在直线上是否存在一定点，使恒成立？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由.