湖南县级高中教育教学联盟2024~2025学年高二下册5月联考数学试卷[附解析]

这是一份湖南县级高中教育教学联盟2024~2025学年高二下册5月联考数学试卷[附解析]，共15页。试卷主要包含了的展开式中的系数为，已知函数，则下列说法正确的有，已知抛物线等内容，欢迎下载使用。
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A=，B=，则（ ）
A.B.C.D.
2.已知，则z的虚部为（ ）
A.B.C.D.
3.若向量，，且，则（ ）
A.1B.0C.D.
4.的展开式中的系数为（ ）
A.20B.40C.D.120
5.已知焦点在轴上的椭圆，上顶点为，左、右焦点分别为，，经过点的直线垂直平分线段，且交椭圆于，两点，的周长为8，则椭圆的标准方程为（ ）
A.B.C.D.
6.已知等比数列的公比是，前项和为，，设甲：，乙：数列是递增数列，则甲是乙的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
7.已知函数，则下列说法正确的有（ ）
①的图象关于点中心对称；
②的最小值为；
③当时，的所有极值点按从小到大依次记为，，…，，则极值的和为.
A.0个B.1个C.2个D.3个
8.已知函数，，表示，的最小值，设函数，若有2个零点，则的取值范围为（ ）
A.B.C.D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知抛物线：的准线为，焦点为，为抛物线上的动点，过点作：的一条切线，为切点，过点作的垂线，垂足为，则（ ）
A.准线与圆相切
B.过点，的直线与抛物线相交的弦长为5
C.当，，三点共线时，
D.满足的点有且仅有2个
10.已知且，满足，则下列不等式恒成立的是（ ）
A.B.
C.D.
11.如图，在正四棱柱中，，，，分别为，的中点，是侧面上一动点（含边界），则下列结论正确的是（ ）
A.若满足，则点的轨迹为圆的一部分
B.若，则点的轨迹为抛物线的一部分
C.以点为圆心，为半径的球与正四棱柱的侧面的交线长度为
D.以为直径的球面与正四棱柱的侧面的交线长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知数列的前项和，则_________.
13.在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于直线对称，若，则________.
14.一般地，如果是区间上的连续函数，并且，那么.这个结论叫作微积分基本定理，又叫作牛顿-莱布尼茨公式.从几何上看，如果在区间上函数连续且恒有，那么定积分表示由直线，，和曲线所围成的曲边梯形的面积.抛物线与轴围成的封闭图形的面积为________；已知数列满足，的前项和为，则________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）在中，角，，的对边分别为，，，其中，且.
（1）求角的大小；
（2）若，外接圆的半径为，求的面积.
16.（15分）为了丰富学生的课余生活，增强团队协作能力和沟通能力，促进身心健康发展，某校将举行一次篮球赛.某班准备组建一支5人的篮球队参加比赛，其中甲、乙2人已入选，现要从含丙、丁、戊的另外5人中再选3人参赛.
（1）求丙、丁、戊3人中入选的人数的分布列及期望；
（2）现甲、乙、丙、丁、戊5人进行传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外4个人中的任何1人，求次传球后球在甲手中的概率.
17.（15分）在矩形中，，，，分别为，的中点，如图1.将沿折起，使得点到达点的位置，如图2，此时二面角的大小为.
（1）证明：.
（2）已知为的中点，为平面内的一个动点，满足且，两点在直线的异侧，求直线与直线所成角的余弦值的最大值.
18.（17分）已知函数，.
（1）设函数，试讨论的单调性；
（2）若，的图象存在公切线（与，的图象均相切的直线），求实数的取值范围；
（3）若存在不相等的，，使，，证明：.
19.（17分）已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，过右焦点的直线交的右支于，两点，且弦的长度最短为.
（1）求的标准方程.
（2）若，分别为，内切圆的半径，试问是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
（3）若与的左支交于点，求的范围.
高二数学试卷参考答案
1．C ，则，故C正确．
2．B 由知，则z的虚部为，故B正确．
3．A 由，得．，即，故A正确．
4．B ，故B正确．
5．D 由垂直平分线的性质知，即，又的周长等于的周长，即，所以椭圆的标准方程为，故D正确．
6．C 数列是递增数列，则，因为，所以，即，反之亦成立，故甲是乙的充要条件，C正确．
7．C ．
对于①，为奇函数，所以的图象关于点中心对称，正确；
对于②，令，得或，分别代入，求得的最小值为，错误；
对于③，当时，令，若，则无极值点，若，则有2个极值点，
所以当时，共有4个极值点，又的所有极值点按从小到大依次记为，所以由对称性得极值的和为，正确．
8．D 显然当时，，此时无零点；当时，，得有1个零点；当时，，下面只需考虑的零点个数的情况：①当且极小值时，解得；②当极小值时，由图可得满足题意．所以当有2个零点时，或．故D正确．
9．BD 对于A，准线l与圆A相离，A错误；
对于B，直线的方程为，代入得，弦长为，B正确；
对于C．当时，，C错误；
对于D，由抛物线的定义得，直线的垂直平分线方程为，代入得，点P有且仅有2个，D正确．
10．ACD 由已知得，令，易知在R上单调递减，所以，即，A正确，B错误；
单调递增，，则，C正确；
，D正确．
11．AD 由阿氏圆知点M的轨迹是一个圆的一部分，故A正确；
因为是一个定值，所以也等于一个定值，所以一定是以为轴的一个圆锥的母线，这样的圆锥被过顶点的平面所截，所得的是两条母线，故B错误；
以点D为圆心，为半径的球与正四棱柱的侧面的交线是圆的一部分，该圆以C为圆心，为半径，所求的交线是该圆在侧面的部分，显然该部分少于四分之一个圆，故C错误；
由正四棱柱的中心对称性可知，以为直径的球的球心O一定是在正四棱柱的中心，根据，可知，所以可知球心O到上、下两底面各棱的中点的距离都等于该球的半径，又因为球心O到各侧棱的距离是，到各顶点的距离是1，所以由上面推理易知，以为直径的球与上、下两底面的交线是两个完整的内切圆，此时一个圆的周长是，而根据该球心O到一个侧面的射影是，可解得，所在侧面截得的交线如图所示，
由，可得，即，所以在该侧面内留下的交线长为，故D正确．

12． 由已知易得，所以．
13． 由已知得，即，
所以．
14． ．
因为，所以，
所以．
15．解：（1），因为，所以，所以．……3分
由，得，
得，即，
因为，所以，所以．……6分
（2）由外接圆的半径为及正弦定理，得…8分
由余弦定理得，所以，由，得，
所以．…13分
16．解：（1）由题意可知X的所有可能取值为，……1分
则，…4分
所以X的分布列为
故．……7分
（2）设n次传球后球在甲手中的概率为，则．……8分
由题意可知，……10分
变形可得，则数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以．……15分
17．（1）证明：取的中点M，连接．．…1分
又．连接．又．又，
．又F为的中点，．……4分
又平面．…5分
（也可这样证明：在图1中，连接交于点M，得到，在图2中可得平面）
（2）解：过点P作，垂足为O．由（1）得平面，又平面平面平面．又平面平面平面．…6分
为二面角的平面角，．
又，又．……8分
在平面内，在以O为圆心，为半径的圆上．
两点在直线的异侧，∴点G在弦所对的优弧上．…10分
以的方向分别为z轴、x轴的正方向，过点O作的平行线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
设，
则，
，…11分
（其中）．．
，又，又当或时，直线与直线所成角的余弦值取得最大值．…15分
18．（1）解：．…1分
当时，在上单调递减；…2分
当时，，……3分
在上单调递减，在上单调递增．…4分
（2）解：设的图象与它们公切线的切点坐标分别为．
由，知，……5分
则的图象在点处的切线方程为，的图象在点处的切线方程为．…6分
这条直线相同，∴它们具有相同的斜率和纵截距，
②．
结合①②，有且．…7分
设，
则．
令，得；令，得．
在上单调递增，在上单调递减，
且．……8分
作出的大致图象，如图1所示．
的图象与直线有交点，
，解得或，
实数m的取值范围为．…10分
（3）证明：不妨设．
（方法一）存在，使，
①，②，
．……11分
设，则，
在上单调递增，在上单调递减，
且的大致图象如图2所示．…12分
记，
则，
在上单调递增，，
．…15分
又在上单调递减，
，即．…17分
（方法二）存在，使，
①，②，
两式相减得，即③，
两式相加得④．……12分
将③代入④，得
．…13分
记，则．
要证，只需证，
即证，即证，
即证，即证．…15分
设，
在上单调递增，
，
，即．…17分
（方法三）存在，使，
①，②，
，…12分
则，……13分
．……14分
下同方法二．
19．解：（1）由已知得，……2分
，又，……3分
的标准方程为．……4分
（2）（方法一）如图所示，设内切圆的圆心为内切圆的圆心为，圆与x轴相切于点M．
由（1）易知，…6分
∴点M的横坐标即的横坐标，同理的横坐标也为，……7分
三点共线且垂直于x轴，
平分平分，
在中，，
．……10分
（方法二）设内切圆的圆心为内切圆的圆心为，
圆与x轴相切于点M．
由（1）易知，…6分
∴点M的横坐标即的横坐标，同理的横坐标也为，
三点共线且垂直于x轴，．…7分
设直线．
圆与直线相切，，即，……8分
同理，即，
是方程的两根，
，即．…10分
（3）已知，设．
直线l交双曲线E的右支于两点，
，……11分
则即……12分
又
由，得，
将①②代入，化简得⑤，……13分
再将①⑤联立得，
．……14分
同理可得．
由题意，…15分
，
．……16分
又，
．…17分
X
1
2
3
P