湖北黄石第二中学2024~2025学年高二下册5月月考数学试卷[附解析]

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试卷满分：150分
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知X的分布列为：
若随机变量，则等于（ ）
A. B. C. D.
2. 记为递减等差数列的前n项和，若，，则（ ）．
A B. C. D.
3. 黄石二中杰出校友何小鹏的小鹏汽车生产的2025款小鹏X9加速度表现出众，其中四驱高性能Max版的加速时间仅需3.5秒．若某款车的速度v关于时间t的函数为（），则秒时的加速度为（ ）．
A. 5.2B. C. D.
4. 某班组织同学到社区志愿服务，某小组共有4名男生和5名女生，该小组需要选出3名同学参加，若选出的同学中既有男生又有女生，则不同的安排方法有（ ）种．
A. 35B. 84C. 70D. 140
5. 已知F是抛物线的焦点，P是该抛物线上一动点，则线段PF的中点E的轨迹方程是（ ）．
A. B. C. D.
6. 共有20张彩票，其中有2张中奖彩票，从中任取n张，要使这n张彩票中至少有一张中奖的概率大于，n至少为（ ）．
A. 6B. 7C. 8D. 9
7. 连续型随机变量，令函数，则下列选项正确的是（ ）．
A. B. 是增函数
C. 的图象关于轴对称D. 的图象关于点中心对称
8. 若对于任意，总存在唯一的使得成立（），则实数a取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知一个袋子中放有5个不同的红球和3个不同的黄球，现从中逐个摸取3个小球.方案一：有放回地摸球，记取得红球个数为X；方案二：不放回地摸球，记取得红球个数为Y．下列说法中，正确的有（ ）
A. ，B.
C. ，其中D.
10. 已知数列满足，，其前n项和为，其前n项积为，则下列选项正确的是（ ）．
A. B. C. D.
11. 在平面直角坐标系xOy中，P为曲线E：（）上任意一点，则（ ）．
A. 曲线E关于原点中心对称B. E与曲线有4个公共点
C. P点不可能在圆O：外D. P到y轴的最大距离为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若，则________________．
13. 已知圆O：和点，由圆外一点向圆引切线，切点分别为，若，则的最小值是________．
14. 已知不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知的展开式的二项式系数和为64．
（1）求展开式中含的项的系数；（结果用数字作答）
（2）求展开式中系数绝对值最大的项．
16. 已知函数．
（1）当时，求解集；
（2）当时，求的单调区间．
17. 已知数列的前n项和为，且，在数列中，，满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：数列为等比数列；
（3）求数列的前n项和，并证明．
18. 甲和乙一起玩游戏，在不透明的盒子内放若干白球和黑球，每次摸一个球，每个球被摸到的概率相同，当每次从盒子中随机摸到一个球后，将球放回盒子里，并添加同样颜色的球a（）个一起放回盒子里，设事件“第k次摸到白球”．
（1）现在甲、乙分别从A、B两个盒子中摸球，A盒中有10个白球和30个黑球，B盒中有5个白球和20个黑球，，请计算甲和乙第二次摸到白球的概率分别为多少，并比较大小；
（2）甲和乙经过多次游戏，猜测不论初始时盒子里的白球黑球个数为多少，每次摸到白球的概率都相同．请通过计算验证他们的猜测是否正确；
（3）若初始有m个白球和n个黑球，求第r次摸球后，累计摸到白球个数的期望．（用m，n，r表示）．
（附：若随机变量服从两点分布，且，，）
19. 已知、分别为椭圆E：（）左右顶点，K为椭圆E上异于A、B的动点，且直线AK和直线BK的斜率之积为．
（1）求椭圆E方程；
（2）若直线l：，直线AK交l于点P，直线BK与l交于点Q，椭圆E在点K处的切线与l交于R，求证：；
（3）求面积S取最小值时K点的横坐标．
X
0
1
P
a