河南信阳淮滨县多校联考2023~2024学年高一下册期末数学试卷[附解析]

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注意事项:
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.考试时间120分钟，满分150分.考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效.交卷时只交答题卡.
第I卷（选择题，共58分）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.）
1.已知集合，则（ ）
A.B.C.D.
2.已知复数满足，则复数的虚部为（ ）
A B.C.D.
3.设A，B是直线l上两点，则“A，B到平面a的距离相等”是“”的（ ）
A 充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4.若样本数据的方差为，则的方差为（ ）
A.B.C.D.
5.已知是中线，，以为基底表示，则（ ）

A.B.
C.D.
6.已知是异面直线，平面，平面，直线满足，则（ ）
A.且B.且
C.与相交，且交线垂直于D.与相交，且交线平行于
7.如图，已知边长为4的正方形ABCD的中心与半径为的圆O的圆心重合，点P是圆O上的一点，则的值为（ ）
A. 16B. 18C. 20D. 22
8.如图，在直三棱柱 中，，，点 是线段 上靠近 的三等分点，则直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A.B.C.D.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.已知平面向量，，则（ ）
A.当时，B.若，则
C.若，则D.若与的夹角为钝角，则
10.在直三棱柱中，，且，为线段上的动点，则下列结论中正确的是（ ）
A.
B.异面直线与所成角的取值范围为
C.的最小值为
D.当是的中点时，过三点的平面截三棱柱外接球所得的截面面积为
11.设为随机事件，且，下列说法正确的是（ ）
A.事件相互独立与互斥不可能同时成立
B.若三个事件两两独立，则
C.若事件独立，则
D.若，则
第II卷（非选择题，共92分）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共计15分）
12.已知水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的周长为____________.
13.如图，已知正三棱柱的底面边长为，高为，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行一周到达点的最短路线的长为______________.

14.某市半程马拉松比赛需要学生志愿者若干名，其中某路段从某校高一年级1000人中按男、女采用比例分配的分层随机抽样抽取一个容量为50的样本，且样本中男生人数比女生人数多20人，则这1000人中女生有______人.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.设复数（其中），.
（1）若是实数，求的值；
（2）若是纯虚数，求.
16.某高校承办了奥运会的志愿者选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三､四､五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.
（1）求的值；
（2）估计这100名候选者面试成绩的平均数和分位数（精确到0.1）；
（3）在第四､五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两人来自同一组的概率.
17 已知向量，函数．
（1）求函数在上的单调递减区间；
（2）若，且，求的值；
（3）将图象上所有的点向左平移个单位，然后再向上平移1个单位，最后使所有点的纵坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，当时，方程有一解，求实数的取值范围．
18.如图，在平面四边形ABCD中，已知，，等边三角形，记，.
（1）若，求的面积；
（2）证明：；
（3）若，求的面积的取值范围.
19.如图1，在矩形 中，是线段上（包括端点）的一动点，如图2，将沿着折起，使点到达点的位置，满足点 平面 .

（1）如图2，当时，点是线段上点的，平面 ，求 的值；
（2）如图2，若点 在平面 内的射影落在线段上.
①是否存在点，使得 平面 ，若存在，求的长；若不存在，请说明理由；
②当三棱锥的体积最大值时，求点到平面的距离.