九年级中考数学 专题训练--二次函数动态几何

这是一份九年级中考数学 专题训练--二次函数动态几何，共35页。试卷主要包含了直线 l等内容，欢迎下载使用。

1．如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点（A在B的左边），与y轴交于C，tan∠CAB=3；双曲线y=kx(k≠0)经过抛物线y=ax2+bx+3的顶点D，点D的横坐标为1．
（1）求抛物线和双曲线的解析式．
（2）点P为抛物线上一动点，且在第一象限，连接BP、CP，求当四边形ABPC取得最大值时，点P的坐标，并求出这个最大值．
（3）若在此抛物线和双曲线上存在点Q，使得QB=QC，请求出点Q的坐标．
2．如图，抛物线 y=ax2−8ax−3 交 x 轴于 A 、 B 两点，交 y 轴于点 C ，点 A 坐标为 (−1,0) ，以 AB 为直径作 ⊙O' ， ⊙O' 与抛物线交于 y 轴上同一点 C ，连接 AC 、 BC .
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 E 是 AC 延长线上一点， ∠BCE 的平分线 CD 交 ⊙O' 于点 D ，连接 BD ，求直线 BD 的解析式；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点 P ，使得 ∠PDB=∠CBD ？若存在，求出 P 点坐标；若不存在，请说明理由.
3．直线 l：y=3x+3 与x轴交于点A，与y轴交于点B．点C是x轴上一动点，点D为（3，0），抛物线 y=ax2+bx+c 过B、C、D三点.
（1）如图1所示，若点C与点A关于y轴对称.
①求直线BD和抛物线的解析式；
②若点P是抛物线对称轴上一动点，当BP+CP的值最小时，求点P的坐标；
③若BD与抛物线的对称轴交于点M，点N在坐标轴上，以点N、B、D为顶点的三角形与△MCD相似，求所有满足条件的点N的坐标；
（2）如图2，若BE//x轴，且E（4，3），点A1与点A关于直线BC对称，当EA1的长最小时，直接写出OC的长.
4．如图，直线y=kx+ 32 与抛物线y= 14x2+bx−52 交于点A（﹣2，0）与点D，直线y=kx+ 32 与y轴交于点C．
（1）求k、b的值及点D的坐标；
（2）过D点作DE⊥y轴于点E，点P是抛物线上A、D间的一个动点，过P点作PM∥CE交线段AD于M点，问是否存在P点使得四边形PMEC为平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
5．如图，在平面直角坐标系中，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A，B两点，其中点A，C的坐标分别为（1，0），（﹣4，0），抛物线的顶点为点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上的一个动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段FE的长度最大时，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使△PEF是以EF为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
6．如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A，B两点，其中A(−2，0)．点D(4，3)为该抛物线上一点．
（1）B点坐标为 ；
（2）直线x=n交直线AD于点K，交抛物线于点P，且点P在点K上方，连接PA、PD；
①请直接写出线段PK长（用含n的代数式表示） ▲ ；
②求△PAD面积的最大值．
（3）将直线AD绕点A逆时针旋转90°得到直线l，若点Q是直线l上的点，且∠ADQ=45°，请直接写出点Q坐标 ．
7．已知抛物线y=−12x2+mx+m+12与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，−52），点P为抛物线在直线AC上方图象上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△PAC面积的最大值，并求此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线y=−12x2+mx+m+12在点A、B之间的部分（含点A、B）沿x轴向下翻折，得到图象G．现将图象G沿直线AC平移，得到新的图象M与线段PC只有一个交点，求图象M的顶点横坐标n的取值范围．
8．如图①，Rt△ABC中，∠B＝90°∠CAB＝30°，AC⊥x轴.它的顶点A的坐标为（10，0），顶点B的坐标为(5, 53 )，点P从点A出发，沿A→B→C的方向匀速运动，同时点Q从点D（0，2）出发，沿y轴正方向以相同速度运动，当点P到达点C时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒.
（1）求∠BAO的度数.（直接写出结果）
（2）当点P在AB上运动时，△OPQ的面积S与时间t（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图②），求点P的运动速度.
（3）求题（2）中面积S与时间t之间的函数关系式，及面积S取最大值时，点P的坐标.
（4）如果点P，Q保持题（2）中的速度不变，当t取何值时，PO＝PQ，请说明理由.
9．如图，抛物线 y=−34x2+94x+3 与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点P是y轴右侧抛物线上的一个动点，过点P作直线BC的垂线，垂足为D．直线PD与x轴交于E，与y轴交于点F．点P的横坐标为m．
（1）求点A，B，C的坐标及直线BC的函数关系表达式；
（2）当CE平分∠OCB时，求出点F的坐标；
（3）是否存在点P，使得△CFP是等腰三角形？若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
10．如图，已知直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=AB=2，OC=3，过点B作BD⊥BC，交OA于点D．将∠DBC绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于E和F．
（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；
（3）连接EF，设△BEF与△BFC的面积之差为S，问：当CF为何值时S最小，并求出这个最小值．
11．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点坐标和△PBC的最大面积．
12．如图1，已知二次函数y=ax2+ ODOA x+c（a≠0）的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC.
（1）请直接写出二次函数y=ax2+ 32 x+c的表达式；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N的坐标；
（4）如图2，若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标.
13．如图1，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线BC的解析式为y=x−4；线段OC的垂直平分线交抛物线于点M、N，点M、N横坐标分别为x1、x2且满足x1+x2=3．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点Q是直线MN上一动点，当点Q在什么位置上时，△QOB的周长最小？求出此时点Q的坐标及△QOB周长的最小值；
（3）如图2，P是线段CB上的一点，过点P作直线PF⊥x轴于F，交抛物线于G，且PF=PG；点H是直线BC上一个动点，点Q是坐标平面内一点，以点H，Q，P，F为顶点的四边形是菱形，直接写出所有满足条件的Q点坐标．
14．综合与探究
如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2+bx+4 交 x 轴于 A ， B 两点（点 B 在点 A 的左边），交 y 轴于点 C ，其中 A(1，0) ， OB=2OA ．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）连接 BC ，点 P 为线段 BC 上一个动点，过点 P 作 PD//y 轴交抛物线于点 D ，当线段 PD 的值最大时，求点 P 的坐标；
（3）在（2）的条件下，是否在 y 轴上存在点 Q ，使 △CPQ 与 △BOC 相似？若存在，请直接写出点 Q 的坐标；若不存在，说明理由．
15．二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的图象是抛物线，定义一种变换，先作这条抛物线关于原点对称的抛物线y′，再将得到的对称抛物线y′向上平移m（m＞0）个单位，得到新的抛物线ym，我们称ym叫做二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的m阶变换．
（1）已知：二次函数y＝2（x+2）2+1，它的顶点关于原点的对称点为 ，这个抛物线的2阶变换的表达式为 ．
（2）若二次函数M的6阶变换的关系式为y6′＝（x﹣1）2+5．
①二次函数M的函数表达式为（ ）．
②若二次函数M的顶点为点A，与x轴相交的两个交点中左侧交点为点B，在抛物线y6′＝（x﹣1）2+5上是否存在点P，使点P与直线AB的距离最短，若存在，求出此时点P的坐标．
（3）抛物线y＝﹣3x2﹣6x+1的顶点为点A，与y轴交于点B，该抛物线的m阶变换的顶点为点C．若△ABC是以AB为腰的等腰三角形，请直按写出m的值．
16．如图，抛物线 y=−38x2−34x+3 与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C
（1）求点A、B的坐标；
（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标；
（3）若直线l过点E（4，0），M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式.
答案解析部分
1．【答案】（1）解：∵令x=0得：y=3，
∴点C的坐标为(0，3)，
∴OC=3．
∵tan∠CAB=3，
∴OCOA=3，即3OA=3，
∴OA=1．
∴点A的坐标为(−1，0)．
∵抛物线的对称轴为x=1，
∴点B的坐标为(3，0)．
将A(−1，0)，B(3，0)代入得：a−b+3=09a+3b+3=0，
解得：a=−1，b=2，
∴抛物线的解析y=−x2+2x+3．
将x=1代入得：y=−1+2+3=4．
∴点D的坐标为(1，4)．
将(1，4)代入反比例函数的解析式得：4=k1，
解得：k=4．
∴反比例函数的解析式为y=4x．
（2）解：如图1所示：连接BC，过点P作PE⊥AB，交BC于点E．
∵AB=4，OC=3，
∴S△ABC=12AB×OC=12×4×3=6．
设直线BC的解析式为y=kx+b，将(3，0)、(0，3)代入得：3k+b=0，b=3，
解得b=3，k=−1，
∴直线BC的解析式为y=−x+3．
设点P的坐标为(x，−x2+2x+3)，则E点的坐标(x，−x+3)．
∴PE=−x2+3x，
∴S△PBC=12PE⋅OB=12×3×(−x2+3x)=32x2+92x．
∴S四边形ABPC=−32x2+92x+6=−32(x−32)2+758，
将x=32代入抛物线的解析式得：y=154，
∴P点坐标(32，154)，S四边形ABPC最大值=758．
（3）解：如图2所示：连接BC，过点O作OE⊥BC，垂足为E．
∵QB=QC，
∴点Q在BC的垂直平分线上．
∵OE⊥BC，OB=OC，
∴EC=BE，
∴OE是BC的垂直平分线，
∴点Q在OE上，
∵OE垂直平分BC，
∴直线OE的解析式为y=x．
将y=x与y=4x联立得y=xy=4x，
解得x=2y=2或x=−2y=−2
∴点Q的坐标为(2，2)或(−2，−2)，
将y=x与y=−x2+2x+3联立得y=xy=−x2+2x+3，
解得：x=1+132y=1+132或x=1−132y=1−132，
∴点Q的坐标为(1+132，1+132)或(1−132，1−132)．
综上所述，点Q的坐标为(2，2)或(−2，−2)或(1+132，1+132)或(1−132，1−132)．
2．【答案】（1）把 A(−1,0) 代入解析式，可得： a=13
∴y=13x2−83x−3
（2）由（1）易得： B(9,0)
∵AB 为 O' 的直径，且 A(−1,0) ， B(9,0) ，
∴OO'=4 ， O'(4,0) ，
∵点 E 是 AC 延长线上一点， ∠BCE 的平分线 CD 交 O' 于点 D ，
∴∠BCD=12∠BCE=12×90°=45° ，
连接 O'D ，则 ∠BO'D'=2∠BCD=2×45°=90° ， OO'=4 ， O'D=12AB=5 .
∴O'D⊥x 轴∴D(4,−5) .
∴设直线 BD 的解析式为 y=kx+b ，∴9k+b=04k+b=−5 ，解得 k=1b=−9 ，
∴直线 BD 的解析式为 y=x−9
（3）假设在抛物线上存在点 P ，使得 ∠PDB=∠CBD ，
设射线 DP 交 O' 于点 Q ，则弧 BQ 与弧 CD 相等.
分两种情况（如图所示）：
∵O'(4,0) ， D(4,−5) ， B(9,0) ， C(0,−3) .
∴把点 C ， D 绕点 O' 逆时针旋转 90° ，使点 D 与点 B 重合，则点 C 与点 Q1 重合，
因此，点 Q1(7,−4) 符合题意，
∵D(4,−5) ， Q1(7,−4) ，
∴用待定系数法可求出直线 DQ1 解析式为 y=13x−193 .
解方程组 y=13x−193y=13x2−83x−3 得 x1=9−412y1=−29−416 或 x2=9+412y2=−29+416
∴点 P1 坐标为 (9+412,−29+416) ，坐标为 (9−412,−29−416) 不符合题意，舍去.
∵Q1(7,−4) ，
∴点 Q1 关于 x 轴对称的点的坐标为 Q2(7,4) 也符合题意.
∵D(4,−5) ， Q2(7,4) .
∴用待定系数法可求出直线 DQ2 解析式为 y=3x−17 .
解方程组 y=3x−17y=13x2−83x−3 得 x1=3y1=−8 或 x2=14y2=25 ，
∴点 P2 坐标为 (14,25) ，坐标为 (3,−8) 不符合题意，舍去.
∴符合条件的点 P 有两个： P1(9+412,−29+416) ， P2(14,25)
3．【答案】（1）解：①∵直线l：y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴A（﹣1，0），B（0，3），∵点A与点C关于y轴对称，∴C（1，0），设直线BD的解析式为：y=kx+b，
∵点B（0，3），D（3，0）在直线BD上，
∴b=33k+b=0 ，解得k=﹣1，b=3，
∴直线BD的解析式为：y=﹣x+3；
设抛物线的解析式为：y=a（x﹣1）（x﹣3），∵点B（0，3）在抛物线上，
∴3=a×（﹣1）×（﹣3），
解得：a=1，
∴抛物线的解析式为：y=（x﹣1）（x﹣3）=x2﹣4x+3；
②点C关于对称轴的对称点为D，
直线BD的解析式为：y=﹣x+3，
当x=2时，y=1，
∴点P（2，1）；
③抛物线的解析式为：y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2，﹣1），
直线BD：y=﹣x+3与抛物线的对称轴交于点M，令x=2，得y=1，
∴M（2，1），
设对称轴与x轴交点为点F，则CF=FD=MF=1，
∴△MCD为等腰直角三角形，
∵以点N、B、D为顶点的三角形与△MCD相似，
∴△BND为等腰直角三角形，
如答图1所示：
（I）若BD为斜边，则易知此时直角顶点为原点O，
∴N1（0，0）；
（II）若BD为直角边，B为直角顶点，则点N在x轴负半轴上，
∵OB=OD=ON2=3，∴N2（﹣3，0）；
（III）若BD为直角边，D为直角顶点，则点N在y轴负半轴上，
∵OB=OD=ON3=3，∴N3（0，﹣3），∴满足条件的点N坐标为：（0，0），（﹣3，0）或（0，﹣3）；
（2）解：如图所示，当点A1在BE上是时，EA1最小，
由OB=3，OA=1，根据勾股定理可得AB= 10 ，所以BA1=BA= 10 ，
易证明四边形ACA1B是菱形，所以AC=AB= 10 ，所以OC= 10 -1.
4．【答案】（1）解：把A（﹣2，0）代入y=kx+ 32 得到：0=﹣2k+ 32 ，解得k= 34 ． 把A（﹣2，0）代入 y=14x2+bx−52 得到： 14 ×（﹣2）2﹣2b﹣ 52 =0，解得b=﹣ 34 ．则该直线方程为y= 34 x+ 32①抛物线方程为：y= 14 x2﹣ 34 x﹣ 52②联立①②解得x=8，y= 152 ，即点D的坐标是（8， 152 ）；综上所述，k的值是 34 ，b的值是 34 ．点D的坐标是（8， 152 ）
（2）解：设P（m， 14 m2﹣ 34 m﹣ 52 ），则M（m， 34 m+ 32 ），∵PM∥CE且四边形PMEC为平行四边形，∴PM=CE，∴yM=﹣yP=yE﹣yC，即﹣ 14 m2+ 32 m+4= 152 ﹣ 32 ，整理，得（m﹣2）（m+4）=0，解得m1=2，m2=﹣4，故点P的坐标为（2，﹣3）或（4，﹣ 32 ）
5．【答案】（1）解：∵A，C的坐标分别为（1，0），（﹣4，0），
∴AC=5．
∵△ABC为等腰直角三角形，∠C=90°，
∴BC=AC=5．
∴B（﹣4，﹣5）．
将点A和点B的坐标代入得： −1+b+c=0−16−4b+c=−5 ，解得： b=−2c=3 ，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3．
（2）解：如图1所示：
设直线AB的解析式为y=kx+b，将点A和点B的坐标代入得： k+b=0−4k+b=−5 ，解得：k=1，b=﹣1．
所以直线AB的解析式为y=x﹣1．
设点E的坐标为（t，t﹣1），则点F的坐标为（t，﹣t2﹣2t+3）．
∴EF=﹣t2﹣2t+3﹣（t﹣1）=﹣t2﹣3t+4=（t+ 32 ）2+ 254 ．
∴当t=﹣ 32 时，FE取最大值 254 ，此时，点E的坐标为（﹣ 32 ，﹣ 52 ）．
（3）解：存在点P，能使△PEF是以EF为直角边的直角三角形．
理由：如图所示：过点F作直线a⊥EF，交抛物线于点P，过点E作直线b⊥EF，交抛物线P′、P″．
由（2）可知点E的坐标为（t，t﹣1），则点F的坐标为（t，﹣t2﹣2t+3），t=﹣ 32 ，
∴点E（﹣ 32 ，﹣ 52 ）、F（﹣ 32 ， 154 ）．
①当﹣t2﹣2t+3= 154 时，解得：x=﹣ 12 或x=﹣ 32 （舍去）．
∴点P的坐标为（﹣ 12 ， 154 ）．
②当﹣t2﹣2t+3=﹣ 52 时，解得：x=﹣1+ 262 或x=﹣1﹣ 262 ．
∴点P′（﹣1﹣ 262 ，﹣ 52 ），P″（﹣1+ 262 ，﹣ 52 ）．
综上所述，点P的坐标为（﹣ 12 ， 154 ）或（﹣1﹣ 262 ，﹣ 52 ）或P″（﹣1+ 262 ，﹣ 52 ）．
6．【答案】（1）（6，0）
（2）解：①PK=−14n2+12n+2；②如下图中，
∵S△PAD=12⋅(xD−xA)⋅PK=3PK，
∴PK的值最大时，△PAD的面积最大，
∵−14