江苏省盐城市五校联考2024_2025学年高三数学上学期10月月考试题含解析

这是一份江苏省盐城市五校联考2024_2025学年高三数学上学期10月月考试题含解析，共14页。试卷主要包含了作答非选择题时必须用黑色字迹0， 若正数满足，则的最小值是， 已知，，则， 已知， 下列导数运算正确的是等内容，欢迎下载使用。
1.本试卷中所有试题必须作答在答题纸上规定的位置，否则不给分.
2.答题前，务必将自己的姓名､准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题纸上.
3.作答非选择题时必须用黑色字迹0.5毫米签字笔书写在答题纸的指定位置上，作答选择题必须用2B铅笔在答题纸上将对应题目的选项涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持答题纸清洁，不折叠､不破损.
一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由解一元二次不等式解出集合，再由交集的运算求出最后结果即可.
【详解】由题意可得，，则.
故选：B.
2. 半径为2的圆上长度为4的圆弧所对的圆心角是（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，结合扇形的弧长公式，即可求解.
【详解】设圆弧所对的圆心角为，因为半径为2的圆上圆弧长度为4，可得，所以.
故选：B.
3. 已知，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】A、B、C选项可用赋值法判断正误，D选项根据指数与对数计算法则判断.
【详解】设则
，A错误；
，B错误；
，C错误；
，D正确.
故选：D.
4. 若正数满足，则的最小值是（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意可得，利用基本不等式求解.
【详解】由可得，
，
当且仅当，即时，等号成立，此时符合题意.
所以的最小值为.
故选：A.
5. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先应用同角三角函数公式切化弦，再应用两角和与差的正弦公式计算即可.
【详解】由，得，所以，
又，
所以，，
所以．
故选：D.
6. 若函数是在上的减函数，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分段函数在R上递减，需要满足在每一段上均单调递减，且分段处，左端点函数值大于等于右端点函数值, 一次函数以及对数函数的性质得到关于a的不等式组，解出即可．.
【详解】由题意知是在上的减函数，
所以，解之可得，
则的取值范围是.
故选：A
7. 已知函数在内有且仅有3个零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用两角和正弦公式和辅助角公式将函数整理为，由，得，结合正弦函数的图像求得的范围，从而求得的范围.
【详解】
当时，
在有且仅有3个零点，结合正弦函数图像可知，
解得：
故选：A.
【点睛】本题考查函数的零点问题，解答本题关键是先利用三角恒等变换公式将三角函数整理为形式，再利用数形结合思想求解，考查学生的数形结合与计算能力，属于中档题.
8. 已知.设甲：，乙：，则（ ）
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用构造函数法，结合导数以及充分和必要条件等知识确定正确答案.
【详解】依题意，，
对于甲：，即，
设，
所以在上单调递增，故.
对于乙：，两边取以为底的对数得，
由于，所以，则，
设，
所以在区间上单调递增，
在区间上单调递减，
所以由，即，若或，则，
若不在的同一单调区间，则，
所以甲是乙的充分条件但不是必要条件.
故选：A
二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列导数运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据求导公式、运算法则和简单复合函数的求导依次计算，即可求解.
【详解】A：，故A正确；
B：，故B错误；
C：，故C正确；
D：，故D正确.
故选：ACD
10. 已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度，然后纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，则下列描述中正确的是（ ）．
A. 函数的图象关于点成中心对称
B. 函数的最小正周期为2
C. 函数单调增区间为，
D. 函数图象没有对称轴
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据图象的平移变换可得，根据正切函数的对称中心可求A，根据周期公式可求B，利用正切函数的单调性可求C，根据正切函数不是轴对称图形可求D.
【详解】将函数的图象向左平移个单位长度可得函数，
然后纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数，
令解得，当时，
所以函数的图象关于点成中心对称，A正确；
函数的最小正周期为，B正确；
令解得，
所以函数单调增区间为，，C错误；
正切函数不是轴对称图形，D正确，
故选:ABD.
11. 已知实数a，b是方程的两个根，且，，则（ ）
A. ab的最小值为9B. 的最小值为18
C. 的最小值为D. 的最小值为12
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用韦达定理求出的范围，然后可得关系，然后结合基本不等式逐项判断即可．
【详解】因为实数a，b是方程的两个根，
所以，所以或，
由根与系数的关系得，，，
又，，所以，且，综上得．
消去k，得，
由基本不等式得，即，
令，则，解得或（舍去），
当时，，解得，当时，ab的最小值为9，故A正确；
因为，当时取等号，的最小值为18，故B正确；
，
当，即，时取等号，
所以的最小值为，故C正确；
因为，所以，
，
当，即，时等号成立，此时的最小值为13，故D错误．
故选：ABC
三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 命题“”的否定为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可求解.
【详解】由命题否定的定义，可知命题“”的否定是“”.
故答案为：，.
13. 若过点的直线是曲线和曲线的公切线，则________．
【答案】
【解析】
【分析】设该公切线在的切点为，借助导数的几何意义可得切线，再与曲线切于，计算即可得解.
【详解】设直线与曲线的切点为，
由，得切线方程为，又，
所以，将点代入，有，
解得（负值舍去），所以切线方程为，
设切线与曲线的切点为，
又，所以，，，
消去、，得，
令，，
当且仅当时，等号成立，
即函数在上单调递增，又，
所以方程的实数解为，
故有，解得.
故答案为：.
14. 已知函数为定义在上的奇函数，则______．
【答案】4051
【解析】
【分析】由已知可得函数关于中心对称，然后利用中心对称的性质求解即可.
【详解】因为函数为定义在R上的奇函数，则,
且函数关于中心对称，所以,
．
故答案为：4051
四､解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
15. 已知函数．
（1）求的最小正周期；
（2）当时，求的最小值以及取得最小值时的集合．
【答案】（1），（2），时
【解析】
【分析】（1）先利用同角平方关系及二倍角公式，辅助角公式进行化简，即可求解；
（2）由的范围先求出的范围，结合余弦函数的性质即可求解．
【详解】解：（1），
，
，
，
故的最小正周期；
（2）由可得，，
当得即时，函数取得最小值．所以，时
16. 已知定义在上的奇函数，其中.
（1）求函数的值域；
（2）解不等式：.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用奇函数的定义可得的值，再利用指数函数的性质即可得其值域；
（2）原不等式可化为，借助换元法计算可得的取值范围，再利用指数函数的性质计算即可得解.
【小问1详解】
为定义在上的奇函数，
，，
当时，，符合题意，
，
，，
，
的值域为；
【小问2详解】
由（1）有，
原不等式可化为，
令，则，
，即，
，，
不等式的解集为.
17. 如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角和角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于点A、B两点，点A的横坐标为，点C与点B关于x轴对称．
（1）求的值；
（2）若，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据三角函数的定义以及同角三角函数的基本关系、二倍角公式可求解；
（2）根据三角函数的定义及两角差的余弦公式，可求解.
【小问1详解】
因为点的横坐标为，且，点在第一象限，所以点纵坐标为，
所以，
所以.
【小问2详解】
因为，由图可知：.
而，
故（）（），
所以.
【点睛】思路点睛：本题考查三角函数的求值问题，利用三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，二倍角公式，还有两角差的余弦公式可求解.属于中档题目.
18. 已知函数.
（1）求单调区间；
（2）当时，，求实数的取值范围；
【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为
（2）
【解析】
【分析】（1）解不等式和，即可得出函数的单调区间；
（2）设，一方面， 由题意取，解得；令一方面，当时，利用讨论的单调性可得，即可求解.
【小问1详解】
由题意可知：的定义域为，且
令，解得；令，解得；
所以的单调递减区间为，单调递增区间为.
【小问2详解】
设，
当时，，即对任意恒成立，
取，解得；
若，则，
设，则，
可知在上单调递增，则，此时，符合题意；
综上所述：实数的取值范围为.
19. 设集合A为非空数集，定义.
（1）若集合，直接写出集合及；
（2）若集合且，求证；
（3）若集合且，求A中元素个数的最大值.
【答案】（1）， （2）证明见解析 （3）1350
【解析】
【分析】（1）根据新定义直接求解即可；
（2）由题意可得且，即可证明；
（3）由新定义可得、，由题意和容斥原理得，最小的元素为0，最大的元素为，则，求出的范围，设且，求出的最小值即可.
【小问1详解】
由，
，故
，故.
【小问2详解】
由于集合且，
所以中也只包含四个元素，即
剩下的，所以；
【小问3详解】
设满足题意，其中，
，
所以，，所以，
因为，由容斥原理，
中最小的元素为0，最大的元素为，
所以，则，所以，
当时满足题意，证明如下：
设且，则，
，
依题意有，故的最小值为675，
于是当时A中元素最多，即时满足题意，
综上所述，集合A中元素的个数的最大值是1350.
【点睛】关键点点睛：第三问，由题意推得为关键，再研究集合元素最多时元素个数.