浙江省宁波市2024_2025学年高一数学上学期期中联考试题含解析 (1)

这是一份浙江省宁波市2024_2025学年高一数学上学期期中联考试题含解析 (1)，共18页。试卷主要包含了考试结束后，只需上交答题纸， 下面不等式成立的是， 下列命题是真命题的是， 下列说法中正确的有等内容，欢迎下载使用。
1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.
4.考试结束后，只需上交答题纸.
选择题部分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，若，则实数a的值为（ ）
A. 0B. 1C. 1或3D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】利用集合相等求解.
【详解】解：因集合，，且，
所以，解得，
故选：D
2. 下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,+∞)上单调递减的函数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：由偶函数定义知，仅A,C为偶函数， C. 在区间上单调递增函数，故选A．
考点：本题主要考查奇函数的概念、函数单调性、幂函数的性质．
点评：函数奇偶性判定问题，应首先考虑函数的定义域是否关于原点对称．
3. “”是“”的（ ）
A 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合指数函数单调性判断即得.
【详解】，
反之当时，取，不等式无意义，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
4. ，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用指数函数的性质比较大小即得.
详解】，，
所以.
故选：D
5. 下面不等式成立的是（ ）
A. 若，，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，，则
【答案】B
【解析】
【分析】举例说明判断AC；利用不等式的性质推理判断BD.
【详解】对于A，取，满足，，而，A错误；
对于B，由，得，则，B正确；
对于C，取，满足，而，C错误；
对于D，由，得，则，而，
于是，，D错误.
故选：B
6. 已知函数的图象关于点对称，且，，，则的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，结合函数的图象变换确定函数的对称性，再借助单调性判断即得.
【详解】函数的图象向右平移1个单位得函数的图象，
由函数的图象关于点对称，得函数的图象关于原点对称，排除AB；
由，，，得函数在上单调递增，排除D，C符合.
故选：C
7. 已知函数，若的最小值为，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据分段函数，分别确定每段的最小值，再根据给定最小值建立不等式，求解即可.
【详解】当时，的最小值为，
当时，，
若时，为增函数，所以，
所以需满足，解得，与矛盾，故不合题意；
当时，由对勾函数性质，在上单调递增，
又的最小值为，则，解得，
综上，实数a的取值范围是.
故选：B
8. 已知正实数，，满足，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据，由，得到，再利用不等式和一元二次不等式的解法求解.
【详解】解：因为，
所以，即，
因为，则，解得，当且仅当，即或时，等号成立，
所以的取值范围为，
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 命题“，”，的否定是“，”
B. 与是同一个函数
C. 不等式的解集为
D. 若，，则
【答案】AD
【解析】
【分析】根据存在命题的否定判断A，根据定义域不同判断B，根据特殊值判断C，根据不等式性质判断D.
【详解】由存在量词命题的否定知，，，的否定是，，故A正确；
由知的定义域为，由或知定义域为，所以函数不是同一个函数，故B错误；
因为时，分母为0，故不等式的解集不是，故C错误；
由不等式的性质，，又，
所以，故D正确.
故选：AD
10. 下列说法中正确的有（ ）
A. 函数在上单调递增
B. 函数的定义域是，则函数的定义域为
C. 不等式的解集为
D. 函数关于点中心对称
【答案】BD
【解析】
【分析】由复合函数的单调性可判断A；由函数的定义域的定义可判断B；对讨论，分，可判断C；由函数的图象平移可判断D .
【详解】对于A，函数在上单调递减，故A错误；
对于B，函数的定义域是，可得，解得，所以函数的定义域为，故B正确；
对于C，不等式，当时解集为；当时解集为；当时解集为，故C错误;
对于D，的图象可由向左平移1个单位，再向上平移1个单位得到，可得关于点中心对称，故D正确.
故选：BD.
11. 已知函数，若，恒成立，则（ ）
A. 函数是奇函数B. 函数是增函数
C. ，是真命题D. m可以为0
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据给定条件，结合奇函数的定义、复合函数的单调性，逐项分析判断即可.
【详解】函数的定义域为R，
对于A，，，
函数是奇函数，A正确；
对于B，函数在R上单调递增，则函数在R上单调递减，而在R上单调递增，
因此函数在R上单调递增，函数是增函数，B正确；
对于C，，
，因此，
，是真命题，C正确；
对于D，由选项C知，，解得，D错误.
故选：ABC
【点睛】思路点睛：涉及奇偶性的函数不等式，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”求解.
非选择题部分
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数的单调递增区间为______.
【答案】(或1,+∞也正确)
【解析】
【分析】根据函数解析式直接得出单调区间.
【详解】,
所以函数的单调递增区间为.
故答案为：(或1,+∞也正确)
13. 已知函数是定义在上的奇函数，且时，，则_____.
【答案】
【解析】
【分析】由奇函数求出，再利用奇函数的定义求出.
【详解】由函数是定义在上的奇函数，得，
而当时，，则，
所以.
故答案：
14. 实数，满足，则的最小值为______.
【答案】2
【解析】
【分析】由条件分离出，代入转化为关于的式子，利用对数运算后由基本不等式求最值.
【详解】由可得，
所以，
所以
，
当且仅当，即，时等号成立.
故答案为：2
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于怎样建立已知条件与待求式之间的联系，通过类似消元的思想，利用对数运算与性质得出，再由均值不等式得解.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 函数的定义域为集合，，.
（1）求，.
（2）若，求实数m的取值范围.
【答案】（1），；
（2）.
【解析】
【分析】（1）求出函数定义域化简集合，解不等式化简集合，再利用补集、交集定义求解即得.
（2）由（1）的信息，利用并集的结果，结合集合的包含关系列式求解.
【小问1详解】
由，得，解得，则，
，由，得，则，
所以，.
【小问2详解】
由，得，而，
则，解得，
所以实数m的取值范围是.
16. 已知函数
（1）若不等式的解集为，求a，b的值
（2）若方程仅有一个实数解，求的最小值.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）根据二次不等式的解集可知对应一元二次方程的根，由根与系数列方程求解；
（2）由题意判别式为0，得出，再由“1”的技巧及基本不等式得解.
【小问1详解】
因为不等式的解集为，
所以方程的两根为，
所以由根与系数的关系可得，
解得或.
【小问2详解】
因为方程仅有一个实数解，
所以，即，
所以，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为.
17. 文化自信，服装先行，近年来汉服文化成为了一种时尚的潮流，“汉服热”的本质是对中华民族传统文化的自觉、自知、自信.内育文化强底气，外引项目强经济，汉服体验项目的盛行也带动了文化古镇的经济发展.近30天，某文化古镇的一汉服体验店，汉服的日租赁量P（件）与日租赁价格W（元/件）都是时间t（天）的函数，其中，.每件汉服的日综合成本为20元.
（1）写出该店日租赁利润Y与时间t之间的函数关系；
（2）求该店日租赁利润Y的最大值.（注：租赁利润＝租赁收入－租赁成本）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）按照“租赁利润＝租赁收入－租赁成本”可以写出利润Y与时间t之间的函数关系；
（2）应用二次函数性质与对勾函数性质分段求出最大值，再比较两值大小即可得到利润Y的最大值.
【小问1详解】
解：依题意可知，，
即
【小问2详解】
解：因为，
所以当时，，
所以当时；
当时，
，
当且仅当,，
即时等号成立，而，
由对勾函数性质可知在单调递减，
所以当，即时，，
又因为，
所以当时，该店日租赁利润Y的最大值为.
18. 已知函数.
（1）用定义进行证明函数在的单调性.
（2）已知函数，若对任意的，，使得，求实数m的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据函数的单调性的定义证明即可；
（2）由题意，转化为，对二次函数分类讨论求最小值，建立不等式得解.
【小问1详解】
设任意的，且，
则，
因为，所以，，
所以，即，
所以，函数在0,+∞的单调递增.
【小问2详解】
由题意，，
由（1）知，在上单调递增，所以，
由，知对称轴方程为，
①当时，，
解得，又，故无解；
②当时，，
解得，又，
所以；
③当时，，
解得，又，
所以.
综上，实数m的取值范围.
19. 已知双曲函数，.
（1）证明：
（2）判断函数的单调性（不用证明），并解关于x的不等式.
（3）若，不等式成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；
（2）单调递增，；
（3）.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用指数运算计算即得.
（2）利用指数函数单调性，结合复合函数的单调性判断单调性，再利用单调性解不等式.
（3）根据给定条件，分离参数，换元并借助对勾函数的单调性求出最大值即可.
【小问1详解】
双曲函数，,
则.
【小问2详解】
函数在上单调递减，在上单调递增，而函数在上单调递增，
所以函数在上单调递增，
不等式，
则，即，解得，
所以原不等式的解集为.
【小问3详解】
不等式，
当时，，则，
依题意，，恒成立，令，，
，函数在上单调递增，
则当时，，因此，即当时，取得最大值，则，
所以实数的取值范围是.
【点睛】结论点睛：函数的定义区间为，
①若，总有成立，则；
②若，总有成立，则；
③若，使得成立，则；
④若，使得成立，则.