江苏省南通市海安市2024_2025学年高二数学上学期11月期中检测含解析

这是一份江苏省南通市海安市2024_2025学年高二数学上学期11月期中检测含解析，共18页。试卷主要包含了 已知是圆一条弦，，是的中点， 下列结论正确的是， 下列四个命题中，正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若经过，两点的直线的倾斜角为，则（ ）
A. －4B. －2C. D. 2
2. 若直线与平行，则（ ）
A. B. C. D. 2
3. 已知数列满足，且，则（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
4. 已知等差数列的首项为10，公差为，则数列的前项和的最大值为（ ）
A. B. 30C. 80D. 不存在
5. 已知双曲线的离心率为2，一个焦点在抛物线的准线上，则的顶点到渐近线的距离为（ ）
A. B. C. D. 3
6. 如图，是某心形二次曲线，则的方程可能为（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知椭圆的一个焦点是，过原点的直线与相交于点，，的面积是20，则（ ）
A. 5B. C. D. 10
8. 已知是圆一条弦，，是的中点.当弦在圆上运动时，直线上总存在两点，使得为钝角，则的取值范围是（ ）
A. B.
C D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列结论正确的是（ ）
A. 直线的倾斜角的取值范围是
B. 斜率之积为的两直线相互垂直
C. 在两坐标轴上截距相等的直线斜率为
D. 直线的一般式方程可以表示平面上任意一条直线
10. 下列四个命题中，正确的是（ ）
A. 要唯一确定圆，只需给出圆上三点
B. 要唯一确定抛物线，只需给出焦点和准线
C. 要唯一确定以坐标原点为中心椭圆，只需给出椭圆上两点
D. 要唯一确定以坐标原点为中心的双曲线，只需给出一条渐近线和一个焦点
11. 设数列的前项和为，则数列为常数列（各项均为同一个常数的数列）的一个充分条件是（ ）
A. B.
C. D. ，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知圆，试写出一个半径为1，且与轴和圆都相切的圆的标准方程：_______________.
13. 定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项加上它的前一项所得的和都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等和数列，这个常数叫做等和数列的公和.已知数列是等和数列，，，则公和为_______________.
14. 已知抛物线的焦点为，为圆上的动点，点，则__________；若为上的动点，则的最小值为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在平面直角坐标系中，过点的直线与抛物线相交于点，.
（1）若直线的斜率为1，求；
（2）求证：.
16. 已知等差数列的前项和为，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，，若，，成等差数列，求并证明为等差数列.
17. 已知为圆上任意一点，点，线段的垂直平分线与交于点，记点的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）过点作直线（与轴不重合）与相交于点，，直线与轴交于点，，求的方程.
18. 已知等轴双曲线的左、右焦点分别，，且焦距为，分别是在第二象限和第一象限上的一点，且.
（1）求的方程；
（2）若直线的斜率为，求直线的斜率；
（3）若四边形的面积为，求直线的方程.
19. 记等差数列的前项和为，公差为.
（1）证明：是关于的不含常数项的二次函数；
（2）等差数列公差为，且.
①求的通项公式；
②记数列前项和为，是否存在，，使得？若存在，求，；若不存在，请说明理由.
2024~2025学年度第一学期期中学业质量监测试卷
高二数学
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若经过，两点的直线的倾斜角为，则（ ）
A. －4B. －2C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】由两点间斜率公式得到方程，求出答案.
【详解】，故，解得.
故选：D
2. 若直线与平行，则（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据直线平行列式求解，并代入检验即可.
【详解】由题意可得：，解得，
若，则直线、，两直线平行，
综上所述：.
故选：A.
3. 已知数列满足，且，则（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据递推公式直接代入运算求解.
【详解】因，
令，可得；
令，可得；
令，可得；
令，可得；
故选：C.
4. 已知等差数列的首项为10，公差为，则数列的前项和的最大值为（ ）
A. B. 30C. 80D. 不存在
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意分析的符号性，进而可得前项和的最值.
【详解】由题意可知：，且数列an为递减数列，
当时，；当时，；当时，；
所以数列an的前项和的最大项数为5或6，最大值为.
故选：B.
5. 已知双曲线的离心率为2，一个焦点在抛物线的准线上，则的顶点到渐近线的距离为（ ）
A B. C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】根据抛物线准线可得，根据离心率可得顶点和渐近线，即可得结果.
【详解】由题意可知：抛物线的准线为，
则为双曲线的焦点，即，
又因为离心率为，可得，
且，解得，
取渐近线为，即，取顶点为，
所以的顶点到渐近线的距离为.
故选：A.
6. 如图，是某心形二次曲线，则的方程可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用排除法，根据对称性排除CD，令，解方程排除B.
【详解】显然图象关于y轴对称，即把x换成方程不变，可知CD错误；
对于B：令，可得，解得或，不合题意；
故选：A.
7. 已知椭圆的一个焦点是，过原点的直线与相交于点，，的面积是20，则（ ）
A. 5B. C. D. 10
【答案】D
【解析】
【分析】求出，由三角形的面积得到面积为10，设，则，将代入中得，求出，得到.
【详解】由题意得，故，故，
因为的面积为20，所以面积为10，
设，则，解得，
将代入中得，
故，则.
故选：D
8. 已知是圆的一条弦，，是的中点.当弦在圆上运动时，直线上总存在两点，使得为钝角，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分析可知点的轨迹是以O0,0为圆心，半径的圆C，且以为直径的圆与圆C相交，以外切为临界求解即可.
【详解】由题意可知：圆的圆心为O0,0，半径，
因为，则，
可知点的轨迹是以O0,0为圆心，半径的圆C，
设的中点为，
因为为钝角，可知以为直径的圆与圆C相交，

且O0,0到直线的距离，可知，
以外切为临界，可得，可得，
若使得存在两点，满足题意，则，
所以AB的取值范围是.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列结论正确的是（ ）
A. 直线的倾斜角的取值范围是
B. 斜率之积为的两直线相互垂直
C. 在两坐标轴上截距相等的直线斜率为
D. 直线的一般式方程可以表示平面上任意一条直线
【答案】BD
【解析】
【分析】对于A：根据倾斜角定义分析判断；对于B：根据直线垂直分析判断；对于C：举反例说明即可；对于D：根据直线的一般方程分析判断.
【详解】对于A：直线的倾斜角的取值范围是，故A错误；
对于B：斜率之积为的两直线相互垂直，故B正确；
对于C：例如直线，此时在两坐标轴上截距均0，相等，但斜率不为，故C错误；
对于D：直线的一般式方程可以表示平面上任意一条直线，故D正确；
故选：BD.
10. 下列四个命题中，正确的是（ ）
A. 要唯一确定圆，只需给出圆上三点
B. 要唯一确定抛物线，只需给出焦点和准线
C. 要唯一确定以坐标原点为中心的椭圆，只需给出椭圆上两点
D. 要唯一确定以坐标原点为中心的双曲线，只需给出一条渐近线和一个焦点
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A：根据三角形外接圆分析判断；对于B：根据抛物线的定义分析判断；对于C：根据椭圆形状分析判断；对于D：根据双曲线的性质分析判断.
【详解】对于A：根据三角形的外接圆的唯一性可知：A正确；
对于B：根据抛物线的定义可知：给出焦点和准线即可确定抛物线，故B正确；
对于C：给出两点不能确定椭圆，例如给定长轴顶点，此时椭圆有无数个，故C错误；
对于D：因为中心为坐标原点，若给出一条渐近线和一个焦点，
可以求出a,b,c，且可以确定焦点位置，即可得双曲线方程，可以确定双曲线，故D正确；
故选：ABD.
11. 设数列的前项和为，则数列为常数列（各项均为同一个常数的数列）的一个充分条件是（ ）
A. B.
C. D. ，
【答案】ACD
【解析】
【分析】A选项，利用得到，为常数列，A正确；B选项，推出，，不妨设，举出反例；CD选项，均可得到，为充分条件.
【详解】A选项，当时，，当时，，
故an的通项公式为，为常数列，故A正确；
B选项，，，不妨设，则此时an不为常数列，B错误；
C选项，，，两者相减得，
故，即，故an为常数列，故C正确；
D选项，时，，即，
又，故在上恒成立，an为常数列，故D正确；
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知圆，试写出一个半径为1，且与轴和圆都相切的圆的标准方程：_______________.
【答案】（答案不唯一，符合题意即可）
【解析】
【分析】所求圆的圆心为，则，结合两圆位置关系列式求解即可.
【详解】因为圆的圆心为，半径，
设所求圆的圆心为，则，
且或，
若，，解得，
可得圆心为，所求圆的方程为；
若，，无解，不合题意；
若，，解得或，
可得圆心为或，
所求圆的方程为或；
若，，解得，
可得圆心为，所求圆的方程为；
故答案为：（答案不唯一，符合题意即可）.
13. 定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项加上它的前一项所得的和都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等和数列，这个常数叫做等和数列的公和.已知数列是等和数列，，，则公和为_______________.
【答案】7
【解析】
【分析】根据题意分析可知数列是以2为周期的周期数列，结合周期性分析求解.
【详解】由题意可知：（公和），则，
可得，可知数列是以2为周期的周期数列，
可得，，所以公和.
故答案为：7.
14. 已知抛物线的焦点为，为圆上的动点，点，则__________；若为上的动点，则的最小值为__________.
【答案】 ①. ##0.5 ②. 5
【解析】
【分析】根据题意可得圆的方程为，结合两点间距离公式运算求解即可得；由结合几何性质可得，再结合抛物线的定义分析求解.
【详解】由题意可知：抛物线的焦点为F1,0，准线为，
设，圆，即为，
则；
因为，则，
当且仅当三点共线时，等号成立，
设点到准线的距离为，
则，当且仅当为坐标原点时，等号成立，
综上所述：，
当且仅当为坐标原点，为0,3时，等号成立，
所以的最小值为5.
故答案为：；5.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在平面直角坐标系中，过点的直线与抛物线相交于点，.
（1）若直线的斜率为1，求；
（2）求证：.
【答案】（1）
（2）证明过程见解析
【解析】
【分析】（1）直线的方程为，联立，求出两根之和，两根之积，利用弦长公式得到；
（2）当直线的斜率为0时，不合要求，设直线的方程为，与联立得，得到两根之和，两根之积，计算出，得到，得到垂直关系.
【小问1详解】
直线的方程为，
联立得，
设Ax1,y1,Bx2,y2，则，
则；
【小问2详解】
当直线的斜率为0时，与抛物线只有1个交点，不合要求，舍去，
设直线的方程为，
与联立得，
设Ax1,y1,Bx2,y2，则，
则，
故，
故.
16. 已知等差数列的前项和为，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，，若，，成等差数列，求并证明为等差数列.
【答案】（1）
（2）,证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据已知条件求出和，从而得到的通项公式.
（2）求出后代入表达式，再根据，，成等差数列求出，最后通过计算是否为常数来证明为等差数列.
【小问1详解】
已知，根据等差数列通项公式可得.
又因为，根据等差数列前项和公式，
可得，即.
联立方程组，可得，即.
将代入，可得.
所以数列的通项公式为.
【小问2详解】
由，，
可得.
所以.
因为，，成等差数列，则.
.
.
.
故：.解得.
当时，.
，为常数.故bn为等差数列.
17. 已知为圆上任意一点，点，线段的垂直平分线与交于点，记点的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）过点作直线（与轴不重合）与相交于点，，直线与轴交于点，，求的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）分析可知点的轨迹是以为焦点的椭圆，进而可得方程；
（2）设直线，，根据向量可得，结合韦达定理运算求解.
【小问1详解】
由题意可知：的圆心为，半径为4，且，

则，
可知点的轨迹是以为焦点的椭圆，则，
所以的方程为.
【小问2详解】
因为点在椭圆内部，可知直线与椭圆必相交，

设直线，，则，
联立方程，消去x可得，
则，
又因为，
若，则，即，
可得，解得，
所以的方程为，即.
18. 已知等轴双曲线的左、右焦点分别，，且焦距为，分别是在第二象限和第一象限上的一点，且.
（1）求的方程；
（2）若直线斜率为，求直线的斜率；
（3）若四边形的面积为，求直线的方程.
【答案】（1）
（2）3 （3）
【解析】
【分析】（1）根据题意结合等轴双曲线的定义列式求，即可得方程；
（2）设直线，Ax1,y1,Bx2,y2，根据向量平行可得，结合韦达定理可得，代入运算求解即可；
（3）根据双曲线方程利用两点间距离公式和倾斜角推得，，结合面积关系可得，即可得结果.
【小问1详解】
由题意可知：，解得，
所以双曲线的方程为.
【小问2详解】
由（1）可知：，

设直线，Ax1,y1,Bx2,y2，
联立方程，消去可得，
则，可得，
因为，
若，则，
即，整理可得，
又因为，
可得，解得，
此时即为，解得或（舍去），
此时，即，
所以直线的斜率.
【小问3详解】
设Ax1,y1,Bx2,y2，
则，即，
可得，
设直线的倾斜角为，则，
可得，解得，
同理可得，
此时梯形的高为，
可知梯形的面积，
整理可得，解得或（舍去），
可知或，则直线的斜率，
所以直线的方程，即.
点睛】关键点点睛：第三问根据双曲线方程和倾斜角推得，，这样方便计算面积.
19. 记等差数列的前项和为，公差为.
（1）证明：是关于的不含常数项的二次函数；
（2）等差数列的公差为，且.
①求的通项公式；
②记数列的前项和为，是否存在，，使得？若存在，求，；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见详解
（2）①或；②存在，
【解析】
【分析】（1）根据题意结合等差数列的求和公式分析证明；
（2）①根据（1）中结果，结合等差数列通项公式运算求解即可；②根据等差数列求和公式结合分组求和求，分类讨论，分析数据的整数型求解即可.
【小问1详解】
因为等差数列的公差为
由题意可得：，
则二次项系数，且常数项为0，
所以是关于的不含常数项的二次函数.
【小问2详解】
①由题意可知：，
即
，
可得，解得，或，
若，则；
若，则，
综上所述：或；
②因为，
当时，若，，则，不合题意；
当时，
若为偶数，则
，
因为为偶数，则或，
若，则，即，不合题意；
若，则，
整理可得，
可知，代入检验可得仅成立；
若为奇数，则
，
因为为奇数，则或，
若，则，即，不合题意；
若， 则，
整理可得，
显然为偶数，方程无解，不合题意；
综上所述：.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键时分析数据的整数性，分类讨论的特征解题.