浙江省金华市卓越联盟2024~2025学年高一下册5月四校联考数学试题

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一. 单选题 ACBD, BABA
二. 多选题 9ACD, 10BD, 11CD
三. 填空题 12, 4 2π, 13, 28π, 14, [2, 5
四.解答题
15.(13分)已知向量a=(1, 2), b满足a ⋅a−b=0
(1) 求|b|最小值
(2) 若 ∣b∣=3,，求向量b的坐标表示
解: (1) 法一: a⋅a−b=a2−a⋅b=5−5∣b∣csθ=0…………………3
5∣b∣=csθ≤1………………………………………………………5
∣b∣≥5,即 ∣b∣最小值= 5…………………………………………7
法二：设 b=xy,由 a⋅a−b=0,可得x+2y=5…………………………3
∣b∣=x2+y2=5y2−20y+25=5y−22+5……………………5
故 ∣b∣最小值 =5, ………………………………………………………………7
(2) 设 b=xy,由 a⋅a−b=0,可得x+2y=5
∣b∣=3,可得 x2+y2=9
即 {x+2y=5x2+y2=9……………………………………………………9
解得：(每解2分)16. (15分)已知函数 fx=3sinx+π2+csπ6−x,
(1)若f(α)=0,求tanα的值;
(2) 若 x∈0π2, 求函数f(x)的值域.
解 1)fx=3sinx+π2+csπ6−x=332csx+12sinx,……………………2
=7sinx+φ,(其中 tan=33) ……………………………………4
fα=332csα+12sinα=0,可得 tanα=−33 ……………………7
(也可由：)
7sinα+=0⇒α=kπ−⇒
tanα= tan(kπ-φ)=-tanφ=-3 3
2fx=7sinx+φ (其中 tan=33)
x∈0π2⇒x+∈π2+
∵∈0π2
又 ∵sin=32114>sinπ2+=cs=714………………………………9
∴fx=7sinx+>714…………………………………………11
∴fx=7sinx+≤7…………………………………………13
即 fx∈7147 ……………………………………………………15
17. (15分)已知三角形ABC中, AB=2, AC=4, ∠A=120°, AH为BC边上的高, AD为BC边上的中线, AE为∠A的平分线,(H, D,E为BC边上的点).
(1) 求AE的长;
(2) 若 AH=λAD+μAE,求λ, μ的值;
解(1)：由角平分线性质得： AE=AB+13BC=23AB+13AC………………4分 AE2=49AB2+19AC2+49AB⋅AC=169 ……………………6分
AE=43 ……………………7分
2AD=12AB+12AC
AE=23AB+13AC
……………………9分
AH⋅BC=λ2+2μ3AB+λ2+μ3ACAC−AB=0
λ2+μ3AC2−λ2+2μ3AB2+μ3AB⋅AC=6λ+4μ3=0 ① …………11分
又因为H，D，E三点共线，则λ+μ=1② …………13分
由①②可得： λ=−27,μ=97- …………15分
18. (17分)如图,在四棱锥P-ABCD中, 侧面PAB⊥底面ABCD, 底面ABCD为矩形,PA=PB, O为AB的中点, OD⊥PC.
(1) 求证: OC⊥PD;
(2) 若PD上存在点M, 使得OM//平面PBC, 求 PMPD的值
(3)若PD与平面PBC 所成角的正弦值为 63,AB=2,求四棱锥的P-ABCD的体积.
(1) 证明: 连接OP, ∵PA=PB
∴PO⊥AB
又 ∵平面PAB⊥平面ABCD
∴PO⊥平面ABCD--------------------1
∴PO⊥OD又∵OD⊥PC
∴OD⊥平面POC
∴OD⊥OC----------------------2
又PO⊥平面ABCD, 则PO⊥OC-…………3
所以OC⊥平面POD---------------4
∴OC⊥PD----------------------5
(2) 分别取PD, CD中点为M, N, 连OM, ON, MN
∵MN//平行 PC, MN⊄平面 PBC,
∴MN//平面 PBC-----------------------------7
又∵ON//BC, ON⊄平面PBC
∴ON//平面 PBC ------------------------------9
∴平面 OMN//平面 PBC
∴OM//平面 PBC
此时 PMPD=12------10
(3) 由(1) 可知OD⊥OC, 所以ABCD 为正方形,
∴OD=2-………………………………11
设 PO=h, 则 PD=ℎ2+2
记点到面的距离为h点-面
∵AD‖PBC,ABOB=2
∴ℎD−PBC=ℎA−PBC=2ℎ−PBC=2ℎℎ2+1−−−−−−−−13
设 PD 与平面 PBC 成θ角,
J sinθ=ℎD−PBCDP=2ℎO−PBCDP=2ℎℎ2+2ℎ2+1=63 …………………………15
整理得： ℎ4−3ℎ2+2=0
解得: h =1 或, ℎ=2,即 PO=1 或 2…………………16所以： VP−ABCD=13SABCD⋅PO=43或 423-…………………………17
19.(17分)已知正三棱台 ABC−A1B1C1,, 点 D, E, F分别在A₁A, B₁B, AC上, 且 2A1D=DA,B₁E=2EB, AF=3FC, AB=4A₁B₁=4, A₁A=3
(1) 求过点 D、E、F的平面截正三棱台ABC-A₁B₁C₁的截面周长;
(2)求直线 DE 与平面ACC₁A₁所成的角的正弦值；
(3)求二面角E-DF-A平面角的余弦值.
解: (1) 延长AB, DE交于点 M, 连接FM 交BC 于 N, 连接EN则截面为 DENF--------------------------1
过D作DP//B₁B, 可知P为AB中点
∴EB=2DP
则 BN=BP=2
过F作 FQ//BC, 则 FQ=3
BNFQ=MBMQ⇒BN=FQ⋅MBMQ=3×23=2
所以N是BC中点--------------------------------2
在△ADF中, AD=2, AF=3, ∠DAF=60° , 则( DF=7,-----------3
在△CFN 中, CF=1, CN=2, ∠NCF=60° , 则 NF=3, --4
在△BEN中, BE=1, BN=2, ∠NBF=60° , 则 EN=3, -5
在等腰梯形ABB₁A₁中，可求得| DE=7---------------6
所以截面 DENF 周长 =27+23
(2)延长侧棱交于点S，则三棱锥S-ABC为正四面体
∵ℎE−SAC=34ℎB−SAC=34×63×4=6……………………8
又 DE=7
设 DE 与平面SAC 成θ角
则 sinθ=ℎE−SACDE=67=427………………………………11(3) 由(1)(2)可知D, N分别是正四面体棱SA, BC的中点,可得 DN=22
又∵筝形DENF 中, DE=DF=7,NE=NF=3,
∴EF=10,
在△DEF中, E到DF的距离 dE−DF=3357-…………………………14
由(2) 得: E到面 SAC的距离 ℎE−SAC=6…………………………15
设二面角 E-DF-A为α, 则 sinα=ℎE−SACdE−DF=6×7335=4235
所以 csα=1−4245=1515…………………………………………17