河北省邱县第一中学2024~2025学年高一下册4月检测数学试题

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3.【详解】A:若两条直线和同一个平面所成的角相等，这两条直线可能相交、平行或异面，故A错误；
B：两直线同时垂直于同一平面，根据线面垂直的性质知：两直线平行，对；
C：线面角范围为， .D：根据线面角定义可得直线与平面内的直线所成最小角为，.
4.【详解】在长方体中，平面，则与平面所成的角为，从而，因为，在直角中，根据，，可得，， 平面，∴，故选：B．
5.【详解】A选项，由正弦定理得：，所.
又锐角三角形中，，则，即.
所以，∵锐角三角形，∴，解得.故A错。
B选项，由正弦定理，得， ，由正弦定理，得，
即．解得或，所以三角形是等腰三角形或直角三角形.
C选项，若一条直线平行于两个相交平面，则由直线与平面平行的性质定理知这条直线与这两个平面的交线平行，故C正确；
D选项：直线上有两点到一个平面的距离相等，直线可能与平面平行、相交或直线在平面内，错；
若三点共线或三点在平面的两侧则这两个平面不平行，故D错误；
6.【详解】如图：设球的半径为，由题意可得，所以是等边三角形，
所以，所以，S球O=，解得，
所以，所以，
所以圆台的侧面积为.故选：B.【答案】B
7.【详解】因为、、三点共线，，所以，
又因为，所以，
设，则，即，消可解得，
所以，所以，所以，
又，所以，所以.故选：B.【答案】B
9.【详解】由两个平面的公共点必在其交线上，故A正确．
，，则，由直线a与点P确定唯一平面，由a与b确定唯一平面，
且该平面经过直线a与点P，所以该平面与重合，则，故B正确；
C项，由知，以为邻边平行四边形为矩形，故C正确.
D项，表示对应点与点距离为，轨迹为圆，如图
表示对应点与点距离，
结合图象可知，的最小值为，所以D选项错误.故【答案】为：ABC
10.【详解】A.因为，所以，
因为，所以，所以，A错误
B.由正弦定理，得，则，
由于有唯一解，则或，解得或，
所以整数构成的可以为1，2，4.故B正确
C.在中，由及余弦定理，得，即，则，
又，则有，即，又，因此，
则，当时取等号，∴面积取最大值时．故C正确
D.以的中点为坐标原点，建立如下图所示的坐标系：
设内切圆的半径为，则，解得
故，则
因为，所以，
即，解得，故. 故【答案】BCD
11.【详解】因为，，所以的外接圆的半径，
又平面，，将三棱锥放入长方体中，
对于A，长方体的体对角线长为，
故外接球的半径为，故表面积为，A正确，
对于B，或其补角为异面直线与所成角，
由于平面，平面，故，故，故B错误，
对于C，，，，
故的外接圆半径为，
故的外接圆的面积为，故C错误，
D:
，
（为AD设点到平面的距离）故D正确。故选：AD.【答案】
12.【详解】平面图形为直角梯形，直腰长2，上底为1，下底为.为【答案】
13.【详解】以A为原点建立图示平面直角坐标系，不妨设，则
，，过D作轴于F，，
，所以，
，，，
因为，所以，
所以，，解得：，则的值为. 故【答案】为：/
14.【详解】由材料可知，当 A、B、C、 四点共圆时，四边形的面积达到最大．
连接，在中，由余弦定理得：
，①
在 中，由余弦定理得：，②
因为 A、B、C、 四点共圆，所以，
从而，③
由①②③，解得 ，因为，所以 ．
从而，
，所以 ．
15.【详解】（1）与的夹角为，．
，且与不能共线，即，
当与共线时，设，得. 且．
（3），，所求单位向量坐标为:或
16.【详解】（1）在四棱锥中，连接，由，分别为，的中点，得，
而，，则，四边形为平行四边形，
因此，而平面，平面，所以平面.
（2）由是中点，而为中点，则，
又平面，平面，于是平面，
由（1）知，，而平面，平面，
因此平面，又平面，
所以平面平面.