广东省东莞市东华松山湖高级中学2025届高三高考适应性测试（1）数学试卷【附解析】

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数学试卷
一、单选题（共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，集合，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知复数满足（为虚数单位），则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知向量，则（ ）
A. B. C. D.
4. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知，，，则（ ）．
A. B. C. D.
6. 设函数，对有成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 有两个棱长均为1的正四棱锥（木制实心玩具），底面中心分别为，另有一个棱长为1的正四面体（木制实心玩具），现将两个正四棱锥的各一个三角形侧面与正四面体的两个面完全重合并用胶水粘合（胶水厚度不计）从而拼接成一个新的玩具，对所有的拼接方式，线段长度的集合有（ ）
A. 1个元素B. 2个元素
C 3个元素D. 5个元素
8. 已知函数的定义域与值域均为，且满足，且，则下列结论中一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分）
9. 体育教育既能培养学生自觉锻炼身体的习惯，又能培养学生开拓进取、不畏艰难的坚强性格.某中学高三学生参加体育测试，其中物理类班级女生的成绩与历史类班级女生的成绩均服从正态分布，且，，则( ).
A B.
C. D.
10. 已知函数 ，则下列说法正确是（ ）
A. 函数的图象关于轴对称，且在 上不单调
B. 导函数的图象关于原点对称，且在 上单调递增
C. 函数在上单调递增
D. 对于任意 都有 ，且
11. 如图，已知正方体的棱长为，为底面内（包括边界）的动点，则下列结论正确的是（ ）．
A. 三棱锥的体积为定值
B. 存在点，使得
C. 若，则点在正方形底面内的运动轨迹长为
D. 若点是的中点，点是的中点，过，作平面平面，则平面截正方体的截面面积为
三、填空题（本大题共3小题，共15分）
12. 已知为椭圆的右焦点，为原点，为上一点，，若，则的离心率为____________．
13. 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则______________．
14. 如图所示网格中，要从点出发沿实线走到点，距离最短的走法中，经过点的概率为__________.

四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 已知在中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且，，D为外一点.
（1）求角A；
（2）若A，B，C，D四点共圆，求四边形面积最大值.
16. 已知和为椭圆C：上两点.
（1）求C的离心率；
（2）若过P的直线交C于另一点B，且的面积为3，求点B的坐标.
17. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，为的中点，且．记的中点为，若在线段上（异于、两点）．

（1）若点是中点，证明：面；
（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长．
18. 已知实数函数
（1）当时，过原点作函数图象的切线，求切线的方程；
（2）讨论的单调性；
（3）对任意不等式恒成立，求a的取值集合．
19. 欧拉函数在密码学中具有重要应用，尤其是在公玥密码体制如算法中扮演核心角色．欧拉函数函数值等于所有不超过正整数n，且与n互素（互素：公约数只有1）的正整数的个数，例如：．
（1）直接写出的值；
（2）设，求数列的通项公式，并求数列的前n项和；
（3）设p，q为两个不相等的素数，，证明：
①； ②．