广东省广州市黄埔区2024~2025学年高一下册期中教学质量监测数学试卷【附解析】

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本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上，用2B铅笔将考生号填涂在答题卡相应位置上．
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知复数满足，则的虚部为（ ）
A. 1B. C. D.
2. 已知平面向量，，若，则实数（ ）
A. 2B. C. 1D.
3. 已知圆锥的底面半径为2，高为，则其侧面积为（ ）
A B. C. D.
4. 已知向量，则向量在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
5. 在平行四边形中，点是边上的点，，点是线段的中点，若，则（ ）
A. B. 1C. D.
6. “三斜求积术”是我国宋代的数学家秦九韶用实例的形式提出的，其实质是根据三角形的三边长求三角形面积，即．现有面积为的满足，则的周长是（ ）
A. 9B. 12C. 18D. 36
7. 在平面直角坐标系中，已知，动点满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A. 点的轨迹为圆B. 点到原点最短距离为2
C. 点的轨迹是一个正方形D. 点的轨迹所围成的图形面积为24
8. 设是内一点，且，定义，其中分别是的面积，若，则的最小值是（ ）
A. B. 18C. 16D. 9
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法中正确的是（ ）
A 若，，则
B. 对于向量，，，有
C. 向量，能作为所在平面内的一组基底
D. 设，为非零向量，则“存在负数λ，使得”是“”充分而不必要条件
10. 如图，圆台，在轴截面ABCD中，，下面说法正确的是（ ）
A. 线段
B. 该圆台表面积为
C. 该圆台的体积为
D. 沿着该圆台的表面，从点C到AD中点的最短距离为5
11. 在中，三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，记.下列命题中正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 如图，平行四边形是用斜二测画法画出的水平放置的矩形的直观图，若，，则矩形的面积为________．

13. 在中，已知，，，点为边的中点，______．
14. 已知，，．若点P是所在平面内一点，且，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 设复数．
（1）在复平面内，复数对应的点在实轴上，求；
（2）若是纯虚数，求.
16. 记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，
（1）求B；
（2）若面积为，求c．
17. 已知函数的部分图象如图所示.
（1）求的解析式及对称中心坐标；
（2）先将的图象纵坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位，最后将图象向上平移1个单位后得到的图象，求函数在上的单调减区间和最值.
18. 在四边形中，，记，，的角平分线与相交于点，且，.
（1）求的大小；
（2）求的值.
19. 十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是：“当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点称为费马点．已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，且，点为的费马点．
（1）求角；
（2）若，求的值；
（3）若，求的取值范围．