云南省玉溪市、保山市2025届高三下学期复习教学质量检测 数学试题（含解析）

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一、单选题
1．已知ⅰ为虚数单位，则（ ）
A．0B．1C．D．2
2．已知命题p：“是的充分不必要条件”；命题q：“，”．则下列正确的是（ ）
A．p和q都是假命题B．和q都是假命题
C．p和都是假命题D．和都是假命题
3．已知向量，满足，，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
4．已知变量x，y线性相关，其一组样本数据，满足，用最小二乘法得到的经验回归方程为．若增加一个数据后，得到修正后的回归直线的斜率为2.1，则数据的残差为（ ）
A．B．C．0.1D．0.2
5．抛物线的焦点为F，其准线与双曲线的渐近线相交于A，B两点，若的周长为8，则（ ）
A．2B．C．D．8
6．已知定义在上的函数与函数的图象有唯一公共点，则实数m的值为（ ）
A．B．C．1D．2
7．正三棱台的上、下底边长分别为6，18，该正三棱台内部有一个内切球（与上、下底面和三个侧面都相切），则正三棱台的表面积为（ ）
A．B．C．D．
8．设函数，，若存在，使得，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知点，，点P在圆上运动，则（ ）
A．直线AB与圆C相离B．的面积的最小值为
C．的最大值为6D．当最小时，
10．在下列关于二项式的命题中，正确的是（ ）
A．若，则
B．在的展开式中，常数项为
C．若二项式的展开式中，第4项的二项式系数最大，则
D．在的展开式中，的系数为85
11．设函数，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，若在上单调递增，则
B．当时，函数有两个极值点
C．曲线的对称中心的横坐标与c有关
D．当时，过点可作曲线的切线有3条
三、填空题
12．已知角的终边过点，则 ．
13．已知等差数列的前n项和为，，，则数列的前9项和 ．
14．生活中经常会统计一列数据中出现不同数据的个数．设，对于有序数组，记为，，，中所包含的不同整数的个数，比如：，．当时，有序数组的个数为 ；当取遍所有的个有序数组时，）的总和为 ．
四、解答题
15．记内角的对边分别为，已知，．
（1）求的大小；
（2）若，的面积为，求．
16．函数在处的切线垂直于y轴．
（1）求实数a；
（2）若方程有两根，求b的取值范围．
17．如图，在四棱柱中，底面为菱形，，AC与BD的交点为O，．
（1）求证：；
（2）若，，，求与平面所成角的余弦值．
18．甲、乙两选手进行象棋比赛，假设每局比赛结果相互独立，且每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为．
（1）若比赛采用三局两胜制，求甲获胜的概率；
（2）如果比赛采用五局三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束）进行比赛，求比赛的局数X的分布列和期望；
（3）如果每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，比赛的赛制有五局三胜制和三局两胜制两种选择，请问对于甲选手来说，该如何选择比赛赛制对自己更有利，请说明理由，由此你能得出什么结论．
19．已知双曲线的右焦点为，点在C上．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若一条直线与双曲线恰有一个公共点，且该直线与双曲线的渐近线不平行，则定义该直线为双曲线的切线，定义该公共点为切线的切点．
（ⅰ）设双曲线C在点P处的切线为，求双曲线左支上的点到直线距离的最小值；
（ⅱ）设直线是双曲线C上任意一点的切线，点F关于直线的对称点为M，求点M满足的轨迹方程．
参考答案
1．【答案】C
【详解】因为，所以，
所以..
故选C．
2．【答案】D
【详解】由，可得或，则可以推出，充分性成立；
当时，或，故必要性不成立，
所以可得是的充分不必要条件，故p是真命题，则是假命题；
令，得到，化简得，解得或，
则“，”，故q是真命题，则是假命题，即和都是假命题，故D正确，
故选D．
3．【答案】A
【详解】由，，，
得，则，
所以在上的投影向量为.
故选A．
4．【答案】B
【详解】由题设，则，
增加数据后，，，且回归直线为，
所以，则，
所以时，有，故残差为，
故选B．
5．【答案】B
【详解】由题知，双曲线的渐近线为，
抛物线的焦点，准线方程为．
由，得A，B两点坐标为，，
所以．
因为的周长为8，所以，解得，故A，C，D错误.
故选B.
6．【答案】C
【详解】因为，则，
所以的图象关于对称，且当时，单调递增，当时，单调递减；
又，故可看作由函数向右平移1个单位得到，
所以的图象也关于对称；
又由于函数与函数的图象有唯一公共点，即方程只有一根，
因为两函数图象都关于对称，所以方程的根为，即，解得.
故选C．
7．【答案】D
【详解】由题意知，正三棱台的上、下底边长分别为和，
可得上下底正三角形的高分别为，，
由几何体结构特征，可得内切球与上、下底面切点为上下底的重心，
故如图甲所示，作截面，得到图乙，
设内切球半径为r，则，解得，所以正三棱台的高为6，
所以.
故选D．
8．【答案】A
【详解】由，可得，所以，又由，所以在上单调递增，
因为，所以，所以，
令，则，
令，则，可得，
所以在上单调递减，且，
当时，，，则在上单调递增；
当时，，，则在上单调递减，
所以当时，有极大值，即最大值，所以.
故选A．
9．【答案】ACD
【详解】对于A中，由点，，点P在圆上运动，
则圆心为，半径为2，直线AB的方程为，
则圆心C到直线AB的距离，所以直线AB与圆C相离，所以A正确；
对于B中，因为，点P到直线AB的距离的最小值为，
则面积的最小值为，所以B错误；
对于C中，由，所以C正确；
对于D中，当最小时，直线PB与圆C相切，此时，所以D正确.
故选ACD．
10．【答案】ABD
【详解】对于A，令，可得，
令，得，故，故A正确：
对于B，的展开式的通项公式为：，
令，解得，所以第5项为常数项，为，故B正确；
对于C，当n为偶数时，最中间项只有一项，又第4项的二项式系数最大，故展开式共有7项，即，解得；
当n为奇数时，中间项有两项，又第4项的二项式系数最大，故可能第3项与第4项的二项式系数相等且为最大
或第4项与第5项的二项式系数相等且为最大，此时或，解得或，故C错误；
对于D，展开式中的系数为
，故D正确.
故选ABD．
11．【答案】BD
【详解】对于A，当时，在上单调递增，所以在上恒成立，
则在上恒成立，
而，所以，即，故A错误；
对于B，当时，，，
方程有两个不等实根，易得有两个极值，故B正确；
对于C，若曲线称中心为，则，
因为，所以，
则，
整理得：，
所以若有对称中心则：，解得，
故对称中心横坐标为，与无关，故C错误；
对于D，当时，，设切点，，，
所以切线，
因为切线过点，
所以，化简得，
方程有三个根，切点有三个，故切线有三条，故D正确.
故选BD．
12．【答案】
【详解】因为的终边过点，
根据三角函数的定义，可得，，
所以.
13．【答案】36
【详解】设等差数列的公差为，
因为，，可得，解得，
所以，，所以，
所以，所以数列为等差数列，
所以，可得.
14．【答案】4 700
【详解】由题意知，当时，四个位置的数字必须相同，
故有序数组的个数为；
按的取值分类，
当时，有组，
当时，可分两种情况：其中一个数出现次，另一个数出现次或这两个数均出现次，
则按照先分组再分配的方式得出共有组，
当时，的情况为：一个数出现次，另外两个数均出现次，
则按照先分组再分配的方式得出共有组，
当时，有组，
所以总和为.
15．【答案】（1）或．
（2）
【详解】（1）解：因为，
由余弦定理可得，
因为，可得，
又因为，可得，
因为，所以或，所以或．
（2）解：由及（1）可得，．
因为，
由正弦定理得，得，，
所以．
又因为已知的面积为，可得，解得．
16．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）由题意可得：，
因为在处的切线垂直于y轴，
则，解得.
（2）由（1）可知，定义域是，且，
令，解得，
当x变化时，，的变化情况如下：
令，解得，当时，；当时，．
所以的图象经过特殊点，，，
且当趋近于时，趋近于0；当趋近于时，趋近于，
所以的大致图象如图；
若方程有两根，即与有2个交点，
由图象可知：，所以b的取值范围为.
17．【答案】（1）证明见解析
（2）．
【详解】（1）如图，连接，∵在四棱柱中且，
∴．又∵在菱形ABCD中，，，
平面，∴平面，平面，
∴，O是AC的中点，∴．
（2）∵底面ABCD为菱形，，，
∴是正三角形，，．
又∵，，
∴，，，所以．
又∵，，平面ABCD，∴平面ABCD．
如图，以点O为坐标原点，以OB，OC，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系：
，，，，
，．
设平面的法向量为，
则，即，取．
设与平面所成角为，且，
∴．
又，∴，所以与平面所成角的余弦值．
18．【答案】（1）
（2）分布列见解析，
（3）答案见解析
【详解】（1）设事件“比赛采用三局两胜制甲胜”，则．
（2）比赛的局数为X的所有可能取值为3，4，5，
可得，，
．
所以随机变量的分布列为：
所以期望为．
（3）采用三局二胜制进行比赛甲获胜的概率，
采用五局三胜制进行比赛甲获胜的概率：．
令，
因为，所以．
当时，；
当时，；
当时，．
所以当时，选择三局两胜制对甲有利；当时，选择五局三胜对甲有利；
当时，选择五局三胜制和三局两胜制对甲没有影响．
由此可以得出，比赛局数越多，对实力较强者越有利.
19．【答案】（1）
（2）（ⅰ）；（ⅱ）答案见解析
【详解】（1）∵双曲线的右焦点为，点在C上．
∴，且，
解得：，∴双曲线的方程为．
（2）（ⅰ）法一：
显然过点的切线斜率存在，设的方程为：，
联立，消y得：．
由，得，此时：．
设与平行且与双曲线左支相切的直线方程为，
联立，消y得，
由，得或（舍去），
∴与平行且与双曲线左支相切的直线方程为，
∴双曲线左支上的点到直线距离的最小值为．
法二：
∵切点，∴双曲线在点P处的切线，
设平行于且与双曲线左支相切的直线为：，
联立，消y得，
由，得或（舍去），
∴双曲线左支上的点到直线距离的最小值为．
（ⅱ）法一：
①当双曲线的切线斜率不存在时，，易得点；
②当双曲线的切线斜率存在时，设，
联立，消y得：，
由，，得：．
设点关于直线的对称点，
则，
解得，
代入，得：．
化简：，
展开得，
即：，
化简得：．
．
当时，即，
M点的轨迹为点与F重合不合题意；
当时，即，
M点的轨迹为以点圆心，半径为的圆，
此时点在圆上．
法二：
设切点，双曲线在点Q处的切线为：，
∵点关于直线的对称点为M，设，
①当时，，，易得．
②当时，直线，斜率，
所以，解得，
∵点在双曲线上，
∴，即，
∴，
展开得，
即，
化简得，
．
当时，即，M点的轨迹为点与F重合不合题意；
当时，即，
M点的轨迹为以点为圆心，半径为的圆，
此时点在圆上．
x
0
单调递减
单调递增
X
3
4
5
P