甘肃省天水市部分学校2025届高三第三次联考（三模） 数学试题（含解析）

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一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．设，其中为虚数单位.则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4．已知，若正实数满足，则的取值范围为（ ）
A．B．或
C．或D．
5．已知直线与圆相交于，两点，若劣弧与弦围成的图形面积为，则（ ）
A．B．C．2D．
6．在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为，则（ ）
A．函数的最大值为1
B．函数的最小值为1
C．函数的最大值为1
D．函数的最小值为1
7．已知，椭圆与双曲线的离心率分别为，，若，则双曲线E的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
8．科学家很早就提出关于深度睡眠问题，随着现代生活节奏的加快，睡眠成了严重影响生活的问题．经研究，睡眠中恒温动物的脉搏率f（单位：心跳次数）与体重W（单位：Kg）的次方成反比．若A、B为两个睡眠中的恒温动物，A的体重为2Kg、脉搏率为210次，B的脉搏率是70次，则B的体重为（ ）
A．6KgB．8KgC．18KgD．54Kg
二、多选题
9．甲，乙两个体育社团小组成员的某次立定跳远成绩（单位：厘米）如下：
甲组：，，，，，，，，，，，
乙组：，，，，，，，，，
则下列说法正确的是（ ）
A．甲组数据的第60百分位数是252
B．乙组数据的中位数是246
C．从甲、乙两组各随机选取一个成员，两人跳远成绩均在250厘米以上的概率为
D．甲组中存在这样的成员，将他调派到乙组后，甲、乙两组的跳远平均成绩都有提高
10．在中，角，，的对边分别为，，，有如下命题，其中正确的是（ ）
A．若，则为等腰或直角三角形.
B．若，则为直角三角形
C．若，则是锐角三角形
D．若，则
11．已知是上的奇函数，是上的偶函数，且当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．最小正周期为B．
C．D．
三、填空题
12．在数列中，已知，则的前10项和为 .
13．2025年为我省新高考综合改革实施第二年，为进一步提升高考备考业务能力，考虑派八中、九中、十中、新阳、职中、新梦想六所学校的校长去江苏省、河北省、湖北省、重庆市四个地方培训，每个地方至少有一名校长去培训，但八中校长和九中校长不能在同一个地方培训，则不同的分配方案有 种．
14．如图，正方形ABCD的边长为20，分别以边AB和CD的中点E，F为圆心画弧AO和CO，以直线EF为轴旋转，弧AO，CO和线段AE，CF旋转一周形成的面所围成的几何体的表面积是 ．
四、解答题
15．如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为矩形，E，F分别为PA，CD的中点．

(1)证明：平面PBF．
(2)若，，求直线PD与平面PBF所成角的正弦值．
16．国产动画电影《哪吒之魔童闹海》现已登顶全球动画电影票房榜榜首，并刷新多项世界票房纪录.下表截取了该电影上映后10日的单日累计票房：
（1）请根据这10日数据：
（i）计算，的平均值，；
（ii）求关于的经验回归方程；
（2）用上面求出的经验回归方程预测该电影上映半年后的票房，得到的结果合理吗？为什么？
附：
参考公式：经验回归方程斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，；
参考数据：，.
17．已知函数．
（1）求的图象在点处的切线方程；
（2）求函数的极值；
（3）证明：对任意的，有；
18．椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为M（0，1），离心率为22．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点（﹣1，﹣1）的直线交椭圆C于A，B两点，设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，证明：k1与k2的和为定值．
19．已知数列的首项，且满足，的前项和为.
（1）证明数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；
（3）在数列中，，，求数列的通项公式及.
参考答案
1．【答案】D
【详解】因为集合为点集，
集合为数集，
所以.
故选D.
2．【答案】A
【分析】首先根据复数代数形式的除法运算化简，再求出，令求出相应的的取值范围，最后根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】因为，所以，
令，即，解得或，
所以推得出，所以充分性成立，
由推不出，所以必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选A.
3．【答案】A
【详解】由，可得，即，解得，
所以.
故选A.
4．【答案】C
【详解】因为与都是上的增函数，
所以是上的增函数，
又因为，
所以等价于，
由，知，
当时，在上单调递减，故，从而；
当时，在上单调递增，故，从而，
综上所述，的取值范围是或.
故选C
5．【答案】D
【详解】设，由题意可知:圆心为坐标原点，半径为，
则劣弧与弦围成的图形面积，
由于故在单调递增，
又，所以，则，
所以圆心到直线的距离为1，即，解得
故选D
6．【答案】C
【分析】AB选项，先判断出虚线部分为，实线部分为，求导得到在R上单调递增，AB错误；再求导得到时，单调递增，当时，单调递减，故C正确，D错误.
【详解】AB选项，由题意可知，两个函数图象都在x轴上方，任何一个为导函数，
则另外一个函数应该单调递增，判断可知，虚线部分为，
实线部分为，
故恒成立，
故在R上单调递增，则A，B显然错误，
对于C，D，，
由图像可知，恒成立，故单调递增，
当，，单调递减，
所以函数在处取得极大值，也为最大值，，C正确，D错误.
故选C.
7．【答案】C
【详解】依题意，，，又，
所以，整理得，所以，
所以双曲线E的渐近线方程为，即，
故选C.
8．【答案】D
【详解】依题意，设，由，得，则，
当时， ，所以．
故选D
9．【答案】BCD
【详解】对于A，因为，所以甲组数据的第60百分位数是第8个数，即253，故A错误；
对于B，因为，所以乙组数据的中位数是第5个数与第6个数的平均数，即，故B正确；
对于C，甲组中跳远成绩在250厘米以上的有7人，乙组中跳远成绩在250厘米以上的有2人，
所以从甲、乙两组各随机选取一个成员，两人跳远成绩均在250厘米以上的概率为
，故C正确；
对于D，甲组的平均成绩为厘米，
乙组的平均成绩为厘米，
所以将甲组中跳远成绩为248厘米的成员调派到乙组后，甲、乙两组的跳远平均成绩都有提高，故D正确.
故选BCD.
10．【答案】AD
【详解】对于，因为，所以或，
所以或，所以为等腰或直角三角形，故正确；
对于，因为，所以，
所以或，所以或，
所以不一定是直角三角形，故错误；
对于，因为，所以，
所以，因为，所以为钝角，
所以是钝角三角形，故错误；
对于，因为，所以，由正弦定理可得，
所以，故正确.
故选.
11．【答案】BCD
【详解】因为是偶函数， 所以，
又因为是奇函数，所以，所以，
所以，
所以，所以的周期为，故A错误；
又当时，，
所以，选项B正确；
，选项C正确；
，选项D正确.
故选BCD.
12．【答案】
【详解】因为，所以，
，，
，，
则的前10项和为.
13．【答案】
【详解】若八中校长和九中校长都单独1人去某一个地方培训，
则剩下4人分为两组去其他的两个地方培训，故有种不同方案．
若八中校长和九中校长有一人单独1人去某一个地方培训，
若另一个和其余一位校长去另一个地方培训，余下3人分两组去其他两个地方，
则有，
若八中校长和九中校长各自和其余一位校长去不同的地方培训，
余下2人分两组去其他两个地方，则有，
若八中校长和九中校长中一位和其余两位校长去某地，另外一位单独一位去某地，
则有，
故共有种不同方案.
14．【答案】
【详解】由图象知，以直线为轴旋转，弧和线段旋转一周形成的面所围成的
几何体是两个半径均为10的半球，可合为一个完整的球，
故几何体的表面积为一个球的表面积加两个圆的面积，
即．
15．【答案】(1)证明见详解；
(2).
【详解】（1）证明：如图，取PB的中点G，连接EG，GF．
，G分别是PA，PB的中点，，且．
，且，，,
四边形EGFD为平行四边形，
．又平面PBF，平面PBF，平面PBF；
（2）如图，以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向
建立空间直角坐标系，则，，，，，
，，．

设平面PBF的法向量为，则，
取，则，，
则，
直线PD与平面PBF所成角的正弦值为．
16．【答案】（1）（i），；（ii）
（2）上映半年后的票房为亿元，预测结果不合理，理由见解析
【详解】（1）由题意，，
，
，
则，
，
所以关于的经验回归方程为.
（2）由（1）知，，
当时，，
则预测该电影上映半年后的票房为亿元，
这样的预测结果显然不合理，电影的票房一般在刚上映的一段时间内增长较快，
随着时间的推移，增长速度会逐渐放缓，
而所求的经验回归方程是假设变量之间具有线性关系，
不能准确反映电影票房在较长时间内的变化趋势，
所以用这个方程预测半年后的票房是不合理的.
17．【答案】（1）
（2）极小值为，无极大值
（3）证明见解析
【详解】（1）求导，令，则.且.
运用点斜式，化简得到.
（2）因为，
令，则，
又因为，，单调递减；
，，单调递增；
所以的极小值为，无极大值．
（3）令，
可得，令，
，，单调递增，，
，，单调递减；
，，单调递增；
所以，
所以，
所以，即得，
所以．
18．【答案】（1）x22+y2=1；
（2）证明见详解.
【详解】（1）椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，
则上顶点为M（0，1），离心率为22，得b＝1，
由椭圆C的离心率为22，得a2−b2a=22，解得a=2，
所以椭圆C的方程为x22+y2=1；
（2）过点（﹣1，﹣1）的直线交椭圆C于A，B两点，设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，
当直线AB的斜率存在时，设其方程为y＝k（x+1）﹣1，k≠2，A（x1，y1），B（x2，y2），
由y=kx+k−1x2+2y2=2消去x得（2k2+1）x2+4k（k﹣1）x+2（k﹣1）2﹣2＝0，
Δ＝16k2（k﹣1）2﹣8（2k2+1）[（k﹣1）2﹣1]＝8（k2+2k）＞0，解得k＜﹣2或k＞0，
x1+x2=−4k2−4k2k2+1，x1x2=2k2−4k2k2+1，k1=y1−1x1=k+k−2x1，k2=y2−1x2=k+k−2x2，
因此k1+k2=2k+k−2x1+k−2x2=2k+(k−2)⋅x1+x2x1x2=2，
当直线AB斜率不存在时，由x=−1x2+2y2=2得y=±22，
不妨令A(−1，22)，B(−1，−22)，则k1+k2=1−220−(−1)+1−(−22)0−(−1)=2，
所以k1与k2的和为定值2．
19．【答案】（1）证明见及解析，
（2）
（3），
【详解】（1）∵，∴，
即，又，
∴数列是以2为首项，1为公差的等差数列，
∴，.
（2），
∴，
由，得，
∴恒成立，，
当且仅当时取等，此时解得，
所以实数的取值范围是.
（3）由，，
∴，
数列的奇数项是以2为首项，4为公比的等比数列，
偶数项为以2为首项，4为公比的等比数列，
，
设，
，
两式相减得，
∴，
所以.
日期
1月29日
1月30日
1月31日
2月1日
2月2日
2月3日
2月4日
日期代码
1
2
3
4
5
6
7
累计票房（亿元）
4.88
9.68
15.87
23.19
31.32
39.76
48.43
日期
2月5日
2月6日
2月7日
日期代码
8
9
10
累计票房（亿元）
54.92
60.78
66.20