安徽省六安第一中学2025届高三适应性考试 数学试题（含解析）

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（考试时间：120分钟 满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，务必擦净后再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知向量和向量，若，则实数（ ）
A．B．0C．1D．2
2．已知双曲线y2a2−x2b2=1(a,b>0)的离心率为，则此双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
3．已知等差数列的前n项和为，则（ ）
A．6B．7C．8D．10
4．已知，，，则a，b，c的大小关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．已知一个圆锥的侧面展开图是个半圆，且圆锥母线长为，被平行于其底面的平面所截，截去一个底面半径为的圆锥，则所得圆台的体积为（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数 f(x)=2cs⁡x+sin⁡2x ，则 f(x) 的最小值是（ ）
A．−5 B． C．−22 D．
7．中国空间站主体由天和核心舱、问天实验室、梦天实验舱构成．某次实验需要 5 位宇航员同时在三个舱中开展，每个人只能去一个舱，每个舱至少安排 1 名宇航员，其中甲宇航员只能去问天实验室和梦天实验舱中的一个，则不同的安排方法有（ ）
A．72 B．88 C．100 D．144
8．已知，且，则下列可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．据网络平台最新数据，截止到2025年4月20日14时10分，电影《哪吒之魔童闹海》总票房（含点映、预售及海外票房）已超149．81亿元，成为首部进入全球票房榜前六．登顶动画票房榜榜首的亚洲电影．一团队从观看该电影的所有观众中随机抽取10000人为样本，统计他们的年龄，并绘制如图所示的频率分布直方图，则（ ）
A．
B．观众年龄的众数估计为35
C．观众年龄的平均数估计为30.2
D．观众年龄的第70百分位数估计为38
10．已知复数均不为0，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．已知偶函数的最小正周期为，下列说法正确的是（ ）
A．在单调递减
B．直线是曲线的一条对称轴
C．直线是曲线的一条切线
D．若函数在上恰有三个零点、三个极值点，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知多项式 (x+1)3(2x−3)2=a1(x−1)5+a2(x−1)4+a3(x−1)3+a4(x−1)2+a5(x−1)+a6 ，则 a2+a4+a6= ．
13．已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为 ．
14．设函数，若，则a的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分13分）
已知，，分别为三个内角A，B，的对边，.
（1）求角A；
（2）若，的面积为，求，.
16．（本小题满分15分）
如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，，,AD//BC，，且
（1）证明：平面平面ABCD；
（2）求二面角B-PC-D所成平面角的余弦值.
17．（本小题满分15分）
投掷均匀的骰子，每次掷得的点数为1或2时得1分，掷得的点数为3，4，5，6时得2分．独立地重复掷一枚骰子若干次，将每次得分相加的结果作为最终得分．
（1）设投掷2次骰子，最终得分为，求随机变量的分布列与期望；
（2）若投掷次骰子，记合计得分恰为分的概率为，求.
18．（本小题满分17分）
已知椭圆,四点,,,中恰有三点在椭圆C上.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点且斜率不为0的直线与椭圆C相交于两点.
（i）若为原点，求面积的最大值；
（ii）点，设点是线段上异于的一点，直线的斜率分别为，且，求的值.
19．（本小题满分17分）
设函数，曲线在处的切线方程为.
（1）求的值；
（2）求不等式的解集；
（3）已知，其中，直线的方程为.若，且，求证：.
六安一中2025届高三年级适应性考试
数学试卷参考答案
1．【答案】D【分析】根据向量共线的坐标表示得到方程，解指数方程求解即可.
【详解】因为向量和向量，且，
所以，即，解得.故选：D
2．【答案】B
3．【答案】C 根据题意，由等差数列的前项和公式即可得到，再由等差数列的求和公式即可得到结果.【详解】因为数列为等差数列，则，
又，则，即，则.
.
4 【答案】C 【分析】根据余弦函数性质和对数函数单调性即可比较大小.
【详解】因为，所以，
所以．故选：C．
5．【答案】C【分析】如图，作出图形的轴截面，利用勾股定理及相似比求出圆台的高，再根据圆台的体积公式即可得解.【详解】设圆锥底面半径为，由题意可得：，
解得，
如图，作出图形的轴截面，其中分别为圆台的上下底面圆的圆心，
则，可得，
.故选：C.
6．【答案】B【详解】由题f(x) 的一个周期为 T=2π ，故只需考虑 f(x) 在 [0,2π) 上的值域， f'(x)=−2sin⁡x+2cs⁡2x=−2sin⁡x+21−2sin2⁡x=−2(2sin⁡x−1)(sin⁡x+1) ，令 f'(x)=0 ，解得 sin⁡x=12 或 sin⁡x=−1 ，可得此时 x=π6 或 5π6 或 32π（非变号零点，舍），所以 f(x)=2cs⁡x+sin⁡2x 的最值只能在点 x=π6 或 5π6 和边界点 x=0 中取到，因为 fπ6=332,f5π6=−332,f(0)=2 ，所以 f(x) 的最小值为 −332 ，选 B
7．C 第一步，安排甲种；第二步；安排剩下四人；①四人分三组;②四人分两组;综上：种.
8．【答案】D【分析】判断函数的奇偶性，再结合函数的图像，逐个判断即可.
【详解】函数的定义域为R，
，
所以函数为奇函数，又，
所以函数在R上单调递增，又，所以可得： ，
画出的图像，当，，时，不成立，当时，可能成立，故选：D
9．【答案】BD【分析】根据频率之和为1求判断A；根据众数定义判断B，根据频率直方图求平均值判断C，根据百分位数的求法判断D.
【详解】由题意知，解得，故A错误；观众年龄的众数估计是，故B正确；估计这10000名观众年龄的平均数为，故C错误；
前3组的频率之和为，前4组的频率之和为，故第70百分位数位于第4组，设其为，则，解得，即第70百分位数为38，故D正确．故选：BD
10．【答案】BCD【分析】设出、，结合复数的运算、共轭复数定义及复数的模的性质逐个计算即可得.【详解】设、；
对A：设，则，
，故A错误；对B： ，又，即有，故B正确；对C：，则，
，，则，
即有，故C正确；对D：
，
，
故，故D正确.
11．【答案】ACD【分析】先将函数化简，再根据偶函数和最小正周期求出函数表达式，运用对称轴性质，导数几何意义，零点和极值点意义，然后逐一分析选项.
【详解】已知，根据辅助角公式可得：
因为是偶函数，则，即.
又因为，所以，，那么.
由的最小正周期（），可得，所以.
对于选项A，当时，，根据余弦函数的性质，在上单调递减，
所以在单调递减，A选项正确. 对于选项B，因为，而余弦函数的对称轴处函数值应取到最值，
所以直线不是曲线的一条对称轴，B选项错误.
对于选项C，对求导，可得.
直线可化为，其斜率为.
令，则，，即.
当时，.
把代入直线方程得，
当时，直线与曲线有公共点，且在该点处切线斜率与直线斜率相等，
所以直线是曲线的一条切线，C选项正确.
对于选项D，，当时，.
因为在上恰有三个零点、三个极值点，
根据余弦函数图象性质可知，解得，D选项正确.故选：ACD.
12．【答案】18【解析】令 x=2 可得 a1+a2+a3+a4+a5+a6=27 ，令 x=0,−a1+a2−a3+a4−a5+a6=9 ，相加可得 a2+a4+a6=18 ．
13．【答案】4【分析】求出圆心的轨迹方程后，根据圆心到原点的距离减去半径1可得答案.
【详解】设圆心，则，化简得，
所以圆心的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，
所以，所以，当且仅当在线段上时取得等号，
14．【答案】【详解】由题意，函数的定义域为，
要使得恒成立，即恒成立，
只需恒成立，即恒成立，
即，设，则，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以当时，函数取得最大值，最大值为，即，
设，则，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以当时，函数取得最小值，最小值为1，即，
所以只需，即实数a的取值范围是.
15．【答案】(1) (2)，.
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和差的正弦公式化简计算可得；
（2）利用余弦定理及面积公式得到方程组，解得即可；
【详解】（1）因为，
由正弦定理知可得，
而，
，
即，又，
，即，又，则
，则.
（2）由（1）及题设可得，即，
将代入，整理得，则，
即（负值舍去），故.
16．【解 】（1）∵∠BCD=90∘,AD//BC,∴CD⊥AD ．
∵PD⊥CD,AD∩PD=D,AD⊂ 平面 PAD,PD⊂ 平面 PAD ，
∴CD⊥ 平面 PAD ，∵PA⊂ 平面 PAD,∴PA⊥CD ．
延长 AB 交 DC 的延长线于点 E（图略），
∵PA⊥AB,AB∩CD=E,AB⊂ 平面 ABCD,CD⊂ 平面 ABCD ，
∴PA⊥ 平面 ABCD ．
又 ∵PA⊂ 平面 PAB,∴ 平面 PAB⊥ 平面 ABCD ．
（2）如图，过点 A 作 AF⊥BC 交 CB 的延长线于点 F ，连接 PF ，则 F∈ 平面 PBC ，
故二面角 F−PC−D 即为二面角 B−PC−D ．建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz ，
则 F(1,0,0),D(0,2,0),P(0,0,1),C(1,2,0) ，∴CP=(−1,−2,1),CD=(−1,0,0),CF=(0,−2,0) ．设平面 FPC 与平面 PCD 的法向量分别为 m=x1,y1,z1,n=x2,y2,z2 ，
则 −x1−2y1+z1=0,−2y1=0,−x2−2y2+z2=0,−x2=0,令 x1=1 ，则 m=(1,0,1) ，
令 z2=2 ，则 n=(0,1,2) ，∴cs⁡⟨m,n⟩=m.n|m||n|=22×5=105 ．
由于二面角 B−PC−D 与 ⟨m,n⟩ 互补，
故二面角 B－PC－D 所成平面角的余弦值为 −105 ．
17．【答案】(1)分布列见解析，; (2)；
【分析】（1）根据题意分析可能的取值，求出相应的概率写出分布列，再利用公式求出期望值；（2）根据题意得出的表达式，利用错位相减法求和即可；
【详解】（1）可能取值为2,3,4，
, , .
的分布列为
数学期望.
（2）根据题意，投掷次，得分为分，则只有一次投掷得2分，
所以，则，
则有，两式相减，得，
所以.
18．【详解】（1）由对称性知,和在椭圆C上，所以, .所以，C的方程为.
（2）（i）方法一：设直线的方程为，点，，
由消去得：，
则，则或. ，
面积
令，则，，
当且，即时，面积的最大值为.
方法二：显然直线的斜率存在且非零，设直线的方程为，点，，
由消去得：，
则，，则且，
.点到直线的距离，
所以面积.
令，则，
当，即时，的最大值为，所以面积的最大值为.
方法三：显然直线的斜率存在且非零，设直线的方程为，点，，
由，消去得：，
则，则且，
.
点到线的距离，所以面积
.
，即当时，有最大值为.
（ii）因为，所以直线的倾斜角互补，所以，
所以点在线段的垂直平分线上，所以.
于是，
，.所以，
于是，因为，
所以.所以的值1.
19.【详解】（1）由题设，则，而，
所以曲线在处的切线方程为，
所以，即为，则；
（2）由（1）知，f(x)=(x−2)ex+x+2,f′(x)=(x−1)ex+1 ．令 φ(x)=(x−1)ex+1 ，则 φ′(x)=xex ，φ(x) 与 φ(x) 的变化情况如下表：
当 x=0 时，φ(x) 取得最小值 φ(0)=0 ，即当 x∈R 时，f′(x)⩾0 ，因此 f(x) 在区间 (−∞,+∞) 上单调递增．因为 f(0)=−2+2=0 ，所以当 x⩾0 时，f(x)⩾0 ；当 x0 ，
因为 −t2+2t−2=t(2−t)−2e2 ，所以 ℎ′(t)=−t2+2t−2et+2t0,ℎ(x) 单调递增；
当 x∈x0,t 时，ℎ1(x)0 ．因为 x2∈(0,t) ，所以 ℎx2=gx2−fx2>0 ．
因为 fx1=gx2 ，所以 fx1>fx2 ．由（2）知 f(x) 在区间 (−∞,+∞) 上单调递增，
因此 x1>x2 .
2
3
4
x
(−∞,0)
0
(0,+∞)
φ(x)
-
0
+
φ(x)
↘
0
↗