吉林省长春市十一高中2024-2025学年高一下学期4月第一学程考试 数学 Word版含解析含答案解析

这是一份吉林省长春市十一高中2024-2025学年高一下学期4月第一学程考试 数学 Word版含解析含答案解析，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知，则复数的共轭复数为（ ）.
A．B．C．D．
2．已知向量，，设，，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
3．在中，，，满足此条件有两解，则BC边长度的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．在中，角所对的边分别为，是边的中点，， 若，则边（ ）.
A．16B．C．4D．8
5．如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，若，则（ ）

A．B．C．D．
6．结合图示，某坡度为的看台上，同一列的第一排和最后一排测得地标建筑顶部的仰角为和，第一排和最后一排的距离为60m，则建筑的高度为（ ）
A．B．C．90mD．
7．如图，“六芒星”是由两个边长为2正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行，点是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点P在“六芒星”上（内部以及边界），则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．在中，为内的一点，，则下列说法正确的是（ ）
A．若P为的重心，则B．若P为的外心，则
C．若P为的垂心，则D．若P为的内心，则
二、多选题
9．如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（ ）

A．B．四边形的周长为
C．D．四边形的面积为
10．已知向量，，则（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若取得最小值，则
D．若，则在上的投影向量为
11．在中，点分别满足与相交于点，则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．
D．若外接圆的半径为2，且，则的取值范围为
三、填空题
12．复数满足，则的最大值为 .
13．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3，，，则的值为 ．
14．大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1）．某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2：为正三角形，，，围成的也为正三角形．若为的中点，①与的面积比为 ；②设，则 ．
四、解答题
15．设复数，.
(1)在复平面内，复数对应的点在实轴上，求；
(2)若是纯虚数，求实数的值.
16．在中，，，，点，在边上且，.
(1)若，用，表示，并求线段的长；
(2)若，，求的值.
17．在中，内角所对的边分别是，三角形面积为，若为边上一点，满足，且.
(1)求角；
(2)求的取值范围.
18．如图，已知半径为2的扇形的圆心角为，为的中点，是上一动点．
(1)求的取值范围；
(2)当为的中点时，用表示；
(3)若，求的最大值．
19．如图1所示，在中，点在线段上，满足，是线段上的点，且满足，线段与线段交于点．
(1)若，求实数的值；
(2)若，求实数的值；
(3)如图2，过点的直线与边分别交于点，设，；
（ⅰ）求的最大值；
（ⅱ）设的面积为，四边形的面积为，求的取值范围．
1．D
根据复数的模长公式以及复数运算求复数，即可得共轭复数.
【详解】由题意可得：，
所以.
故选：D.
2．C
由条件结合向量坐标运算公式求，，再求，，，再结合向量夹角公式求结论.
【详解】因为，，
所以，
，
所以，，
，
设与的夹角为，
则，又，
所以，即与的夹角为.
故选：C.
3．D
根据三角形有两解，应满足，化简即可求解.
【详解】∵有两解，
∴，∴，
故选：D．
4．C
利用余弦定理整理可得，代入数据运算求解即可.
【详解】因为，可知，
由余弦定理可得，
且，可得，
即，解得.
故选：C.
5．C
根据平面向量基本定理结合题意将用表示，从而可求出，进而可求得答案.
【详解】因为在正方形中，为的中点，为的中点，
所以
，
因为，所以，
所以.
故选：C
6．A
在中，利用正弦定理求出，再解即可.
【详解】如图所示，由题意，
则，
在中，因为，
所以，
在中，，
所以建筑的高度为.
故选：A.
7．A
如图，以为原点，分别为轴建立平面直角坐标系，则由题意求出点的坐标，设，然后表示出，再根据的取值范围可求得结果.
【详解】如图，以为原点，分别为轴建立平面直角坐标系，
因为“六芒星”是由两个边长为2正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行，
所以六边形为边长为的正六边形，，
所以，
所以，
设，则，
所以，
因为动点P在“六芒星”上（内部以及边界），
所以，所以，
所以.
故选：A.
8．C
对于ACD：先求出三角形各种心的坐标，然后代入坐标列方程求解；对于B：利用展开计算即可.
【详解】如图建立平面直角坐标系，，
对于A：若为的重心，则，
所以
若，则，解得，所以，A不正确；

对于B：若为的外心，其必在直线上，
所以，B错误；
对于C：若为的垂心，其必在上，设，
则，解得，
此时，
若，则，解得，所以，C正确；
对于D：若为的内心，设内切圆半径为，
则，得，则，
此时，
若，则，解得，所以，D不正确；
故选：C.
9．AD
根据直观图与平面图的联系还原计算各选项即可.
【详解】如图过作，

由等腰梯形可得：是等腰直角三角形，
即,即C错误；
还原平面图为下图，

即，即A正确；
过C作，由勾股定理得，
故四边形ABCD的周长为：，即B错误；
四边形ABCD的面积为：，即D正确.
故选：AD.
10．ACD
根据向量垂直得到数量积为0，可求，判断A的真假；根据向量共线可求，判断B的真假；问题转化为两向量方向相反，可求判断C的真假；根据投影向量的求法求投影向量，判断D的真假.
【详解】对于A，若，则，则，所以A正确；
对于B，若，则，所以，所以B错误：
对于C，取得最小值时，，共线反向，则，
解得，则，所以C正确；
对于D，若，则，所以在上的投影向量为，所以D正确.
故选：ACD
11．AC
对于A，设，以向量为基底表示向量，根据共线求出即可判断A正确；对于B，由得，再利用数量积求模即可判断B不正确；对于C，由知分点的位置求出即可判断C正确；对于D，由题意利用正弦定理求得得或，当时，由此判断D不正确.
【详解】对于A，设，因为则，
，
由共线，得解得，所以，故A正确；
对于B，由得，
所以
所以，故B不正确；
对于C，由知是的中点，所以，，又，所以，所以，，故C正确；
对于D，设的三边分别为，依题意得，由外接圆的半径为2，根据正弦定理得，所以，由，得或，当时，
，故D不正确.
故选：AC.
12．/
根据题意结合复数的几何意义，可知表示所对应的点到点的距离，从而可可求出的最大值.
【详解】满足的复数所对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，
的几何意义为所对应的点到点的距离，
因为，
所以的最大值为.
故答案为：
13．
先求出，再利用面积求出关系，再结合求出，最后利用余弦定理求出.
【详解】，
，
，
，又，
，
.
故答案为：.
14．
①根据类比图形的结构特点，找到与的面积联系即可.
②利用向量加减法的三角形法则，用，表示出即可.
【详解】如图：
连接，由题意知，且分别为的中点，.
所以，
,
得.
，，
化简得，
所以
故答案为：①；②.
15．(1)
(2)
（1）先求出，再由复数对应的点在实轴上，求出的值，从而可求出；
（2）先化简，再由为纯虚数可求出实数的值.
【详解】（1）因为复数，，
所以，
因为复数对应的点在实轴上，
所以，得，所以，
所以；
（2）因为复数，，
所以
，
因为为纯虚数，所以，解得.
16．(1),
(2)
(1)由向量的线性运算得到，再由向量的模的运算求解；
(2) 因为，所以，，再分别计算数量积与向量的模，再由求解．
【详解】（1）依题意，，
则，
故，
由，
则
，
故线段的长为：．
（2）因为，
所以，，
则
，
，
，
故．
17．(1)
(2)
（1）结合面积公式、正弦定理及两角和的正弦公式化简可得，进而求解即可；
（2）在中由正弦定理可得，在中，可得，进而得到，结合三角恒等变化公式化简可得，进而结合正弦函数的图象及性质求解即可.
【详解】（1），
，即，
由正弦定理得，，
，
，
，，
由，得.
（2）由（1）知，，
因为，所以，，
在中，由正弦定理得，
即，
在中，，
，
，,
，
，，，
所以的取值范围为.

18．(1)
(2)
(3)
（1）设，则可得，结合余弦函数性质求解即可.
（2）由图可得，再根据投影向量确定，再代入角度求解即可.
（3）结合题意将用三角函数表示，再利用正弦函数的性质求最大值即可.
【详解】（1）如图，设，连接，
而，
因为，故，
所以的取值范围为．
（2）因为为的中点，所以，
由平面向量加法法则得，
则在方向上的投影向量为，
在方向上的投影向量为，
得到，
故，
将代入，得．
（3）因为，，
所以，
又由（2）知，
故，则，
因为，所以当且仅当时，取得最大值1，
故的最大值为．
19．(1)，
(2)
(3)（ⅰ）；（ⅱ）
【详解】（1）因为，所以，
所以，
又，且、不共线，所以，；
（2）因为、、三点共线，所以存在实数使得，
所以，
因为，即，
所以，
又因为，
即，又、不共线，
所以，解得，
所以．
（3）（i）根据题意．
同理可得：，
由（2）可知，，
所以，
因为，，三点共线，所以，
化简得，又因为，，
所以，
当且仅当，即，时等号成立．
（ⅱ）根据题意，，
，
所以
，
由（i）可知，则，
所以，
所以，
易知，当时，有最大值，又因为，
所以.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
D
C
C
A
A
C
AD
ACD
题号
11









答案
AC