湖南省常德市汉寿县第一中学2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题

这是一份湖南省常德市汉寿县第一中学2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．复数的虚部为（ ）
A．B．C．D．2
2．最早发现勾股定理的人是我国西周数学家商高，商高比毕达哥拉斯早500多年发现勾股定理，如图所示，满足“勾三股四弦五”，其中股，为弦上一点（不含端点），且满足勾股定理，则向量，夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
3．已知，是两个不同的平面，直线m在平面内，给出命题“若，则”，那么它的原命题，逆命题、否命题，逆否命题中，真命题的个数为（ ）
A．0B．2C．3D．4
4．已知四边形为平行四边形，，，，，则等于（ ）
A．B．C．D．
5．如图，圆台的上、下底面半径分别为，，半径为的球与圆台的上、下底面及母线均相切，圆台的侧面积为，则（ ）
A．5B．C．10D．
6．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的值为（ ）．
A．B．C．D．
7．在一堂数学实践探究课中，同学们用镜而反射法测量学校钟楼的高度.如图所示，将小镜子放在操场的水平地面上，人退后至从镜中能看到钟楼顶部的位置，此时测量人和小镜子的距离为，之后将小镜子前移，重复之前的操作，再次测量人与小镜子的距离为，已知人的眼睛距离地面的高度为，则钟楼的高度大约是（ ）

A．B．C．D．
8．中，，，，点P是内（包括边界）的一动点，且，则的最大值是
A．B．C．D．
二、多选题
9．下列关于复数的说法中正确的有（ ）
A．复数的虚部为B．复数的共轭复数是
C．复数的模是D．复数的对应的点在第四象限
10．如图所示，四棱锥的底面为正方形，底面ABCD，，则下列选项中两异面直线所成夹角大于的是（ ）
A．BC与SDB．AB与SCC．SB与ADD．AC与SB
11．在锐角中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且.则下列说法正确的是（ ）
A．
B．角B的范围是
C．若的平分线交BC于D，，，则
D．的取值范围是
三、填空题
12．已知，则 ， ．
13．已知，，且在上的投影的数量为-4，则 .
14．正三棱台，，D､E､F为棱､､中点，平面ABD､平面BCE､平面ACF交于点O，则 .（注：V代表几何体体积）
四、解答题
15．已知单位向量，，的夹角为，向量，向量.
（1）若，求的值；
（2）若，求.
16．如图，某小区准备将闲置的一直角三角形地块开发成公共绿地，图中，，.设计时要求绿地部分（如图中阴影部分所示）有公共绿地走道，且两边是两个关于走道对称的三角形（和）.现考虑绿地最大化原则，要求点与点，均不重合，落在边上且不与端点，重合.
（1）设，若，求此时公共绿地的面积；
（2）为方便小区居民的行走，设计时要求，的长度最短，求此时绿地公共走道的长度.
17．如图，四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PBC为正三角形，M，N分别为PD，BC的中点，PN⊥AB．
（1）求三棱锥的体积；
（2）求二面角的正切值.
18．正方体中，是棱的中点.
(1)直线与平面所成角的余弦值；
(2)求二面角的正弦值.
19．已知分别为三个内角的对边，且满足.
(1)求A；
(2)若，求a.
参考答案
1．D
【分析】根据复数的除法运算和复数的虚部概念即可.
【详解】，故该复数的虚部为2.
故选：D.
2．A
【分析】由等面积法求出，即可求出，从而得解.
【详解】由题意知：，，，，
满足勾股定理，
，
，则，
所以，所以向量与夹角的余弦值为.
故选：A.
3．B
【解析】利用命题间的相互关系判断.
【详解】已知，是两个不同的平面，直线m在平面内，若，则或与相交，知原命为假命题，
∴逆否命题也为假命题，
原命题的逆命题为，是两个不同的平面，直线m在平面内，若，则，
由面面平行易知原命题的逆命题为真命题，
则否命题为真命题，
故选：B．
4．C
【分析】根据条件，利用向量的线性运算及数量积的运算律，得，即可求解.
【详解】因为，则，
又，则，，
所以，
又，，所以，
故选：C.
5．A
【分析】根据给定条件，利用圆台的侧面积公式计算即得.
【详解】依题意，圆台的母线长，而，因此，
所以.
故选：A
6．A
【分析】利用正、余弦定理边角转化可得，再利用正弦定理解得，根据大边对大角结合同角三角关系分析求解.
【详解】因为，则，
由正弦定理可得，整理可得，
则，且，所以.
由正弦定理可得，
且，则，所以.
故选：A.
7．D
【分析】设钟楼的高度为，根据相似得到，代入数据计算得到答案.
【详解】如下图，设钟楼的高度为，
由，可得：，
由，可得：，
故，
故，
故选：D.

8．B
【解析】先由数量积可得，由余弦定理可得，则可得，以A为原点，以AB所在的直线为x轴，建立如图所示的坐标系，设点P为，根据，得到，结合图象可得答案.
【详解】中，，，，
∴由，，
∴，
由余弦定理可得
则有，.
以A为原点，以AB所在的直线为x轴，建立如图所示的坐标系，如图所示，
∵，，，
∴，，，
设点P为，，，
∵，
∴，
∴，
∴，①
直线BC的方程为，②，
联立①②，得，
此时最大，.
故选：B.
【点睛】本题考查向量的数量积的定义，余弦定理解三角形，还可以用几何法，结合余弦定理求解，用向量坐标解决向量最值问题，属于中档题.
9．BD
【分析】由虚部、共轭复数定义、复数模长运算和几何意义依次判断各个选项即可.
【详解】对于A，由虚部定义知：的虚部为，A错误；
对于B，由共轭复数定义知：，B正确；
对于C，，C错误；
对于D，对应的点为，位于第四象限，D正确.
故选：BD.
10．ACD
【分析】求得BC与SD所成的角判断选项A；求得AB与SC所成的角判断选项B；求得SB与AD所成的角判断选项C；求得AC与SB所成的角判断选项D.
【详解】对于A，因为底面ABCD，平面ABCD，所以，则BC与SD所成角的大小为，A项符合．
对于B，因为底面ABCD是正方形，所以，则AB与SC所成的角为，B项不符合．
对于C，因为，所以SB与AD所成的角为，由题知，所以，C项符合．
对于D，因为底面ABCD，平面ABCD，所以．
因为ABCD是正方形，所以．
又因为，所以平面SBD．
因为平面SBD，所以，则AC与SB所成角的大小为，D项符合．
故选：ACD
11．ACD
【分析】应用正弦边角关系及和差角正弦公式化简得，结合三角形内角的性质判断A；由A结论及三角形内角和列不等式判断B；设，则，，进而得到，应用三角恒等变换化简求值判断C；由，结合B分析即可得范围判断D.
【详解】由正弦边角关系有，
所以，又且，
所以，A对；
由上，可得，B错；
对于C，如下图示，设，则，，
由，则，且，则，
所以，
而，且，则，所以，C对；
由，
而，且在上单调递增，则值域为，D对.
故选：ACD
12．
【解析】先根据复数除法法则化简再根据共轭复数概念得第一空，根据复数模的性质求解第二空.
【详解】∵，则，
故答案为：，
【点睛】本题考查复数除法、共轭复数概念、复数模，考查基本分析求解能力，属基础题.
13．
【分析】利用向量投影的计算公式以及向量的模长公式、完全平方公式计算求解.
【详解】由题可知，，又，，所以，
所以.
故答案为：.
14．/
【分析】设，，易得，再根据立体几何中的比例关系，结合向量的方法求得到平面的距离与正三棱台高的比值，进而由体积公式确定比例即可
【详解】设，，易得，连接，由等腰梯形的中位线性质可得，，又，故，同理.
取中点，连接，易得为等腰三角形，且共线.故，根据三点共线满足的性质有，又，设，则，解得.设正三棱台的高为，则到平面的距离为，则到平面的距离为.设，则，，故
故答案为：
15．（1）；（2）．
【分析】（1）由，所以存在唯一实数ｔ，使得，建立方程组可得答案；
（2）由已知求得，再由得，可解得，再利用向量的模的计算方法可求得答案.
【详解】（1）因为，所以存在唯一实数ｔ，使得，即，
所以，解得；
（2）由已知得，由得，即，解得，
所以，所以，所以．
【点睛】本题考查向量平行的条件和向量垂直的条件，以及向量的模的计算，属于中档题.
16．（1）；（2）.
【分析】（1）根据大三角形直角边的比例关系，可得三角形，结合，可求得各边的长度以及三角形的面积
（2）在中，由正弦定理求出的表达式，可化简为关于的三角函数形式，根据角的范围求出三角函数的最值，从而求出的最值
【详解】（1）由题意得：与全等，
在中，，
又，
，，
又，，，
，为等边三角形，
公共绿地的面积
（2）由图得：且
在中，由正弦定理得：
，
令
又由得，
，
当即时取最大值，即最短，
此时是等边三角形，.
17．（1）；（2）.
【分析】（1）先利用线面垂直的判定定理证出平面ABCD，再利用已知条件求，观察图像可得，即可得出结论；
（2）取DN中点E，连接ME，过E作，利用已知条件得出即为该二面角的平面角，再利用解三角形的有关知识求出二面角的平面角即可.
【详解】（1），
又，，
AB、平面，平面ABCD，
，，
M为PD中点，，
；
（2）取DN中点E，连接ME，
、E为中点，，平面ABCD，
平面ABCD，过E作，,
平面，，
即为该二面角的平面角，，
，，，
，，
.
即该二面角的正切值为.
【点睛】本题主要考查了用线面垂直的判定定理证明线面垂直，以及求二面角的平面角与几何体的体积.属于中档题.
18．(1)
(2)
【分析】（1）用等体积法算出点到平面的距离，可得线面角的正弦值，再由正弦值计算余弦值即可；
（2）由（1）得点到平面的距离，由等面积法计算出点到直线的距离，可得二面角的正弦值.
【详解】（1）设点到平面的距离为，正方体的棱长为，
是棱的中点，则，
，
取的中点为，连接则，则，且，
，，
，即，得，
设直线与平面所成角为，则，
.
故直线与平面所成角的余弦值为.
（2）由（1）得点到平面的距离，，，取的中点为，则，
且，
，
设点到直线的距离为，
由等面积法得，即，得，
设平面与平面的二面角为，则，
故二面角的正弦值为.
19．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理的边角变换得到，从而得解；
（2）利用三角形面积公式求得，再利用余弦定理即可得解.
【详解】（1）（1）因为，
由正弦定理得，
在中，，则，得，
而，可.
（2）因为，
所以，即，解得，
所以.
则.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
B
C
A
A
D
B
BD
ACD
题号
11









答案
ACD