吉林省通化市三校联考2023−2024学年高二下学期期末考试 数学试题（含解析）

这是一份吉林省通化市三校联考2023−2024学年高二下学期期末考试 数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．若集合 ，，则（ ）
A．B．C．D．
2．当时，的最小值为（ ）
A．B．1C．2D．
3．若函数，则（ ）
A．0B．C．D．
4．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（ ）
A．B．2C．3D．
5．已知关于的一元二次不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
6．已知，那么“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7．已知函数，若，则下列式子大小关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．若函数在上是单调函数，且满足对任意，都有，则函数的零点所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
10．已知定义域为的函数，则（ ）
A．函数的图象是轴对称图形
B．存在实数，使函数为单调函数
C．对任意实数，函数都存在最小值
D．对任意实数，函数都存在两条过原点的切线
11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，如.若，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，B．
C．函数是增函数D．函数的值域为
三、填空题（本大题共3小题）
12．命题“”的否定是 .
13．曲线在点处的切线方程为 .
14．已知函数，若实数，满足，则的最大值为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．某收费APP（手机应用程序）自上架以来，凭借简洁的界面设计、方便的操作方式和强大的实用功能深得用户的喜爱.该APP所在的公司统计了用户一个月月租减免的费用x（单位：元）及该月对应的用户数量y（单位：万人），得到如下数据表格：
已知x与y线性相关.
(1)求y关于x的经验回归方程（，）；
(2)据此预测，当月租减免费用为14元时，该月用户数量为多少？
参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.
16．已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)求函数在区间上的最大值与最小值.
17．已知函数.
(1)若的定义域为，求的取值范围；
(2)设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.
18．每年的3月21日是世界睡眠日，保持身体健康的重要标志之一就是有良好的睡眠，某机构调查参加体育锻炼对睡眠的影响，从辖区内同一年龄层次的人员中，常参加体育锻炼和不常参加体育锻炼的人中，各抽取了200人，通过问询的方式得到他们在一周内的睡眠时间（单位：小时），并绘制出如下频率分布直方图.

(1)求a的值；
(2)根据频率分布直方图，求常参加体育锻炼人员一周内的平均睡眠时间（同一组的数据用该组区间的中点值代替）；
(3)若每周的睡眠时间不少于44小时的列为“睡眠足”，每周的睡眠时间在44小时以下的列为“睡眠不足”，请根据已知条件完成下列列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“睡眠足”与“常参加体育锻炼”有关.
附：，其中.
19．若函数满足：对于任意正数m，n，都有，且，则称函数为“速增函数”．
(1)试判断函数与是否为“速增函数”；
(2)若函数为“速增函数”，求a的取值范围．
参考答案
1．【答案】B
【分析】由题知，对集合M，N进行转化，根据补集的概念求出，结合交集的运算求出.
【详解】由题意知，，
所以.
故选B.
2．【答案】C
【分析】根据题意，结合基本不等式，即可求解.
【详解】由，可得，则，
当且仅当时，即时，等号成立，故的最小值为2．
故选C．
3．【答案】A
【分析】求导，再令即可得解.
【详解】，
所以.
故选A.
4．【答案】B
【分析】由函数为奇函数，有，代入函数解析式求值即可．
【详解】是定义在上的奇函数，当时，，
则．
故选B．
5．【答案】A
【分析】利用一元二次不等式和一元二次方程的对应关系求出参数，再解另一个不等式即可.
【详解】由题设知方程有两根2和3，故由韦达定理得则，
所以，解得．
故选A．
6．【答案】B
【分析】利用指数函数、对数函数的单调性得出条件和结论得等价命题，再利用充要条件的判断方法判断即得.
【详解】因为在R上单调递增，在上单调递减,
故等价于,等价于，
显然由可推得，而由推不出，
故 “”是“”的必要不充分条件.
故选B.
7．【答案】A
【分析】求导得到函数单调性，结合得到，由函数单调性得到，故，从而得到，得到答案.
【详解】在上恒成立，
故在上单调递增，
因为，故，所以，故，
所以，
当时，，
故，，则，
故，
综上，.
故选A.
8．【答案】B
【分析】设，根据，列出关于的方程，进而求得的值，得到的解析式，再用零点存在定理判断即可.
【详解】因为函数在上是单调函数，，
设，所以，
所以，
因为与在上单调递增，所以有唯一解，解得，
所以，
又，，
故的零点所在的区间为.
故选B.
9．【答案】BCD
【分析】通过举反例可知A错误；利用不等式性质可知BCD正确.
【详解】对于A：当时，，故A错误；
对于B：，，又，，故B正确；
对于C：，，又，，故C正确；
对于D：，，，故D正确.
故选BCD.
10．【答案】ACD
【分析】对于A，利用函数奇偶性定义易得；对于B，将函数求导，就参数分类讨论函数的单调性情况即得；对于C，取，将函数化成，就参数分类讨论函数的单调性，即可推得函数的最值情况；对于D，设切点，写出切线方程，由切线过原点，得到关于切点的方程，考查方程的根的个数即得.
【详解】对于A：的定义域为，由，
可得是偶函数，图象关于轴对称，故A正确；
对于B：
①当时，当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，故此时函数不单调；
②当时，当时，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，故不可能为单调函数，故B错误；
对于C：因为设，则，
当时，当时，，所以必存在最小值，故C正确；
对于D：设切点，则，
所以在点处的切线方程为：，
因为切线过原点，故得，设，则得，
因为，则或（舍去），即，
即必然存在两个非零实数解，故对任意实数，函数存在两条过原点的切线，故D正确.
故选ACD.
11．【答案】AD
【分析】对于A，直接由高斯函数定义来验证即可；对于B，注意到，使得，即可运算判断；对于C，由B选项分析即可判断；对于D，由B选项可得的周期，故只需讨论在上的值域即可.
【详解】对于A，当时，，故A正确；
对于B，因为，使得，此时，
从而，故B选项错误；
对于C，由B可知对于，有，故C选项错误；
对于D，由B选项分析可知，函数是以1为周期的周期函数，故只需讨论在上的值域即可，
当时，，即函数的值域为，故D正确.
故选AD.
【关键点拨】对于A选项的判断比较常规，本题的关键是注意到，使得，从而即可判断BCD三个选项.
12．【答案】
【分析】根据给定条件，利用全称量词命题的否定是存在量词命题写出结论即可.
【详解】命题“”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，
所以命题“”的否定是：“”.
13．【答案】
【分析】利用导数的几何意义，求出和，即可写出切线方程.
【详解】由，求导得则，
则所求切线方程为，即.
14．【答案】
【分析】首先设得到是奇函数且在上单调递增，从而转化为，即可得到，再利用基本不等式求解最大值即可.
【详解】设，则，
所以，是奇函数，
又，在上单调递增，所以在上单调递增.
因为，所以，
即，所以，所以，
所以，
当且仅当，即，时等号成立，所以的最大值为.
15．【答案】(1)
(2)5.10万人
【分析】（1）分别求出，的值，再由公式可计算得，继而易得，从而得出答案；
（2）代入（1）得到的回归方程即可得出结论.
【详解】（1）由，
，
有，
，
故y关于x的经验回归方程为；
（2）由（1）知经验回归方程为，当时，，
所以预测该月的用户数量为5.10万人
16．【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为；
(2)的最大值为，最小值为
【分析】（1）分别令,，解不等式可得答案；
（2）求出取得极小值，可得答案.
【详解】（1）定义域为，且，
令，令，
函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）由（1）可知，当时，取得最小值，
，所以为最大值，
在区间上的最大值为，最小值为.
17．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）依题意转化为在上恒成立问题，结合二次函数的图象，需使即得；
（2）先判断函数在区间上的单调性，得对任意恒成立，即对任意恒成立，则需使，就参数的取值分类讨论函数的最小值即得的范围.
【详解】（1）由函数的定义域为，可得在上恒成立，
结合二次函数的图象可知，需使，解得，即的取值范围为；
（2）设，则在定义域内是单调递增函数，
因为，,故对任意，函数在区间上单调递增，
故，，
依题意，对任意恒成立，
即对任意恒成立，
即对任意恒成立，
即对任意恒成立，
令，则需使，
因为函数图象的对称轴为，
①当，即时，在上单调递增，故由，解得，不合题意，舍去；
②当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
故，解得，因为，故.
综上，的取值范围是.
18．【答案】(1)
(2)
(3)列联表见详解，有99.9%的把握认为“睡眠足”与“常参加体育锻炼”有关
【分析】（1）利用频率分布直方图各小矩形面积和为1求出a值作答.
（2）利用频率分布直方图估计平均数作答.
（3）结合给定的频率分布直方图列出列联表，再计算的观测值，并与临界值比对作答.
【详解】（1）由频率分布直方图可知，，解得，
所以.
（2）由频率分布直方图可得
，
所以常参加体育锻炼人员一周内的平均睡眠时间.
（3）常参加体育锻炼人员“睡眠足”的人数为：，
则“睡眠不足”的人数为50；
不常参加体育锻炼人员“睡眠足”的人数为：，
则“睡眠不足”的人数为90，
列联表如下：
所以，
所以有99.9%的把握认为“睡眠足”与“常参加体育锻炼”有关.
19．【答案】(1)是“速增函数”，不是“速增函数”
(2)
【分析】（1）根据“速增函数”的定义，利用作差法可判断函数；根据“速增函数”的定义，通过举反例可判断函数.
（2）先根据“速增函数”的定义将问题转化为不等式恒成立问题；再利用指数运算法则和指数函数的单调性即可求解.
【详解】（1）对于函数，
当时，有；
因为，
所以，
故根据“速增函数”的定义，可得是“速增函数”.
对于函数，
当时，有，
故根据“速增函数”的定义，可得不是“速增函数”.
（2）因为是“速增函数”，
根据“速增函数”的定义可知，
当时，恒成立；
当时， 恒成立.
由当时，恒成立，
可得对一切正数n恒成立.
又因为当时，，
所以对一切正数n恒成立，
所以，即.
由当时， 恒成立，可得，
即对一切正数恒成立.
因为
，
所以，
又因为当时，，
所以，
由对一切正数恒成立，可得，即．
综上可知，a的取值范围是．
【关键点拨】第（1）问解题关键在于理解函数新定义；第（2）问利用转化的思想将所求问题转化为不等式恒成立问题，再利用指数运算法则和指数函数的单调性即可求解.
用户一个月月租减免的费用x（元）
4
5
6
7
8
用户数量y（万人）
2
2.1
2.5
2.9
3.2
睡眠足
睡眠不足
总计
常参加体育锻炼人员
不常参加体育锻炼人员
总计
0.15
0.1
0.05
0.025
0.01
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
睡眠足
睡眠不足
总计
常参加体育锻炼人员
150
50
200
不常参加体育锻炼人员
110
90
200
总计
260
140
400