黑龙江省大庆第一中学2024−2025学年高一下学期第二阶段考试 数学试卷（含解析）

这是一份黑龙江省大庆第一中学2024−2025学年高一下学期第二阶段考试 数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，，则
C．若非零向量与是共线向量，则、、、四点共线
D．若，均为非零向量，则
2．的内角，，的对边分别为，，，且，则（ ）
A．B．
C．1D．
3．已知，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
4．在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则（ ）
A．25B．5C．4D．
5．如图，在中，为中点，在线段上，且，则（ ）

A．B．
C．D．
6．如图，为了测量河对岸的塔高，某测量队选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与．现测量得，米，在点，处测得塔顶的仰角分别为，，则塔高（ ）
A．15米B．米
C．30米D．米
7．已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为( )
A．B．C．D．
8．下列命题正确的是（ ）
A．若，则存在唯一实数使得
B．若，则或
C．若平面向量，，两两的夹角相等，且，，则
D．若非零向量，满足，则
二、多选题
9．已知的内角，，的对边分别为，，，且，，，则下列结论正确的是（ ）
A．是锐角三角形B．
C．的面积为D．若为中点，则
10．已知的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则是钝角三角形
C．若，则为等腰三角形
D．若，，这样的三角形有两解，则的取值范围为
11．已知矩形中，、交于点，，，点是矩形所在平面内的一点，且满足，．则下列说法正确的是（ ）
A．B．的最大值是为
C．的最小值为D．的最大值为40
三、填空题
12．已知中，角，，所对的边分别为，，，，，．则 ．
13．已知平行四边形中，A、B、C的坐标分别为，则点D的坐标为 ．
14．在锐角中，内角，，所对的边分别为，，．且．则的取值范围是 ．
四、解答题
15．设，，向量，，，且，．
（1）求；
（2）求向量与夹角的余弦值．
16．如图，等腰梯形中，，，．

（1）求；
（2）求．
17．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
（1）求角B的大小；
（2）若，D为边上的一点，，且______，求的面积．
请在下列两个条件中选择一个作为条件补充在横线上，并解决问题．
①是的平分线；②D为线段的中点．
（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答记分．）
18．用向量方法证明：

（1）如图（i），在中，点，分别是，边的中点，，分别与交于，两点，求证：；
（2）对于任意的，恒有不等式；
（3）如图（ii），直线与的边，分别相交于点，．设，，，，求证：．
19．“费马点”是三角形内部与其三个顶点的距离之和最小的点．对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，使的点即为费马点．已知中，角，，所对的边分别为，，，，，点是的费马点．
（1）求；
（2）若，求的面积；
（3）求周长的取值范围．
参考答案
1．【答案】D
【详解】对于选项A：向量不能比较大小，故A错误；
对于选项B：例如，满足，，但不一定共线，故B错误；
对于选项C：若非零向量与是共线向量，则、、、四点共线或，故C错误；
对于选项D：根据向量加减的运算法则，可得，故D正确；
故选D.
2．【答案】D
【详解】因为，可设，
所以.
故选D.
3．【答案】A
【详解】设与的夹角为，,，
由题意可知，，
，
则，即，故，结合,，解得．
故选A．
4．【答案】B
【详解】已知余弦定理，因为，
所以，那么.
又因为完全平方公式，可得，
将其代入中，就得到.
已知，，将其代入可得：，
所以.
故选B.
5．【答案】B
【详解】求得关于、的表达式，利用平面向量的减法法则可得出关于、的表达式.
【详解】为的中点，则，
，，
.
故选B.
6．【答案】C
【详解】在中，因为，可得
在中，因为，可得
在中，因为
由余弦定理得
即，可得
解得或（舍去），即塔的高度为30米.
故选C.
7．【答案】A
【详解】因为，
所以外接圆圆心为的中点，即为外接圆的直径，如图，
又，所以为等边三角形，
则，故，
所以向量在向量上的投影向量为：．
故选A．
8．【答案】D
【详解】对于选项A：例如，不为零向量，满足，
但不存在实数使得，故A错误；
对于选项B：例如非零向量，，，满足，故B错误；
对于选项C：例如向量，，同向，满足两两的夹角相等，
可得，故C错误；
对于选项D：若，则，
可得，整理可得，
且向量，为非零向量，所以，故D正确.
故选D.
9．【答案】BCD
【详解】对于选项A：因为，则，
且，可知为钝角，
所以是钝角三角形，故A错误；
对于选项B：因为，
且，所以，故B正确；
对于选项C：的面积为，故C正确；
对于选项D：若为中点，则，
可得
，
所以，故D正确；
故选BCD.
10．【答案】AD
【详解】对于A，因为，由正弦定理可得，所以，故A正确；
对于B，因为，
可得，可知为锐角，但是无法判断角A和角C是否为钝角，
所以无法判断是否为钝角三角形，故B错误；
对于C，因为，所以，即，
又，所以，所以或，
即或，即为等腰三角形或直角三角形，故C错误；
对于D，因为三角形有两解，所以，即，
所以的取值范围为，故D正确.
故选AD.
11．【答案】ACD
【详解】因为四边形是矩形，是的交点，所以是的中点．
根据向量加法的平行四边形法则可得：，．
则．
已知，即，所以，故选项A正确．
以为坐标原点，分别以所在直线为，轴建立平面直角坐标系．

则，，，．
设，则，，．
因为，所以，即，．
设，则，.
（其中）.
所以的最大值为，故选项B错误．
对于C，，，则．
由可得．
所以．
因为，所以．
当时，取得最小值为，故选项C正确．
对于D，．因为，所以．
当时，取得最大值为，故选项D正确．
故选ACD．
12．【答案】1
【详解】因为三角形内角和为，已知，，所以.
由正弦定理可得.
已知，，，可得：.
13．【答案】
【详解】设，则，，
因为四边形是平行四边形，
所以，则，
解得，，所以.
14．【答案】
【详解】因为，由正弦定理可得，
且，
即，
整理可得，
又因为，则，
可得，即，
因为为锐角三角形，则，
可得，解得，
所以的取值范围是.
15．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）向量，，，且，，
可得且，解得，，
即，，则，
则；
（2）因为，，
所以，，
设向量与夹角为，
则，
即向量与夹角的余弦值为．
16．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）由题意可知：，，
则，
可得，
即，
可得，即，
则，
且，所以.
（2）由（1）可得，
所以.
17．【答案】（1）
（2）选择①②，答案均为
【详解】（1）由正弦定理知，，
∵，
代入上式得，
∵，∴，，
∵，∴．
（2）若选①：由平分得，，
∴，即．
在中，由余弦定理得，
又，∴，
联立得，
解得，（舍去），
∴．
若选②：因为，
所以，
即，得，
在中，由余弦定理得，
即，
联立，可得，
∴．
18．【答案】（1）证明见详解
（2）证明见详解
（3）证明见详解
【详解】（1）因为四边形为平行四边形，则，
设，
因为是的中点，所以，
可得，
又因为三点共线，
可设，即，即，
故，相加可得，解得，即，
同理可证，
可知为的三等分点，所以.
（2）构造向量，，为向量、的夹角，
因为，且，
可得，当且仅当，即、同向共线时取等号，
可得，当且仅当时取等号，
所以.
（3）因为，则，
即，
又因为，
，
，
则
所以.
19．【答案】（1）
（2）
（3）
【详解】（1）因为，
由正弦定理得，
又因为，
代入整理可得，
且，则，可得，
整理可得，
且，则，
可得，所以.
（2）设，
则，
即，
所以的面积为.
（3）由正弦定理可得，
可得，
则周长为，
又因为，则，
可得，，
所以周长的取值范围为.