黑龙江省大庆第一中学2024-2025学年高一下学期第二阶段考试数学试卷 含解析

这是一份黑龙江省大庆第一中学2024-2025学年高一下学期第二阶段考试数学试卷 含解析，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
试卷满分：150 分 考试时间：120 分钟
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1. 下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ， ，则
C. 若非零向量 与 是共线向量，则 、 、 、 四点共线
D. 若 ， 均为非零向量，则
【答案】D
【解析】
【分析】对于 A：根据向量不能比较大小即可判断；对于 B：举反例说明即可；对于 C：根据向量共线分析
判断；对于 D：根据向量加减的运算法则即可判断.
【详解】对于选项 A：向量不能比较大小，故 A 错误；
对于选项 B：例如 ，满足 ， ，但 不一定共线，故 B 错误；
对于选项 C：若非零向量 与 是共线向量，则 、 、 、 四点共线或 ，故 C 错误；
对于选项 D：根据向量加减的运算法则，可得 ，故 D 正确；
故选：D.
2. 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ，则 （ ）
A. B.
C. 1 D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用正弦定理边角转化即可得结果.
【详解】因为 ，可设 ，
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所以 .
故选：D.
3. 已知 ，则 与 的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将 两边同时平方，再结合平面向量的数量积运算，即可求解
【详解】设 与 的夹角为 ， , ，
由题意可知， ，
，
则 ，即 ，故 ，结合 , ，解得 ．
故选：A．
4. 在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ， ， ，则 （ ）
A. 25 B. 5 C. 4 D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据余弦定理，通过对 进行变形，从而求出边 的长度.
【详解】已知余弦定理 ，因为 ，
所以 ，那么 .
又因为完全平方公式 ，可得 ，
将其代入 中，就得到 .
已知 ， ，将其代入 可得： ，
所以 .
故选：B.
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5. 如图，在 中， 为 中点， 在线段 上，且 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
求得 关于 、 的表达式，利用平面向量的减法法则可得出 关于 、 的表达式.
【详解】 为 的中点，则 ，
， ，
.
故选：B.
【点睛】本题考查平面向量的基底分解，考查了平面向量减法法则的应用，考查计算能力，属于中等题.
6. 如图，为了测量河对岸的塔高 ，某测量队选取与塔底 在同一水平面内的两个测量基点 与 ．现
测量得 ， 米，在点 ， 处测得塔顶 的仰角分别为 ， ，则塔高 （ ）
A. 15 米 B. 米
C. 30 米 D. 米
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【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，得到 ，在 中，利用余弦定理，列出方程，即可求解.
【详解】在 中，因为 ，可得
在 中，因为 ，可得
在 中，因为
由余弦定理得
即 ，可得
解得 或 （舍去），即塔的高度为 30 米.
故选：C.
7. 已知 的外接圆圆心为 ，且 ， ，则向量 在向量 上的投影向
量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由 ，得 是 中点，从而得出 ， ，作 于 ，
即为向量 在向量 上的投影向量，设 ，求出 ， 后可得结论．
【详解】因为 ，所以 是 中点，则 是圆 直径， ，
又 ，所以 是等边三角形， ，
设 ，
则 ，作 于 ，则 ，所以 ，
即为向量 在向量 上的投影向量， ．
故选：A．
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8. 下列命题正确的是（ ）
A. 若 ，则存在唯一实数 使得
B. 若 ，则 或
C. 若平面向量 ， ， 两两的夹角相等，且 ， ，则
D. 若非零向量 ， 满足 ，则
【答案】D
【解析】
【分析】对于 ABC：举反例说明即可；对于 D：根据数量积的运算结合向量垂直分析判断即可.
【详解】对于选项 A：例如 ， 不为零向量，满足 ，
但不存在实数 使得 ，故 A 错误；
对于选项 B：例如非零向量 ， ， ，满足 ，故 B 错误；
对于选项 C：例如向量 ， ， 同向，满足两两的夹角相等，
可得 ，故 C 错误；
对于选项 D：若 ，则 ，
可得 ，整理可得 ，
且向量 ， 为非零向量，所以 ，故 D 正确.
故选：D.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ， ， ，则下列结论正
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确的是（ ）
A. 是锐角三角形 B.
C. 的面积为 D. 若 为 中点，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于 A：可得 ，利用余弦定理可知 为钝角，即可判断；对于 B：利用余弦定理运算求
解即可；对于 C：利用面积公式运算求解；对于 D：可得 ，根据数量积的运算律结合余弦
定理运算求解.
【详解】对于选项 A：因为 ，则 ，
且 ，可知 为钝角，
所以 是钝角三角形，故 A 错误；
对于选项 B：因为 ，
且 ，所以 ，故 B 正确；
对于选项 C： 的面积为 ，故 C 正确；
对于选项 D：若 为 中点，则 ，
可得
，
所以 ，故 D 正确；
故选：BCD.
10. 已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，则下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，则
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B. 若 ，则 是钝角三角形
C. 若 ，则 为等腰三角形
D. 若 ， ，这样 三角形有两解，则 的取值范围为
【答案】AD
【解析】
【分析】利用正弦定理判断 A、D；根据数量积的定义判断 B；利用正弦定理将边化角，再由二倍角公式判
断 C.
【详解】对于 A，因为 ，由正弦定理可得 ，所以 ，故 A 正确；
对于 B，因为 ，
可得 ，可知 为锐角，但是无法判断角 A 和角 C 是否为钝角，
所以无法判断 是否为钝角三角形，故 B 错误；
对于 C，因为 ，所以 ，即 ，
又 ，所以 ，所以 或 ，
即 或 ，即 为等腰三角形或直角三角形，故 C 错误；
对于 D，因为三角形有两解，所以 ，即 ，
所以 的取值范围为 ，故 D 正确.
故选：AD.
11. 已知矩形 中， 、 交于点 ， ， ，点 是矩形 所在平面内的一点，
且满足 ， ．则下列说法正确的是（ ）
A. B. 的最大值是为
C. 的最小值为 D. 的最大值为 40
【答案】ACD
【解析】
【 分 析 】 A 选 项 ： 利 用 矩 形 对 角 线 交 点 是 中 点 ， 结 合 向 量 加 法 平 行 四 边 形 法 则 ， 得 出
，再由已知条件求出 ．B 选项：建立坐标系，根据向量关系得到
， ，由 确定点 轨迹，运用参数法解题即可．C 选项：先表示出 ，再结合点 轨迹
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方程化简，根据 的取值范围求最小值．D 选项：求出 ，根据点 轨迹确定 范围，进而求
出最大值．
【详解】因为四边形 是矩形， 是 的交点，所以 是 的中点．
根据向量加法的平行四边形法则可得： ， ．
则 ．
已知 ，即 ，所以 ，故选项 A 正确．
以 坐标原点，分别以 所在直线为 ， 轴建立平面直角坐标系．
则 ， ， ， ．
设 ，则 ， ， ．
因 ，所以 ，即 ， ．
设 ，则 ， .
（其中
）.
所以 的最大值为 ，故选项 B 错误．
对于 C， ， ，则 ．
由 可得 ．
所以 ．
因为 ，所以 ．
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当 时， 取得最小值为 ，故选项 C 正确．
对于 D， ．因为 ，所以 ．
当 时， 取得最大值为 ，故选项 D 正确．
故选：ACD．
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 已知 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， ， ， ．则 ________
．
【答案】1
【解析】
【分析】可先根据三角形内角和定理求出角 ，再利用正弦定理求出边 的值.
【详解】因为三角形内角和为 ，已知 ， ，所以
.
由正弦定理 可得 .
已知 ， ， ，可得： .
故答案为：1.
13. 已知平行四边形 中，A、B、C 的坐标分别为 ，则点 D 的坐标为________．
【答案】
【解析】
【分析】设 ，由题意可得 ，列出关于 的方程组可求得答案.
【详解】设 ，则 ， ，
因为四边形 是平行四边形，
所以 ，则 ，
解得 ， ，所以 ，
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故答案为： ．
14. 在锐角 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ．且 ．则 的取值范围
是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意利用正弦定理结合三角恒等变换可得 ，结合锐角三角形列式求解即可.
【详解】因为 ，由正弦定理可得 ，
且 ，
即 ，
整理可得 ，
又因为 ，则 ，
可得 ，即 ，
因为 为锐角三角形，则 ，
可得 ，解得 ，
所以 的取值范围是 .
故答案为： .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
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15. 设 ， ，向量 ， ， ，且 ， ．
（1）求 ；
（2）求向量 与 夹角的余弦值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用平面向量的垂直与共线，列出方程组求解 的值，从而可得 的坐标，再利用模的
运算公式求解即可；
（2）由向量的坐标运算可得 ，计算 ，然后结合向量夹角公式即可求得夹角余
弦值．
【小问 1 详解】
向量 ， ， ，且 ， ，
可得 且 ，解得 ， ，
即 ， ，则 ，
则 ；
【小问 2 详解】
因为 ， ，
所以 ， ，
设向量 与 夹角为 ，
则 ，
即向量 与 夹角余弦值为 ．
16. 如图，等腰梯形 中， ， ， ．
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（1）求 ；
（2）求 ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）用 表示 ，根据模长关系结合数量积的运算律可得 ，结
合夹角公式运算律求解；
（2）根据（1）中结论结合数量积的运算求解
【小问 1 详解】
由题意可知： ， ，
则 ，
可得 ，
即 ，
可得 ，即 ，
则 ，
且 ，所以 .
【小问 2 详解】
由（1）可得 ，
所以 .
17. 在 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且 ．
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（1）求角 B 的大小；
（2）若 ，D 为 边上的一点， ，且______，求 的面积．
请在下列两个条件中选择一个作为条件补充在横线上，并解决问题．
① 是 的平分线；②D 为线段 的中点．
（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答记分．）
【答案】（1）
（2）选择①②，答案均为
【解析】
【分析】（1）由正弦定理和 得到 ，求出 ；
（2）选①，根据面积公式得到 ，结合余弦定理得到 ，求出面积；
选②，根据数量积公式得到 ，结合余弦定理得到 ，求出 ，得到面
积.
【小问 1 详解】
由正弦定理知， ，
∵ ，
代入上式得 ，
∵ ，∴ ， ，
∵ ，∴ ．
【小问 2 详解】
若选①：由 平分 得， ，
∴ ，即 ．
在 中，由余弦定理得 ，
又 ，∴ ，
联立 得 ，
解得 ， （舍去），
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∴ ．
若选②：因为 ，
所以 ，
即 ，得 ，
在 中，由余弦定理得 ，
即 ，
联立 ，可得 ，
∴ ．
18. 用向量方法证明：
（1）如图（i），在 中，点 ， 分别是 ， 边的中点， ， 分别与 交于 ，
两点，求证： ；
（2）对于任意的 ，恒有不等式 ；
（3）如图（ii），直线 与 的边 ， 分别相交于点 ， ．设 ， ， ，
，求证： ．
【答案】（1）证明见详解
（2）证明见详解 （3）证明见详解
【解析】
【分析】（1）设 ，根据向量基本定理结合三点共线，求出 ，同理可证出 ，得
到结论；
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（2）构造向量 ， ， 为向量 、 的夹角，根据数量积的坐标运算及向量的模的坐标
表示即可得证；
（3）根据图形易得 ，结合数量积可得 ，根据数量积的定义运
算整理即可，注意向量夹角的分析理解．
【小问 1 详解】
因为四边形 为平行四边形，则 ，
设 ，
因为 是 的中点，所以 ，
可得 ，
又因为 三点共线，
可设 ，即 ，即 ，
故 ，相加可得 ，解得 ，即 ，
同理可证 ，
可知 为 的三等分点，所以 .
【小问 2 详解】
构造向量 ， ， 为向量 、 的夹角，
因为 ，且 ，
可得 ，当且仅当 ，即 、 同向共线时取等号，
可得 ，当且仅当 时取等号，
所以 .
【小问 3 详解】
因 ，则 ，
即 ，
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又因为 ，
，
，
则
所以 .
19. “费马点”是三角形内部与其三个顶点的距离之和最小的点．对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马
点，当 的三个内角均小于 时，使 的点 即为费马点．已知
中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， ， ，点 是
的费马点．
（1）求 ；
（2）若 ，求 的面积；
（3）求 周长的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理将题目中的条件.转换成仅含有角 关系，再利用辅助角公式求解即可；
（2） ，由向量的数量积可得 ，由三角形的面积可得结果；
（3）利用正弦定理结合三角恒等变换可得 ，再根据正弦函数的有界性分析求
解.
【小问 1 详解】
因为 ，
由正弦定理得 ，
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又因为 ，
代入整理可得 ，
且 ，则 ，可得 ，
整理可得 ，
且 ，则 ，
可得 ，所以 .
【小问 2 详解】
设 ，
则 ，
即 ，
所 以 面 积 为
.
【小问 3 详解】
由正弦定理可得 ，
可得 ，
则 周长为
，
又因为 ，则 ，
可得 ， ，
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所以 周长的取值范围为 .
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