福建省漳州高新技术产业开发区第二中学2024-2025学年高一下学期第二次质量检测 数学试卷（含解析）

这是一份福建省漳州高新技术产业开发区第二中学2024-2025学年高一下学期第二次质量检测 数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了单项选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 总分：150分）
友情提示：请把所有答案填（涂）到答题卡上！请不要错位、越界答题！！
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．在复平面内，对应的点位于（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．在△ABC中，点D在边AB上，．记，则（ ）
A． B． C． D．
3．某学习小组共5名同学，某次模拟考试的数学成绩平均分数为112，已知其中4名同学的成绩分别为96，109，120，126，则这5名同学成绩的第75百分位数是（ ）
A．112B．119C．120D．121
4．如图一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为，腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是（ ）
A． B． C． D．
5．设，为不重合的平面，，为不重合的直线，则其中正确命题的序号为（ ）
①，，则；
②，，，则；
③，，，则；
④，，，则.
A．①③B．②③C．②④D．③④
6．某中学举行疾病防控知识竞赛，其中某道题甲队答对该题的概率为，乙队和丙队答对该题的概率都是.若各队答题的结果相互独立且都进行了答题.则甲、乙、丙三支竞赛队伍中恰有一支队伍答对该题的概率为（ ）
A．B．C．D．
7．被誉为“苏北黄鹤楼”的泗水阁位于泗阳运河风光带上，建成于2012年，建筑面积约5800平方米，是四面五层仿唐汉风格的建筑.某同学为测量泗水阁的高度，在泗水阁旁边找到一座建筑物，高约为，在底面上的点处（，，三点共线）测得建筑物顶部，泗水阁顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则泗水阁的高度约为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在四面体中，点在平面上的射影是，，若，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）

A． B．C． D．
二、多选题:本大题共3小题，每小题6分，共18分.
9．已知平面向量，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．向量与的夹角为钝角 D．向量在上的投影向量为
10．△ABC中，角所对的边分别为.以下结论中正确的有（ ）
A．若，则△ABC必有两解
B．若，则△ABC一定为等腰三角形
C．若，则△ABC一定为直角三角形
D．若，且该三角形有两解，则的范围是
11．如图，在正方体中，线段上有两个动点E，F，且（m为正常数），则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．线段上存在点E，F，使得
C．的面积与的面积之比为
D．三棱锥的体积为定值
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12．若向量，且，则 ．
13．已知古典概型的样本空间和事件和，其中，，，，则 .
14．已知正三棱锥的顶点都在球O的球面上，其侧棱与底面所成角为，且，则球O的表面积为 .
四、解答题:本大题共5小题，共77分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求B；
（2）若，，求△ABC的面积.
16．古人云“民以食为天”，某校为了了解学生食堂服务的整体情况，进一步提高食堂的服务质量，营造和谐的就餐环境，使同学们能够获得更好的饮食服务．为此做了一次全校的问卷调查，问卷所涉及的问题均量化成对应的分数（满分100分），从所有答卷中随机抽取100份分数作为样本，将样本的分数（成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]，得到如表所示的频数分布表．
(1)求频数分布表中a的值，并求样本成绩的中位数和平均数；
(2)已知落在[50，60）的分数的平均值为56，方差是7；落在[60，70）的分数的平均值为65，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差．
17．福建省高考目前实行“3+1+2”模式，其中“3”指的是语文､数学，外语这3门必选科目，“1”指的是考生需要在物理､历史这2门首选科目中选择1门，“2”指的是考生需要在思想政治､地理､化学､生物这4门再选科目中选择2门.已知福建医科大学临床医学类招生选科要求是首选科目为物理，再选科目为化学､生物至少1门.
(1)从所有选科组合中任意选取1个，求该选科组合符合福建医科大学临床医学类招生选科要求的概率；
(2)假设甲､乙､丙三人每人选择任意1个选科组合是等可能的，求这三人中至少有两人的选科组合符合福建医科大学临床医学类招生选科要求的概率.
18．如图，在四棱锥中，平面是的中点.
(1)证明：面
(2)证明：平面平面；
(3)求三棱锥的体积.
19．如图所示，将一副三角板拼接，使它们有公共边，且使两个三角形所在的平面互相垂直,.
(1)求证：平面平面；
(2)求二面角的平面角的正切值；
(3)求异面直线与间的距离.
样本分数段
[40，50）
[50，60）
[60，70）
[70，80）
[80，90）
[90，100]
频数
5
10
20
a
25
10
《高新区第二中学2024-2025学年下学期第二次质量检测》参考答案
1．A
【难度】0.85
【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断.
【详解】因为，
则所求复数对应的点为，位于第一象限.
故选：A.
2．B
【难度】0.85
【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．
【详解】因为点D在边AB上，，所以，即，
所以．
故选：B．
3．C
【难度】0.85
【分析】先利用平均数得到另外一个学生的成绩为109，然后根据百分位数的求法可得.
【详解】依题意设另外一名同学的成绩为x，则，解得,
将这5名同学的成绩按从小到大的顺序排列为96，109，109，120，126，
则成绩的第75百分位数为即排序后的第4个数据，
所以这5名同学成绩的第75百分位数是120，
故选：C
4．A
【难度】0.65
【分析】根据斜二测画法的规则，由直观图的特征推出原平面图形的形状及相关边长，再利用梯形面积公式计算原平面图形的面积．
【详解】在直观图中作，垂足分别为E，F，
则

确定原平面图形的形状及部分边长：
在斜二测画法中，平行于y轴的线段，在原图形中长度变为直观图中对应线段长度的倍．
已知直观图是底角为，腰和上底均为的等腰梯形，因为直观图中腰长为且平行于y轴，所以原平面图形为直角梯形，其直角腰长为直观图中腰长的倍，即；上底边长在斜二测画法中长度不变，所以原平面图形上底边长为． 原图如下：

将原平面图形上底，下底，高代入公式，可得．
原平面图形的面积是．
故选：A．
5．D
【难度】0.85
【分析】根据线面平行和面面平行的性质可判断①②；
根据线面垂直和面面垂直的性质可判断③④，由此可得选项.
【详解】解：①若，，则或，故①错误；
②若，，，则或与异面，故②错误；
③若，，则或，又，则，故③正确；
④若，，则，又，，可得，故④正确.
故选：D.
6．C
【难度】0.65
【分析】根据独立事件的乘法公式计算即可.
【详解】解：记“甲队答对该题”为事件A，“乙队答对该题”为事件B，“丙队答对该题”为事件C，
则甲、乙、丙三支竞赛队伍中恰有一支队伍答对该题的概率
，
故选：C.
7．C
【难度】0.65
【分析】在中求得，然后在中，利用正弦定理求得即可求解.
【详解】在中，，所以，
在中，，
则，
由正弦定理得，即，解得，
在中，.
故选：C.
8．C
【难度】0.65
【分析】与所成的角通过线线平行转化为或其补角，再应用余弦定理计算余弦值，最后根据异面直线所成角的范围确定符号即可.
【详解】分别取的中点，连接.因为点在平面上的射影是，所以平面，则.
因为分别为中点，所以，所以与所成的角即或其补角.
因为，所以，所以.
又因为，所以，
所以，
异面直线所成角的范围是,故异面直线与所成角的余弦值为.

故选:C.
9．ABD
【难度】0.85
【分析】根据给定条件，利用数量积的坐标表示，结合各选项的条件逐一求解判断.
【详解】对于A，，则，A正确；
对于B，，则，B正确；
对于C，，又，则，
而，因此为锐角，C错误；
对于D，，，向量在上的投影向量，D正确.
故选：ABD
10．AC
【难度】0.65
【分析】根据正弦定理可判断选项A；已知条件得出角的关系，可判断选项B；化边为角可判断选项C；根据正弦定理可判断选项D，进而可得正确选项.
【详解】对于A，若，则，
又，所以必有两解，故A正确；
对于B，若，则或，
即或，所以为等腰三角形或直角三角形，故B错误；
对于C，由正弦定理得：，
即，而，故，
所以一定为直角三角形，故C正确；
对于D，若，且该三角形有两解，所以，
即，也即，故D错误.
综上所述，只有AC正确，
故选：AC.
11．ACD
【难度】0.65
【分析】根据正方体的结构特征得出，，进而由线线垂直得到线面垂直平面，从而可判断A；假设，可得四点共面，进而得出矛盾可判断B；在矩形和等边中分别求出的面积与的面积，进而得出面积的比可判断C；结合以上所求，利用等体积法求出三棱锥的体积，得出与的位置无关可判断D.
【详解】对于A，连接，如图所示，
在正方体中，平面，
平面，，
在正方形中，，
又平面，平面，，
平面，
又平面，，A正确；
对于B，如图所示，假设，则四点共面，
这与“直线与直线是异面直线”矛盾，所以假设不成立，B错误；
对于C，连接，，连接交于，则点是的中点，
接，如图所示，
设正方体的棱长为，则，
在矩形中，，
在等边中，，，
，
，C正确；
对于D， 如图所示，
由上可知，平面，，，
，D正确.
故选：ACD.
12．/
【难度】0.85
【分析】直接利用平面向量共线的坐标公式列式求解即可.
【详解】因为向量，且，所以，解得．
故答案为：
13．
【难度】0.85
【分析】根据古典概型的概率公式计算可得.
【详解】因为，，，
所以，
所以.
故答案为：
14．
【难度】0.85
【分析】作出图形判断外接球球心的位置，先求出相关线段的长度，然后利用勾股定理求出外接球半径，代入球的表面积公式即可求解．
【详解】如图，正三棱锥中，设点Q为的中心，则PQ⊥平面ABC，

∴，∴，PQ＝3．
球心O在直线PQ上，连接AO，设球O的半径为r，
则，，
在中，，即，解得，
∴球O的表面积为．
故答案为：.
15．（1）；（2）.
【难度】0.85
【分析】（1）利用正弦定理边化角，将化为，再根据三角形的内角关系结合两角和的正弦公式即可得解；
（2）由，，利用正弦定理求得变，结合三角形的面积公式即可得解.
【详解】解：（1）∵，
由正弦定理得，，.
∴，
∴，.
∴，而，
∴，∴，
又，∴；.
（2），.
.
由正弦定理得，
，.
∴.
16．(1)，中位数为75，平均数74
(2)84
(3)总平均数是62，总方差是23
【难度】0.65
【分析】（1）根据题意，由样本容量，求解的值，再利用中位数和平均数公式，计算即可；
（2）利用百分位数的定义结合题意求解即可；
（3）由表可知，分数在[50，60）的问卷为10份，分数在[60，70）的问卷为20份，根据公式计算两组成绩的总平均数和总方差s2即可．
【详解】（1）由，解得，
前三段的频率之和，，
前四段的频率之和，
，由成绩在段的频率为0.3，
所以中位数为，
．
（2）成绩落在内的频率为
落在内的频率为
显然第75百分位数，由，解得
所以第75百分位数为84.
（3）由频率分布直方图知，成绩在的市民人数为，
成绩在的市民人数为，
所以
由样本方差计算总体方差公式，得总方差为
17．(1)
(2)
【难度】0.65
【分析】（1）利用古典概型求概率的方法求概率即可；
（2）根据互斥事件概率加法公式求概率即可.
【详解】（1）用分别表示“选择物理”“选择历史”，用分别表示选择“选择化学”“选择生物”“选择思想政治”“选择地理”，
则所有选科组合的样本空间
，，
设“从所有选科组合中任意选取1个，该选科组合符合南京医科大学临床医学类招生选科要求”则，，
.
（2）设甲､乙､丙三人每人的选科组合符合南京医科大学临床医学类招生选科要求的事件分别是，由题意知事件相互独立.
由（1）知.
记“甲､乙､丙三人中至少有两人的选科组合符合南京医科大学临床医学类招生选科要求”，
则
易知以上子事件两两互斥，根据互斥事件概率加法公式得
.
18．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【难度】0.65
【分析】（1）取中点，连接，证即可；
（2）由得，由平面得，所以平面，从而得证；
（3），所以平面，根据求解．
【详解】（1）取中点，连接，
∵,,
∴,
∴为平行四边形，则，
∵面，面，∴面.

（2）因为，所以，
由平面平面，所以，
又由，且平面，所以平面，
又平面，所以平面平面，即平面平面.
（3）由（1）可得，且平面，平面，所以平面，
所以，
因为平面，可得，
又由，
所以，
所以，即三棱锥的体积为.
19．(1)证明见解析
(2)2
(3)
【难度】0.65
【分析】（1）要证平面平面关键是证平面只需证，，利用平面平面可证；
（2）根据几何法求解为二面角的平面角，从而利用三角形的边角关系即可求；
（3）将异面直线与间的距离转化为点到面的距离求解.
【详解】（1）∵平面平面平面平面,
平面，所以平面平面，
∴，又，，平面，
∴平面,又平面，
∴平面平面
（2）设中点为，连接，过作于，连接，
由于,所以,平面平面平面平面,
平面，所以平面平面，
故,又平面，
所以平面，由于平面,故，
为二面角的平面角，
∵，∴，
由于，
∴，又，
∴
∴二面角的平面角的正切值为2
（3）过点作，且，连接，
所以四边形为平行四边形,
∵平面，∴异面直线与距离等于 到平面的距离为,
由于,
平面，所以,
故在三角形中，，，
故,
进而，
所以,
,
∵
∴,∴ ,

题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
C
A
D
C
C
C
ABD
AC
题号
11









答案
ACD