2025年中考考前押题最后一卷：数学（长沙卷）（解析版）

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（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．在这四个数中，最小的数是（ ）
A．B．C．0D．
【知识点】实数的大小比较
【分析】本题主要考查了实数的大小比较，掌握负数小于零、负数的绝对值越大、自身反而越小成为解题的关键．
直接比较各数的大小即可解答．
【详解】解：∵，
∴最小的是，D选项符合题意．
故选D．
2．至2025年3月2日，在全球热映的国产动画片《哪吒之魔童闹海》票房收入已经突破14400000000元，创造了国产电影的票房最高记录，14400000000用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数
【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值大于1的数，将14400000000写成的形式即可，其中，n的值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：，
故选C．
3．在下列四个图案中，不是轴对称图案的是（ ）
A．B．C．D．
【知识点】轴对称图形的识别
【分析】根据轴对称图形的概念求解．此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
【详解】解：A、该图形是轴对称图形，故不合题意；
B、该图形不是轴对称图形，故合题意；
C、该图形是轴对称图形，故不合题意；
D、该图形是轴对称图形，故不合题意；
故选：B．
4．若有意义，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．且D．
【知识点】分式有意义的条件
【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件为分母不等于零成为解题的关键．
根据分式有意义的条件列不等式求解即可．
【详解】解：∵有意义，
∴，解得：，即B选项符合题意．
故选B．
5．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．两直线平行，同旁内角相等B．面积相等的三角形全等
C．如果，那么D．三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角
【知识点】判断命题真假、两直线平行同旁内角互补、三角形的外角的定义及性质、全等三角形的性质
【分析】本题考查了命题与真理，平行线的性质，全等三角形的判定等知识，根据平行线的性质可判断A，根据全等三角形的性质可判断B，根据乘法法则可判断C，根据三角形外角定理可判断D，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：A、两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题，故选项不符合题意；
B、面积相等的三角形不一定全等，原命题是假命题，故选项不符合题意；
C、若，则，原命题是假命题，故选项不符合题意；
D、三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角，原命题是真命题，故选项符合题意；
故选：D．
6．如图，等腰直角的直角顶点与坐标原点重合，分别过点作轴的垂线，垂足为，点A的坐标为，则线段的长为（ ）
A．4B．6C．3D．5
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、求点到坐标轴的距离、等腰三角形的定义
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，证得是解题的关键．
根据点A的坐标为可得，再证明，再根据全等三角形的性质、，最后根据线段的和差即可解答．
【详解】解：∵点A的坐标为，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴．
故选：B．
7．用圆心角为，半径为6的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的底面半径为（ ）
A．B．C．D．3
【知识点】求圆锥底面半径
【分析】本题主要考查的是圆锥的性质，掌握圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长是解题关键．
利用扇形求出对应弧长，即可求出所围成的圆锥的底面半径．
【详解】解：由题意可知，扇形的弧长为：，
∴底面周长为：，
解得：，
即：底面半径等于，
故选：C．
8．已知是一次函数图象上的两点，则m 和n 的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【知识点】根据一次函数增减性求参数
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据一次函数的增减性即可判断，掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴一次函数中y随x的增大而减小，
∵，
∴，
故选：D．
9．为建设“书香校园”，某班开展了捐书活动，学生捐书情况统计如下表：
对于不同的x，下列关于捐书数量的统计量中不会发生改变的是（ ）
平均数，中位数B．众数，中位数C．平均数，方差D．中位数，方差
【知识点】求加权平均数、求中位数、求众数、求方差
【分析】本题考查了平均数、众数、中位数和方差，掌握平均数、众数、中位数和方差的定义是解题的关键．
根据平均数、众数、中位数和方差的定义解答即可判断求解；
【详解】解：由表可得，捐书人数为人，
∴数据按照由小到大的顺序排列，中位数为第20和第21个数的平均数，
，
∴不管取何值，中位数都为3，
，
，
∴对于不同的，众数都为3，
，
∴对于不同的，平均数也不同，
∵平均数会发生改变，
∴方差也会发生改变，
∴统计量中不会发生改变的是众数，中位数，
故选：B．
10．“五月五日午，赠我一枝艾”．端午节，起源于中国，最初是上古先民以龙舟竞渡形式祭祀龙祖的节日．因传说战国时期的楚国诗人屈原在端午节抱石跳汨罗江自尽，后来人们亦将端午节作为纪念屈原的节日．某超市在端午节当天举办购物满68元即可参加抽奖的活动，每人可以从抽奖箱中的三个除编号外完全相同的球（编号为1，2，3）中抽取一个球（抽取后放回），每个球对应一种馅的粽子，三种馅分别是豆沙、蛋黄和腊肉．小明和小华购物都满68元，一起去参加抽奖活动，他们恰好得到不同馅的粽子的概率是（ ）
A．B．C．D．
【知识点】列表法或树状图法求概率
【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
列树状图可得出所有等可能的结果数以及恰好得到不同馅的粽子的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：列树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中两人恰好得到不同馅的粽子的结果有6种，
∴两人恰好得到不同馅的粽子的概率是．
故选：D．
第Ⅱ卷
填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
分解因式的结果是 ．
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式因式分解即可．
【详解】解：原式
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法和公式法进行因式分解是解题的关键．
不等式组的解集是 ．
【知识点】求不等式组的解集
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【详解】解：
解不等式，得：，
解不等式，得：，
不等式组的解集是，
故答案为：．
已知、是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系计算．
【详解】解：由题意可得：，
∴=，
故答案为：．
【点睛】此题考查一元二次方程的根与系数的关系，熟记根与系数的关系是解题的关键．
14．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC的平分线AD交BC于点D，E为AB的中点，若BC=12，AD=8，则DE的长为 ．
【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半
【分析】利用勾股定理求出AB，再利用直角三角形斜边中线的性质求解即可．
【详解】解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，BD=CD=6，
∴∠ADB=90°，
∴AB=，
∵E为AB的中点，
∴DE=AB=5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
15．中国北宋数学家贾宪提出一个定理“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的 直线，则所容两长方形面积相等（如图①中）”．问题解决：如图②，点 M是矩形的对角线上一点，过点M 作分别交于点．连接，若， 则 ．
【知识点】根据矩形的性质与判定求面积
【分析】过点作，交于点，得到四边形、是矩形，根据题意，即可求解．
本题考查了矩形的性质，三角形的面积等知识，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：过点作，交于点，如图：
∵四边形是矩形，，，
∴四边形、是矩形，
∴，
∵点 M是矩形的对角线上一点，，，
∴，
∴，即，
∴，
故答案为：．
16．如图，A、B是函数的图象上关于原点对称的任意两点，轴，轴，的面积记为S，则 ．
【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积
【分析】如图，连接，设与x轴交于点D，与y轴交于点E．由已知条件可得轴，，则，进而说明，最后根据计算即可．
【详解】解：如图，连接，设与x轴交于点D，与y轴交于点E．
∵A、B两点关于原点对称，轴，轴，
∴轴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：4．
三、解答题（本大题共9个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：
【知识点】实数的混合运算、特殊三角形的三角函数
【分析】先计算出乘方、立方根、特殊角的三角函数值及绝对值，再按运算顺序计算即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查了实数的运算，掌握各运算法则、特殊角的三角函数值及运算顺序是解题的关键．
（6分）先化简，再从，，，中选取一个适合的数代入求值．
【知识点】分式化简求值、分式有意义的条件
【分析】本题考查的是分式的化简求值，先计算括号内分式的加减运算，再计算分式的除法运算，再结合分式有意义的条件代入计算即可.
【详解】解：
且
∴当时，原式；
当时，原式.
19．（6分）如图，某风景区内有一瀑布，AB表示瀑布的垂直高度，在与瀑布底端同一水平位置的点D处测得瀑布顶端A的仰角β为45°，沿坡度i＝1：3的斜坡向上走100米，到达观景台C，在C处测得瀑布顶端A的仰角α为37°，若点B、D、E在同一水平线上．（参考数据：sin37°≈0.6，cs37°≈0.8，tan37°≈0.75，≈1.41，≈3.16）
（1）观景台的高度CE为 米（结果保留准确值）；
（2）求瀑布的落差AB（结果保留整数）．
【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、坡度坡比问题(解直角三角形的应用）
【分析】（1）通过解直角△CDE得到：CE＝CD•sin37°．
（2）作CF⊥AB于F，构造矩形CEBF．由矩形的性质和解直角△ADB得到DE的长度，最后通过解直角△ACF求得答案．
【详解】（1）∵tan∠CDE＝
∴CD＝3CE．
又CD＝100米，
∴100＝
∴CE＝10 ．
故答案是：10．
（2）作CF⊥AB于F，则四边形CEBF是矩形．
∴CE＝BF＝10，CF＝BE．
在直角△ADB中，∠DB＝45°．设AB＝BD＝x米．
∵＝ ，
∴DE＝30．
在直角△ACF中，∠ACF＝37°，tan∠ACF
解得x≈411．
答：瀑布的落差约为411米．
【点睛】本题考查解直角三角形、仰角、坡度等概念，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形，记住坡度的定义，属于中考常考题型．
20．（8分）“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的杰出人才．已知，，，，五所大学设有数学学科拔尖学生培养基地，并开设了暑期夏令营活动，参加活动的每名中学生只能选择其中一所大学．某市为了解中学生的参与情况，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．

(1)请将条形统计图补充完整；
(2)在扇形统计图中，所在的扇形的圆心角的度数为_________；若该市有中学生参加本次活动，则选择大学的大约有_________人；
(3)甲、乙两位同学计划从，，三所大学中任选一所学校参加夏令营活动，请利用树状图或表格求两人恰好选取同一所大学的概率．
【知识点】条形统计图和扇形统计图信息关联、列表法或树状图法求概率、由样本所占百分比估计总体的数量、求扇形统计图的圆心角
【分析】（1）根据的人数除以占比得到总人数，进而求得的人数，补全统计图即可求解；
（2）根据的占比乘以得到圆心角的度数，根据乘以选择的人数的占比即可求解；
（3）根据列表法求概率即可求解．
【详解】（1）解：总人数为（人）
∴选择大学的人数为，补全统计图如图所示，

（2）在扇形统计图中，所在的扇形的圆心角的度数为，
选择A大学的大约有（人）
故答案为：；．
（3）列表如下，
共有9种等可能结果，其中有3种符合题意，
∴甲、乙两人恰好选取同一所大学的概率为．
【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，列表法求概率，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
21．（8分）如图，在△中，是边上的高，是边上的中线，于，．
(1)求证：；
(2)已知，，求△的周长．
【知识点】根据三线合一证明、斜边的中线等于斜边的一半、用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题
【分析】（1）连接DE，根据直角三角形斜边中线的性质得到DE=AE，推出DE=CD，根据等腰三角形三线合一的性质得到结论；
（2）根据（1）得BE=DE=5，AB=2DE=10，求出AD=6，过点E作EG⊥BC于点G，根据三角形中位线性质得到EG∥AD，EG=AD=3，BG=DG=4，勾股定理求出CE，即可得到△的周长．
【详解】（1）证明：连接DE，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ADB中，AE=EB，
∴DE=AB=AE，
∵CD=AE，
∴DE=DC，
∵DF⊥CE，
∴CF=EF；
（2）∵，，
∴BD=8，DE=CD=5，
∴BE=DE=5，AB=2DE=10，
∴AD=6，
过点E作EG⊥BC于点G，
∵AD⊥BC，E为AB的中点，
∴EG∥AD，EG=AD=3，BG=DG=4，
∴CE=，
∴△的周长=BC+BE+CE=13+5+=．
【点睛】此题是三角形的综合题，考查了直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形三线合一的性质，三角形中位线的性质，勾股定理，熟练掌握三角形的知识是解题的关键．
22．（9分）今年史上最长的寒假结束后，学生复学，某学校为了增强学生体质，鼓励学生在不聚集的情况下加强体育锻炼，决定让各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买根跳绳和个毽子共需元；购买根跳绳和个毽子共需元．
（1）求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元；
（2）某班需要购买跳绳和毽子的总数量是，且购买的总费用不能超过元；若要求购买跳绳的数量多于根，通过计算说明共有哪几种购买跳绳的方案．
【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题
【分析】（1）设购买一根跳绳需要x元，一个毽子需要y元，依题意列出二元一次方程组解之即可；
（2）设学校购进跳绳m根，则购进毽子（54-m）根，根据题意列出不等式并求得m的范围，进而可判断购买方案．
【详解】（1）设购买一根跳绳需要x元，一个毽子需要y元，
依题意，得：，
解得：，
答：购买一根跳绳需要6元，一个毽子需要4元；
（2）设学校购进跳绳m根，则购进毽子（54-m）根，
根据题意，得：，
解得：m≤22，
又m﹥20，且m为整数，
∴m=21或22，
∴共有两种购买跳绳的方案，方案一：购买跳绳21根；方案二：购买跳绳22根．
【点睛】本题考查二元一次方程组以及一元一次不等式的应用，根据题意正确列出方程式及不等式是解答的关键．
23．（9分）如图，直角坐标系中，A（2，0），点在第一象限且为正三角形，的外接圆交y轴的正半轴于点，过点作圆的切线交x轴于点．
(1)求、两点的坐标；
(2)求直线的函数解析式；
(3)设E、F分别是线段AB、AD上的两个动点，且EF平分四边形ABCD的周长，试求当△AEF的面积取最大值时AE的长．
【知识点】图形问题(实际问题与二次函数)、等边三角形的性质、求一次函数解析式、切线的性质定理
【分析】(1)连接AC，作BG⊥OA于G，如图，根据等边三角形的性质得OA=AB=OB=2，∠ABO=60°，∠OBH=30°，根据含30°的直角三角形求出OH，BH，然后在Rt△OAC中求出OC的长，即可写出B、C坐标；
（2）由∠AOC=90°，得出AC是圆的直径，再根据CD是圆的切线，得CD⊥AC，由∠OCD=30°，计算出得到D点坐标为（，0），然后用待定系数法求CD的函数解析式；
（3）先求出AB、OA、OD、CD、BC、OC的长，得出四边形ABCD的周长，设AE=t，△AEF的面积为S，得出S的二次函数，根据点E、F分别在线段AB、AD上，求出t的取值范围，再利用二次函数的最值求取S的最大值时AE的长．
【详解】（1）解：∵A（2，0），
∴OA=2．
连接AC，作BG⊥OA于G，
∵△OAB为正三角形，
∴OG=1，，
∴B（1，），
∵∠AOC=90°，∠ACO=∠ABO=60°，
∴，
∴C（0，）；
（2）∵∠AOC=90°，
∴AC是圆的直径，
又∵CD是圆的切线，
∴CD⊥AC，
∴，，
∴D（，0），
设直线CD的函数解析式为y=kx+b（k≠0），
则，解得 ，
∴直线CD的解析式为；
（3）∵AB=OA=2，，，，
∴四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+DA=．
设AE=t，△AEF的面积为S，过点E作于点H，
则，，
，
∵，
又∵点E、F分别在线段AB、AD上，
∴ ，
∴，
∴当时，，
即当时，△AEF的面积取最大值．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、切线的性质定理、待定系数法求一次函数解析式以及二次函数的应用等知识，综合性强，解题关键是熟练掌握相关性质，并用数形结合的思想分析问题．
24．（10分）如图，AB是圆O的直径，点D为圆O上一点，连接AD并延长至点C，使，过点D 作AB的垂线，交圆O于点E，点F为劣弧AE上一点，连接EF并延长交BA的延长线于点P，连接DF与AB交于点G．
(1)求证：BC是圆O的切线；
(2)记的面积分别为，若，求的值；
(3)若圆O的半径为1，设，试求y关于x的函数解析式．
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、证明某直线是圆的切线、利用垂径定理求值
【分析】（1）记由是的直径，得到再进一步得到即可得出结论；
（2）由得到进而得到设根据勾股定理进一步证明即可得出结论；
（3）连接，证明，得到，进一步证明，得到，，设，则，由，求出即可得出结论．
【详解】（1）证明：如图，记
∵是的直径，
∵由题意得：
又∵是的直径，
∴是 的切线；
（2）解：由（1）得
∴在中，
即
设
在中，
∵为的直径，
∵由题意得
；
（3）解：如图，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，且为的直径，
∴，
∵，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，切线的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角形等知识，掌握相关知识是解题的关键．
25．（10分）已知二次函数的图象经过点A（2，0），B（，0），C（0，4），点为二次函数第二象限内抛物线上一动点，轴于点，交直线于点，以为直径的圆⊙M与交于点．
（1）求这个二次函数的关系式；
（2）当三角形周长最大时．求此时点点坐标及三角形的周长；
（3）在（2）的条件下，点N为⊙M上一动点，连接BN，点Q为BN的中点，连接HQ，求H
【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、相似三角形的判定与性质综合
【分析】（1）根据A、B点的坐标可设交点式，然后代入C点坐标求解即可；
（2）由题意可直接判断出△FDE∽△BCO，从而可知，然后通过设点表示出FD的长度，从而列出关于△FDE周长的二次函数解析式，利用二次函数的性质进行求解判断求解即可；
（3）连接ON，根据（2）的条件可确定出HQ为△BON的中位线，由此可先确定ON的取值范围，从而确定HQ的取值范围即可．
【详解】（1）∵抛物线与x轴交于A（2，0），B（，0）两点，
∴设抛物线的解析式为：，
由抛物线经过C（0，4），
∴将C（0，4）代入，解得：，
∴抛物线的解析式为：，
即：；
（2）∵轴，
∴FH∥y轴，∠FDE=∠BCO，
∴△FDE∽△BCO，则，
根据B（，0），C（0，4），可得直线BC的解析式为：，
设，则，
∴，
在△BCO中，OB=OC=4，，
∴，
∴，
整理得：，
∵，
∴当时，取得最大值，最大值为，
将代入抛物线解析式可得：，
∴点F的坐标为F（，4），△EFD的周长为；
（3）由（2）可知，F（，4），D（-2，2），
∴H（-2,0），BH=OH，即H为BO的中点，
∵FD为⊙M的直径，
∴M（-2，3），
∵Q为BN的中点，
∴如图所示，连接ON，则HQ为△BON的中位线，
∴，即求出ON的取值范围即可，
①∵点N在⊙M运动，
∴当O、M、N三点共线的时候，ON最长，如图所示，
此时，ON=OM+MN，
∵，MN=MD=1，
∴ON=；
②当O、N、M三点共线时，ON最短，如图所示，
此时，ON=OM-MN，即：，
∴可得ON的取值范围是：，
∴由，得HQ的取值范围是：．
【点睛】本题考查二次函数的综合问题，相似三角形的判定与性质，灵活求解函数解析式，熟练掌握函数法求几何图形面积或周长的最值问题，以及数形结合的思想进行转化是解题关键。捐书数量（本
1
2
3
4
5
人数（人）
16
6
3
甲乙