2025年中考考前押题最后一卷：数学（深圳卷）（解析版）

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第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．三星堆遗址被称为20世纪人类最伟大的考古发现之一，下列四个图案是三星堆遗址出土文物图，其中是中心对称图形的是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的定义逐一判断，即可得到答案．
【详解】解：A、不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，不是中心对称图形，不符合题意，选项错误；
B、能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，是中心对称图形，符合题意，选项正确；
C、不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，不是中心对称图形，不符合题意，选项错误；
D、不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，不是中心对称图形，不符合题意，选项错误；
故选：B．
2．截至2025年2月，DeepSeek的日活跃用户数增长至万，突破万大关．这一数字约为ChatGPT日活跃用户数的，并成功超越了豆包的万．“万”用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了科学记数法的表示方法，即的形式，，为整数，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题关键．
先将万变形为，再根据科学记数法表示为的形式即可求解．
【详解】解：万，
万用科学记数法表示为．
故选：A．
3．下列整式的计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据同底数幂的除法，积的乘方，合并同类项、完全平方公式，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. 不能合并，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项正确，符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
4．如图，数轴上的点A、、、、分别表示数、、0、1、2，那么表示数的点应落在（ ）

A．线段上B．线段上C．线段上D．线段上
【答案】B
【分析】本题主要考查实数与数轴、无理数的估算等知识点，掌握无理数的估算方法成为解题的关键．
先估算出无理数的范围，再进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，即表示数的点应落在上．
故选B．
5.如图， 四边形内接于，连接． 若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质、圆心角与圆周角的关系，解题的关键熟知相关性质．
根据圆内接四边形对角互补可求得，然后再根据同弧上的圆心角等于圆周角的2倍即可得到结论．
【详解】∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∵与所对的弧都是，
∴．
故选：D．
6．．几个同学包租一辆面包车去旅游，面包车的租价为180元，后来又增加了两名同学，租车价不变，结果每个同学比原来少分摊了3元车费．若设原计划参加旅游的同学共有人，则根据题可列方程（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据等量关系：原来人均单价－实际人均单价＝3，把相关数值代入即可得到答案．
【详解】解：根据题意可得：
原来人均单价为，实际人均单价为，
那么所列方程为，
故选：A．
【点睛】本题考查列分式方程，得到人均单价的关系式是解决本题的关键．
7．凸透镜成像的原理如图所示，．若焦点 到物体 的距离与到凸透镜的中心 的距离之比为 ，若物体 ，则其像 的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，连接，先证出四边形为矩形，得到，再根据，求出，代入数据计算即可．
【详解】解：连接，如图，
∵
∴四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵物体到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线的距离之比为，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
8．如图，在菱形中，，，点、分别是边、上的动点，且，则的最小值是 ．
A.2 B. C.1 D.3
【答案】B
【分析】连接，过点作于点，证明和都是等边三角形，再由勾股定理求得，再得出的最小值为，然后证明，进而推出是等边三角形，即可得解．
【详解】解：如图，连接，过点作于点，
四边形是菱形，，，
，，
和都是等边三角形，
，，
，
，
在中，，
，
的最小值为，
在和中，
，
，
，，
，
是等边三角形，
，
的最小值为，
故答案为B．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
9．分解因式： ．
【答案】
【分析】本题考查提公因式法分解因式及平方差公式法分解因式．先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可得出答案．
【详解】解：，
故答案为：．
10．如图，有一张平整的银杏叶平铺在的地面上，小惠同学为了了解该银杏叶的面积，进行了以下试验操作：先用一个边长为的正方形，将银杏叶围在其中；然后在正方形区域内随机投掷小针，记录小针投中银杏叶的次数（小针投在正方形区域外或投在边界上，则不计试验结果，重新投掷），随着试验次数增加，发现小针投中银杏叶的频率稳定在左右，根据以上试验结果，估计该银杏叶的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了用频率来估计概率，解一元一次方程，先计算正方形的面积，再建立方程求解即可，解题关键是理解频率与概率的关系与概率计算公式，明确题中银杏叶的面积与正方形的面积比等于概率是解题的关键．
【详解】解：正方形面积为：，
设该银杏叶的面积为，依题意得：
，
解得：，
∴估计该银杏叶的面积为，
故答案为：．
11．如图是小颖同学做仰卧起坐运动某一瞬间的动作及其示意图，，，则的度数为 ．

【答案】
【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
12．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在y轴和x轴上，已知对角线，．F是边上一点，过点F的反比例函数（）的图象与边交于点E，若将沿翻折后，点C恰好落在上的点M处，则k的值为 ．

【答案】
【分析】本题考查矩形性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，已知正切值求边长及反比例函数图象上点的坐标特征．
作交OB于点G，利用．求出，，表示出，，，利用相似的性质求出，再利用勾股定理即可求出k的值．
【详解】解：作交于点G，

∵矩形的对角线．．
∴，，即，
∵E，F分别在，上，且在反比例函数上，
∴，，
∵将沿翻折后，点恰好落在上的点处，
∴，，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，解得：，
又∵，
即，解得：．
故答案为：．
13．如图，在中，，，，是的中点，点在上，分别连接、交于点．若，则 ．
【答案】/
【分析】本题考查了矩形和平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，综合性较强，构造全等三角形，一线三直角模型是解题关键．以、为邻边作矩形，过点作交于点，过点作交的延长线于点，再过点作的平行线交、的延长线于点、，则四边形是矩形，结合矩形的性质，证明四边形是平行四边形，是等腰直角三角形，从而推出，求出，，再证明，即可求出的长．
【详解】解：如图，以、为邻边作矩形，过点作交于点，过点作交的延长线于点，再过点作的平行线交、的延长线于点、，则四边形是矩形，
，，，，，
是的中点，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
三、解答题（本大题共7个小题，共61分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
14．计算：．
【答案】
【分析】本题考查了实数的运算，根据零指数幂的意义，绝对值的意义，特殊角的三角函数值，二次根式的运算法则等计算即可．
【详解】解：原式
．
15．先化简： 再从中选合适的数求值．
【答案】，2
【分析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算顺序和运算法则．先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x的值代入计算可得．
【详解】解：
，
∵且，
且，
∴，
当时，原式
16．某校在课后服务中，成立了以下社团：A．计算机，B．围棋，C．篮球，D．书法每人只能加入一个社团，为了㸷学生参加社团的情况，从参加社团的学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，其中图1中D所占扇形的圆心角为．请结合图中所给信息解答下列问题：

(1)这次被调查的学生共有______人；
(2)请你将条形统计图补充完整；
(3)若该校共有1800学生加入了社团，请你估计这1800名学生中有多少人参加了篮球社团；
(4)在书法社团活动中，由于甲、乙、丙、丁四人平时的表现优秀，恰好四位同学中有两名是男同学，两名是女同学．现决定从这四人中任选两名参加全市书法大赛，用画树状图求恰好选中一男一女的概率．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)这名学生中有人参加了篮球社团
(4)
【分析】（1）由D所占扇形的圆心角为，根据，计算可求这次被调查的学生；
（2）根据C组人数为：，计算求解，然后补图即可；
（3）根据，计算求解即可；
（4）根据题意，画树状图，然后求概率即可．
【详解】（1）解：∵D所占扇形的圆心角为，
∴这次被调查的学生共有：（人）；
故答案为：；
（2）解：由题意知，C组人数为：（人），
补充条形统计图如下：

（3）解：（人），
答：这名学生中有人参加了篮球社团，
（4）解：设甲乙为男同学，丙丁为女同学，画树状图如下：

∴一共有种可能的情况，恰好选择一男一女有种，
∴．
【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图，用样本估计总体，列举法求概率．从统计图中获取正确的信息，正确的画树状图是解题的关键．
17．根据以下素材，完成任务．
【答案】任务1：该商店在无促销活动时，A种娃娃销售单价为30元，B种娃娃销售单价为25元；任务2：；；任务3：购买A种娃娃数量大于10个且小于18个时，线下凭会员卡购买方式更合算．
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，列代数式，正确理解题意列出方程，不等式和代数式是解题的关键．
任务1：设A种娃娃销售单价为元，B种娃娃销售单价为元，根据买5个种娃娃、4个种娃娃，共需250元；买3个种娃娃、3个种娃娃，共需165元建立方程组求解即可；
任务2：根据所给折扣标准列式求解即可；
任务3：根据（2）所求令线下凭会员卡购买的费用小于在线购买的费用，据此建立不等式求解即可．
【详解】解：任务1：设A种娃娃销售单价为元，B种娃娃销售单价为元，
根据题意得，
解得，
答：该商店在无促销活动时，A种娃娃销售单价为30元，B种娃娃销售单价为25元；
任务2：由题意得，若在线下凭会员卡购买，共需要元；
若在线上淘宝店购买，共需要元；
任务3：由题意得，，
∴，
∴当，即购买A种娃娃数量大于10个且小于18个时，线下凭会员卡购买方式更合算．
18．如图，是的直径，点在上，，点在线段的延长线上，且．

(1)求证：EF与相切；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)．
【分析】（1）利用圆周角定理得到，结合已知推出，再证明，推出，即可证明结论成立；
（2）设半径为x，则，在中，利用正弦函数求得半径的长，再在中，解直角三角形即可求解．
【详解】（1）证明：连接，

∵，∴，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为半径，
∴EF与相切；
（2）解：设半径为x，则，
∵，，
∴，
在中，，，
∴，即，
解得，
经检验，是所列方程的解，
∴半径为4，则，
在中，，，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了圆的切线的判定、圆周角定理、解直角三角形以及相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握圆的相关知识和相似三角形的判定和性质是解题的关键．
19．【问题提出】在数学兴趣小组的研讨中，小蒙提出了自己遇到的问题：解不等式
【问题探究】数学老师启发小蒙从函数的角度解决这个问题：
如图1，在平面直角坐标系中，分别画出函数．和函数 的图象，从函数角度看，解不等式 相当于求抛物线．在双曲线 下方的点的横坐标的取值范围．
（1）观察图1，可知两个图象的交点坐标为______ ，所以 的解为______．
【类比探究】受此启发，小蒙尝试解不等式 经过分析，小蒙发现需要借助函数 和函数 的图象来求解．
（2）请先完成上面的填空，再在图2中画出相应的函数图象，写出不等式 的解集并说明理由．
【拓展应用】小蒙想借助函数图象进一步研究不等式，于是尝试解不等式组 并进行了一些准备，如图3所示．
（3）请根据小蒙的思路分析，直接写出该不等式组的解集．
【答案】（1）；，[类比探究]；（2）画图见解析，或，理由见解析；（3）
【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，二次函数与不等式，数形结合的思想方法，本题是阅读型题目，理解题干中的解题的思想方法并熟练运用是解题的关键．
（1）观察图象解答即可；
（2）画出函数的图象，观察图象解答即可；
（3）观察图象解答即可．
【详解】解：[问题探究]
（1）观察图1，可知两个图象的交点坐标为，所以的解为．
故答案为：，0＜x＜1；
[类比探究]
受此启发，小蒙尝试解不等式，经过分析，小蒙发现需要借助函数和函数的图象来求解．
故答案为：；
（2）如图所示，
该不等式组的解集是或；
从函数角度看，解不等式 相当于求双曲线，
在直线 上方的点的横坐标的取值范围．
由图象可知， 与的交点分别为和，因此解集为或；
（3）在图3中画出的图象，
由图象可知，该不等式组的解集是．
20．如图：
(1)问题发现：
如图①，点A为平面内一动点，且BC＝a，AB＝c（a＞c），则AC的最小值为 ，AC的最大值为 ；
(2)轻松尝试：
如图2，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝12，E为AB边的中点，F是BC边上的动点，将△EFB沿EF所在直线折叠得到△EFB'，连接B'D，则B'D的最小值为 ．
(3)方法运用：
在四边形ABCD中，BC＝4，点D是BC上方的动点，且CD＝2，∠ABD＝90°，＝m．
①如图3，当m＝1时，求线段AC的最大值．
②如图4，当m≠1时，用含m式子表示线段AC的最大值．
【答案】(1)a－c，a＋c；
(2)8
(3)①，②
【分析】（1）根据当点A在线段BC上时，AC有最小值，点A在CB的延长线上时，AC有最大值可得答案；
（2）由题意得出点B'的运动轨迹是以点E为圆心，5为半径的圆弧，当点E、B'、D共线时，B'D取最小值，求出ED可得答案；
（3）①如图3，以BC为直角边作等腰直角△BCM，证明△ABC≌△DBM，可得当DM取最大值时，AC最大，而D、C、M共线时，DM最大，求出DM的最大值即可；
②如图4，作BN⊥BC，且BN＝4m，证明△ABC∽△DBN，可得当DN取最大值时，AC最大，即当D、C、N共线时，DN最大，求出DN的最大值然后计算AC即可．
【详解】（1）解：∵点A为平面内一动点，BC＝a，AB＝c（a＞c），
∴当点A在线段BC上时，AC有最小值a－c，
当点A在CB的延长线上时，AC有最大值a＋c，
故答案为：a－c，a＋c；
（2）∵E为AB边的中点，将△EFB沿EF所在直线折叠得到△EFB'，
∴EB＝EB'＝AB＝5，点B'的运动轨迹是以点E为圆心，5为半径的圆弧，
∴当点E、B'、D共线时，B'D取最小值，
∵ ，
∴B'D最小＝ED－EB'＝13－5＝8，
故答案为：8；
（3）①如图3，以BC为直角边作等腰直角△BCM，则BC＝BM，
∵∠ABD＝∠CBM＝90°，＝m＝1，
∴∠ABC＝∠DBM，AB＝BD，
∴△ABC≌△DBM（SAS），
∴AC＝DM，
∴当DM取最大值时，AC最大，
即当D、C、M共线时，DM最大，如图，D′M为最大值，
∵，，
∴，
∴当m＝1时，线段AC的最大值为；
②如图4，作BN⊥BC，且BN＝4m，即，
∵∠ABD＝∠CBN＝90°，＝m，
∴∠ABC＝∠DBN，，
∴△ABC∽△DBN，
∴，
∴，
∴当DN取最大值时，AC最大，
即当D、C、N共线时，DN最大，如图，D′N为最大值，
∵BC＝4，，
∴，，
∴，
∴AC最大．
【点睛】本题考查圆的综合应用，翻折变换、勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形、相似三角形来解决问题，综合性较强．
背景
我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房突破了100亿，商家推出、两种类型的哪吒纪念娃娃．
素材1
某商店在无促销活动时，若买5个种娃娃、4个种娃娃，共需250元；若买3个种娃娃、3个种娃娃，共需165元．
素材2
该商店线下促销活动：用50元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折出售（已知小明在此之前不是该商店的会员）；
该商店线上淘宝店促销活动：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售且包邮．
问题解决
任务1
该商店在无促销活动时，求种娃娃和种娃娃的销售单价各是多少元？
任务2
小明计划在促销期间购买、两种娃娃共18个，其中款盲盒个，若在线下凭会员卡购买，共需要________元；若在线上淘宝店购买，共需要________元．（均用含的代数式表示）
任务3
请你帮小明算一算，在任务2的条件下，购买种娃娃的数量在什么范围内时，线下凭会员卡购买方式更合算？