2025年中考考前押题最后一卷：数学（吉林省卷）（解析版）

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第Ⅰ卷
选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．2025的相反数是（ ）
A．B．C．D．2025
【答案】A
【分析】本题考查了求一个数的相反数，根据只有符号不同的两个数互为相反数进行作答即可．
【详解】解：2025的相反数是，
故选：A．
2．水是生命之源，是所有生物生存所依赖的重要资源，也是生物体最重要的组成部分．已知水分子的直径为0.00000000028米，则0.00000000028用科学记数法可以表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值．
【详解】解：0.00000000028用科学记数法可以表示为，
故选：D．
3．如图所示的几何体的俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【详解】解：如图所示的几何体的俯视图是：
故选：D．
4．下列计算结果为的是 （ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方，解题的关键是掌握相关知识．根据同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方的运算法则逐一判断即可．
【详解】解：A、，故该选项不合题意；
B、，故该选项符合题意；
C、，故该选项不合题意；
D、，故该选项不符合题意；
故选：B．
5．如图为一节楼梯的示意图，，，米．现要在楼梯上铺一块地毯，楼梯宽度为1米，则地毯的长度需要（ ）米．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查解直角三角形的应用，理解题意，得到地毯的长度为的长，利用正切定义求得即可求解．
【详解】解：在中，，米，
∴（米），
∴地毯的长度为米．
故选：B．
6．如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画圆弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，点E在边上，连接．则下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．D．的最小值是的长
【答案】C
【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，角平分线的性质，根据作图得到平分，根据作图方法，结合角平分线的定义和性质，垂线段最短，逐一进行判断即可．
【详解】解：由作图可知：，平分；故A选项正确；
∴；故B选项正确；
无法得到，故C选项错误；
∵平分，，
∴点到两边的距离相等，均为的长，
∵点E在边上，
∴当时，的长取最小值，为的长，故D选项正确；
故选C．
第Ⅱ卷
填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
7．计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的乘法运算：，根据二次根式的乘法运算法则计算即可．
【详解】解：，
故答案为：．
8．若a为方程的解，则的值为 ．
【答案】1
【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，熟练掌握一元二次方程的解与一元二次方程的关系是解题的关键．由题意得，将其变形与进行关联，即可求解．
【详解】解：∵a为方程的解，
∴，
∴，
∴．
故答案为：1．
9．物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像，设，，小孔到的距离为，则小孔到的距离为 ．
【答案】20
【分析】本题考查了相似三角形的应用．设小孔到的距离为，根据光学原理，得到，得到，继而得到，列式解答即可．
【详解】解：设小孔到的距离为，根据光学原理，得到，
∴，
∴，即，
解得．
故答案为：20．
10．如图，当阻力与阻力臂一定时，动力与动力臂成反比例．动力与动力臂的部分数据如表所示，则表中的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，根据反比例函数的定义可得，进而即可求解，掌握反比例函数的定义是解题的关键．
【详解】解：∵动力与动力臂成反比例，
∴，
即，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
11．如图1，在矩形中，， E是边上的一个动点， 连接， 过点E作交于点 F． 设，， 点E从点B运动到点C的过程中y关于x的函数图像如图2所示，则该函数图像的顶点 P 的纵坐标n的值为 ．
【答案】
【分析】先由矩形性质得到，，进而证的，证明得到，即，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】解：由图象知，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
整理得，
∴点P的坐标为，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查动点问题的函数图象，二次函数的图象，二次函数的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，证明是解答的关键．
三、解答题（本大题共11个小题，共87分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
12．（6分）先化简，再求值：，其中．
【答案】，16
【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键．
先根据平方差公式和完全平方公式化简计算，再进行加减计算，最后代入求值即可．
【详解】解：原式


当时，

．
13．（6分）甲、乙、丙、丁名同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选名同学打第一场比赛．若从名同学中随机选取名同学打第一场比赛，请用画树状图或列表法，求其中有乙同学的概率．
【答案】
【分析】画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出选取2名同学中有乙同学的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：画树状图为：
共有种等可能的结果数，其中选取名同学中有乙同学的结果数为，
所以有乙同学的概率．
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
14．（6分）某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为．某学生先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失），求该学生分别接温水和开水的时间．
【答案】接温水的时间为，接开水的时间为.
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设该学生接温水的时间为，接开水的时间为，根据“该学生先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失）”，可列出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设该学生接温水的时间为，接开水的时间为，
根据题意得：
，
解得：，
答：该学生接温水的时间为，接开水的时间为．
15．（7分）如图，在网格中，每个小正方形的边长都是1，每个顶点称为格点．线段的端点都在格点上．按下列要求作图，使所画图形的顶点均在格点上．
(1)如图1，画与关于点O的中心对称的图形；
(2)如图2，画一个以为边，且面积为12的平行四边形；
(3)如图3，画一个以为对角线，且面积为9的平行四边形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题主要考查了作图−应用与设计作图，平行四边形的判定与性质，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
（1）根据中心对称图形的作法直接作图即可；
（2）以为边，作底边为4的平行四边形即可；
（3）以为边，作底边为3的平行四边形即可．
【详解】（1）解：如图所示：即为所求；
（2）如图所示：四边形即为所求；
∴；
（3）如图所示：四边形即为所求；
∴．
16．（7分）如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，此时测得点A到所在直线的距离，，停止位置示意图如图3，此时测得（点C，A，D在同一直线上，且直线与地面平行），图3中所有点在同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．
(1)________m，_______m（结果保留根号）；
(2)求物体上升的高度（结果精确到）．（参考数据：，，，）
【答案】(1)
(2)物体上升的高度为
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）在中，，，分别代入数值进行计算，即可作答．
（2）由（1）得，解求得，根据即可求解．
【详解】（1）解：在中，，
∵，，
∴，
在中，，
∴，
故答案为：；
（2）解：由（1）得，
在中，
，
答：物体上升的高度为．
17．（7分）如图，已知是的外接圆，是的直径，是延长线上的一点，交的延长线于，于，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)3
【分析】本题考查了切线的判定与性质，角平分线的判定与性质，30度所对的直角边是斜边的一半，等边对等角，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据角平分线的判定得，结合等边对等角得，得．故．得，即可作答．
（2）因为，所以，得，得，在中，，得．
【详解】（1）证明：如图，连接．
∵，，，
∴．
∵，
∴，
∴．
∴．
∴．
∵是圆的半径，
∴是的切线．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴ ，
∴，
∴，
在中，，
∴．
18．（8分）4月23日是世界读书日，习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读．该校文学社为了解学生课外阅读情况，抽样调查了部分学生每周用于课外阅读的时间，过程如下：
数据收集：从全校随机抽取20名学生，对他们每周用于课外阅读的时间进行调查，数据如下（单位：min）
整理数据：按如下分段整理样本数据并补全表格：
分析数据：补全下列表格中的统计量：
得出结论：
(1)表格中的数据：______，______，______．
(2)用样本中的统计量估计该校学生每周用于课外阅读时间的等级为_______．
(3)如果该校现有学生600人，估计等级为“”的学生有_______人．
(4)假设平均阅读一本课外书的时间为，请你用样本平均数估计该校学生每人每年（按52周计算）平均阅读多少本课外书．
【答案】(1)5，8，80.5
(2)
(3)240
(4)每人每年平均阅读13本课外书
【分析】本题主要考查用样本估计总体，求中位数，数据的统计和分析的知识，准确把握平均数、中位数和理解样本和总体的关系是解题的关键．
（1）根据给出的数据直接得出a和b的值，再根据中位数的定义即可求出结果；
（2）根据表格找到人数最多的对应的等级即可；
（3）用总人数乘以等级为“B”的学生所占的百分比即可；
（4）用总周数乘以所占的百分比即可得出答案．
【详解】（1）解：由已知数据知；
∵第10、11个数据分别为80、81，
∴中位数 (min)，
故答案为∶5，8，80.5；
（2）解：∵用样本中的统计量看该校学生每周用于课外阅读时间最多的人数在B等级中，
∴用样本中的统计量估计该校学生每周用于课外阅读时间的等级为B．
故答案为：B．
（3）解：估计等级为“B”的学生有：
(人)，
故答案为：240；
（4）解：估计该校学生每人一年(按52周计算)平均阅读课外书为：
(本)；
答：该校学生每人一年(按52周计算)平均阅读课外书为13本．
19．（8分）区间测速是指在高速公路某一路段的起点与终点设置监控点，根据车辆通过两监控点的时间，计算车辆在该路段上的平均速度，若平均速度超过该路段限速，则判定为超速．
某地有一段区间测速路段，长为50千米，限速为120千米/小时．甲车以105千米/小时的速度从起点驶入该区间测速路段，匀速行驶；乙车比甲车晚小时，同方向从起点驶入该区间测速路段，以135千米/小时匀速行驶了小时后，降低车速，以千米/小时匀速行驶完剩余路段（减速时间忽略不计），当甲车行驶了小时时，行驶路程为千米，此时乙车在甲车前方4千米处．已知在此区间测速路段，两车行驶的路程（千米）与甲车在此路段行驶的时间（小时）之间的函数图象如图所示．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)通过计算判断乙车在该区间测速路段是否超速．
【答案】(1)42
(2)100
(3)乙车在该区间测速路段超速了
【分析】（1）由题意可得：甲车的平均速度为105千米/小时,行驶的时间为小时,据此可求出行驶的路程m；
（2）先利用待定系数法可求得直线的解析式为，进而可求得C点的坐标为，由（1）得，由此可得直线经过，再利用待定系数法求得直线的解析式为，由此可得；
（3）由可得时，，进而可得乙车在该路段上的总用时间，再求出乙车的平均速度，然后与120作比较即可得解．
【详解】（1）解：（1）由题意可得，当时，．
（2）解：设直线的解析式为：，
由题意可得，它经过点，代入可得，
∴所以直线的解析式为：，
∴点横坐标，
当时，，
∴点的坐标为．
由（1）可得，，
∴直线经过点．
设直线的解析式为：，
则解得，
∴，
∴．
（3）解：当时，，
解得，
∴乙车在该路段上的总用时为（小时），
乙车的平均速度为：，
∴乙车在该区间测速路段超速了．
【点睛】本题考查了一次函数的应用、一次函数的图象、求函数解析式等知识点，掌握待定系数法求函数关系式是解题的关键．
20．（10分）综合探究
【课本再现】如图①，四边形是正方形，是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点．求证：．
证明：取边的中点，连接．
四边形是正方形，，．
是边的中点，是边的中点，
，，．
______°______°．
是正方形外角的平分线，．
______°．
，．
又，．
又，，
（______）（填判定方法）．
．
（1）请将上述证明过程中缺少的内容填在对应的横线上．
【问题解决】（2）如图②，四边形是正方形，是边上任意一点（不与点，重合），，且交正方形外角的平分线于点，则与是否仍然相等？请说明理由．
【拓展探究】（3）如图③，四边形是正方形，是射线上任意一点（不与点，重合），，且交正方形外角的平分线于点．若，，求的长．
【答案】（1）45 ，135 ，135 ，；（2）与仍然相等，理由见解析；（3）的长为5或
【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判断及性质、勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．
（1）取边的中点，连接．根据正方形的性质结合证明，再根据全等三角形的性质即可得证；
（2）在边上截取，连接，根据正方形的性质结合证明，再根据全等三角形的性质即可得证；
（3）分当点E在边上时，当点E在的延长线上时，两种情况，利用正方形的性质及勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：取边的中点，连接．
四边形是正方形，
，．
是边的中点，是边的中点，
，，
．
．
是正方形外角的平分线，
．
．
，
．
又，
．
又，，
．
．
故答案为：45，135，135，；
（2）与仍然相等，理由如下：
如图2，在边上截取，连接，
四边形是正方形，
，，
，
，，即，
是正方形外角的平分线，
，
，
，
在和中，
；
（3）分两种情况讨论：
①如图3-1，当点E在边上时，
四边形是正方形，
，，
，
由勾股定理得，
由（2）可知，，
；
②如图3-2，当点E在的延长线上时，连接，过点F作，交的延长线于点G，在上截取，连接，
同理（2）可得，
，
四边形是正方形，
，，
，
由勾股定理，得，
，
综上所述，的长为或者．
21．（10分）已知：如图，在△中，，，，，点是线段上一动点，从点沿方向匀速运动，速度为单位；点是线段上一动点，从点沿方向匀速运动，速度为单位，作， ，当一点到达终点时另一点也停止运动，设运动时间为．
解答下列问题：
(1)四边形是菱形时，求的值；
(2)为何值时，点在边上；
(3)连接、设四边形的面积为，求与之间的函数关系式；
(4)在运动过程中，是否存在某一时刻，使以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)与之间的函数关系式为；
(4)以点、、为顶点的三角形是等腰三角形时的值为或或．
【分析】（）根据菱形的性质得出即可求解；
（）由（）得：四边形是平行四边形，，，证明，根据相似三角形的性质即可求解；
（）设与交于点，由（）得：四边形是平行四边形，则，再由即可求解；
（）根据相似三角形的性质和勾股定理得出，又，，然后分当时，当时，当时三种情况分析即可；
本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质，平行四边形的判定与性质，解一元二次方程，勾股定理，建立函数关系式，等腰三角形的定义，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
由题意得：，，
∴，，
∵， ，
∴四边形是平行四边形，
∴当时，四边形是菱形，
∴，
∴；
（2）解：如图，由（）得：四边形是平行四边形，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图，设与交于点，
由（）得：四边形是平行四边形，
∴，
∴
，
∴与之间的函数关系式为；
（4）解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，，
∴，
∴，
当时，，
∴；
当时，，整理得：，
解得：（舍去）或；
当时，，整理得：
解得：（舍去）或；
综上可知：以点、、为顶点的三角形是等腰三角形时的值为或或．
22．（12分）如图，抛物线L：与x轴交于A，两点，与y轴交于点C．
(1)写出抛物线的对称轴，并求a的值；
(2)平行于x轴的直线l交抛物线L于点M，N（点M在点N的左边），交线段于点R．当R为线段的中点时，求点N的坐标；
(3)将线段先向左平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段．若抛物线L平移后与线段有两个交点，且这两个交点恰好将线段三等分，求抛物线L平移的最短路程；
(4)P是抛物线L上任意一点（不与点C重合），点P的横坐标为m．过点P作轴于点Q，E为y轴上的一点，纵坐标为．以为邻边构造矩形，当抛物线L在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．
【答案】(1)；
(2)
(3)
(4)或
【分析】（1）直接写出对称轴，待定系数法求出的值即可；
（2）求出直线的解析式，根据对称性求出点坐标，进而得到点的纵坐标，代入二次函数解析式，求解即可；
（3）求出线段的三等分点的坐标，用待定系数法可得抛物线平移后的解析式，从而可得评议前后两函数顶点之间的距离，即可得出答案；
（4）分两种情况：当时，点在点上方，结合图象求出，当 时，点在点上方，结合图象求出，即可．
【详解】（1）解：∵抛物线L：与x轴交于A，两点，
∴对称轴为直线，，
∴；
（2）由（1）知，，
当时，，
∴，
∵，
∴设直线的解析式为，把代入，得：，
∴，
∵平行于x轴的直线l交抛物线L于点M，N，
∴关于直线对称，
∵R为线段的中点，
∴的横坐标为，
把代入，得：，
∴，
∵轴，
∴，
把代入，得：，
解得：或，
∵点在点的右侧，
∴点的横坐标为；
（3）∵，，
∴将线段先向左平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度可得，，
∴线段的两个三等分点坐标为，，
设平移后的抛物线解析式为，
∵抛物线平移后与线段有两个交点，且这两个交点恰好将线段三等分，
∴，
解得，
∴平移后的抛物线解析式为，其顶点为，
而抛物线的顶点为，
∴平移前，后抛物线的顶点之间的距离为，
∴抛物线平移的最短路程为；
（4）∵轴，
∴ ，
当时，点在点上方，
∵，
∴，解得，
∵，
∴；
当时，点在点上方，
∴，
解得：或，
∵，
∴，
综上所述：的取值范围是或．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，二次函数的图形和性质，二次函数图象的平移，矩形的性质等知识点，综合性强，属于中考压轴题，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
物理常识
开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为：开水的体积×开水降低的温度=温水的体积×温水升高的温度．
30
60
81
50
44
110
130
146
80
100
60
80
120
140
75
81
10
30
81
92
课外阅读时间（单位：min）
等级
C
B
人数
3
4
平均数
中位数
众数
80
c
81