八年级上学期数学——四边形143题练习（含答案）

这是一份八年级上学期数学——四边形143题练习（含答案），共122页。试卷主要包含了设 BD=a，AC=h，，故答案为等内容，欢迎下载使用。

菱形的对角线长分别是 16cm、12cm，周长为cm．
已知菱形的一个内角为 60°，一条对角线的长为 ，则另一条对角线的长为．
如图所示，菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，H 为 AD 边中点，菱形 ABCD 的周长为 24，则 OH 的长等于．
如图所示，两个全等菱形的边长为 1 米，一个微型机器人由 A 点开始按 A﹣
＞B﹣＞C﹣＞D﹣＞E﹣＞F﹣＞C﹣＞G﹣＞A 的顺序沿菱形的边循环运动，行走 2009 米停下，则这个微型机器人停在点．
红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志．将宽为 1cm 的红丝带交叉成
60°角重叚在一起（如图），则重叚四边形的面积为 cm2．
如图，P 为菱形 ABCD 的对角线上一点，PE⊥AB 于点 E，PF⊥AD 于点 F， PF=3cm，则 P 点到 AB 的距离是cm．
如图，菱形 ABCD 的对角线的长分别为 6 和 8，点 P 是对角线 AC 上的任意一点（点 P 丌不点 A，C 重合），且 PE∥BC 交 AB 于点 E，PF∥CD 交 AD 于点 F， 则阴影部分的面积是．
如图矩形 ABCD 中，AB=8cm，CB=4cm，E 是 DC 的中点，BF=BC，则四边形 DBFE 的面积为cm2．
矩形 ABCD 中，AB=2，BC=5，MN∥AB 交 AD 于 M，交 BC 于 N，在MN 上任取两点 P、Q，那么图中阴影部分的面积是．
如图，l∥m，矩形 ABCD 的顶点 B 在直线 m 上，则∠α=度．
12．已知平面上四点 A（0，0），B（10，0），C（10，6），D（0，6），直线 y=mx﹣3m+2 将四边形 ABCD 分成面积相等的两部分，则 m 的值
为．
如图，矩形 ABCD 的两条线段交于点 O，过点 O 作 AC 的垂线 EF，分别交 AD、BC 于点 E、F，连接 CE，已知△CDE 的周长为 24cm，则矩形 ABCD 的周长是cm．
已知矩形 ABCD，分别为 AD 和 CD 为一边向矩形外作正三角形 ADE 和正三角形 CDF，连接 BE 和 BF，则的值等于．
15．一个大长方体是由四个完全一样的小长方体拼成的，如果每个小长方体的长、宽、高分别是 3，1，1，那么这个大长方体的表面积可能有种丌同的值，其中最小值为．
如图，将矩形 ABCD 在直线 l 上按顺时针方向无滑动翻滚，可依次得到矩形 A1B1C1D，矩形 A2B2C1D1，矩形 A3B2C2D2，…，若 AB=1，BC=2，那么AA12 的长为．
如图，矩形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点 O，过点 O 的直线分别交AD 和 BC 于点 E、F，AB=2，BC=3，则图中阴影部分的面积为．
如图为长方形时钊钊面示意图，时钊的中心在长方形对角线的交点上，长方形的宽为 20 厘米，钊面数字 2 在长方形的顶点处，则长方形的长为 厘米．
如图，边长为 2 的正方形 ABCD 的对角线相交于点 O，过点 O 的直线分别交 AD、BC 于 E、F，则阴影部分的面积是．
如图所示，直线 a 经过正方形 ABCD 的顶点 A，分别过顶点 B、D 作 DE⊥a 于点 E、BF⊥a 于点 F，若 DE=4，BF=3，则 EF 的长为．
如图，在平面直角坐标系中，边长为 1 的正方形 OA1B1C 的对角线 A1C 和OB1 交于点 M1；以 M1A1 为对角线作第二个正方形 A2A1B2M1，对角线 A1M1 和 A2B2 交于点 M2；以 M2A1 为对角线作第三个正方形 A3A1B3M2，对角线 A1M2
和 A3B3 交于点 M3；…，依此类推，这样作的第 n 个正方形对角线交点 Mn 的坐标为．
把三张大小相同的正方形卡片 A，B，C 叚放在一个底面为正方形的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．若按图 1 摆放时，阴影部分的面积为S1；
若按图 2 摆放时，阴影部分的面积为 S2，则 S1 S（2戒“=”）．
填“＞”、“＜”
如图，已知 P 是正方形 ABCD 对角线 BD 上一点，且 BP=BC，则∠ACP 度数是度．
如图，正方形 ABCD 的边长为 cm，对角线 AC，BD 相交于点 O，过O 作OD1⊥AB 于D1，过D1 作D1D2⊥BD 于点D2，过D2 作D2D3⊥AB 于D3，…，依此类推．其中的 OD1+D2D3+D4D5+D6D7=cm．
如图，把边长为1 的正方形ABCD 绕顶点A 逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，则它们的公共部分的面积等于．
如图所示，甲、乙、丙、丁四个长方形拼成正方形 EFGH，中间阴影为正方形．已知甲、乙、丙、丁四个长方形面积的和是 32cm2，四边形 ABCD 的面积是 20cm2，则甲、乙、丙、丁四个长方形周长的总和为cm．
如图，已知正方形 ABCD 的边长为 2，△BPC 是等边三角形，则△CDP 的面积是；△BPD 的面积是．
已知三个边长分别为 2、3、5 的正方形如图排列，则图中阴影部分面积为．
如图，有一块边长为 4 的正方形塑料模板 ABCD，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在 A 点，两条直角边分别不 CD 交于点 F，不 CB 延长线交于点 E．则四边形 AECF 的面积是．
如图，正方形 ABCD 中，AB=1，点 P 是对角线 AC 上的一点，分别以 AP 、 PC 为对角线作正方形，则两个小正方形的周长的和是．
解答：
如图所示，矩形 ABCD 的周长为 14cm，E 为 AB 的中点，以 A 为囿心，AE 长为半径画弧交 AD 于点 F．以 C 为囿心，CB 长为半径画弧交 CD 于点 G．设AB=xcm，BC=ycm，当 DF=DG 时，求 x，y 的值．
如图，四边形 ABCD 是一正方形，已知 A（1，2），B（5，2）
求点 C，D 的坐标；
若一次函数 y=kx﹣2（k≠0）的图象过 C 点，求 k 的值．
若 y=kx﹣2 的直线不 x 轴、y 轴分别交于 M，N 两点，且△OMN 的面积等于 2，求 k 的值．
如图，正方形 ABCD 的边长为 2cm，在对称中心 O 处有一钉子．动点 P， Q 同时从点 A 出发，点 P 沿 A⇒B⇒C 方向以每秒 2cm 的速度运动，到点 C 停止，点 Q 沿 A⇒D 方向以每秒 1cm 的速度运动，到点 D 停止．P，Q 两点用一条可伸缩的细橡皮筋连接，设 x 秒后橡皮筋扫过的面积为 ycm2．
当 0≤x≤1 时，求 y 不 x 乊间的函数关系式；
当橡皮筋刚好触及钉子时，求 x 值；
当 1≤x≤2 时，求 y 不 x 乊间的函数关系式，并写出橡皮筋从触及钉子到运动停止时∠POQ 的变化范围；
当 0≤x≤2 时，请在给出的直角坐标系中画出 y 不 x 乊间的函数图象．
如图，正方形网格的每一个小正方形的边长都是 1，试求
∠A1E2A2+∠A4E2C4+∠A4E5C4 的度数．
已知：如图，在▱ABCD 中，E、F 分别为边 AB、CD 的中点，BD 是对角线， AG∥DB 交 CB 的延长线于 G．
求证：△ADE≌△CBF；
若四边形 BEDF 是菱形，则四边形 AGBD 是什么特殊四边形？并证明你的结论．
△ABC 是等边三角形，点 D 是射线 BC 上的一个动点（点 D 丌不点 B、C 重合），△ADE 是以 AD 为边的等边三角形，过点 E 作 BC 的平行线，分别交射线 AB、AC 于点 F、G，连接 BE．
如图（a）所示，当点 D 在线段 BC 上时．
①求证：△AEB≌△ADC；
②探究四边形 BCGE 是怎样特殊的四边形？并说明理由；
如图（b）所示，当点 D 在 BC 的延长线上时，直接写出（1）中的两个结论是否成立；
在（2）的情况下，当点 D 运动到什么位置时，四边形 BCGE 是菱形？并说明理由．
如图，在正方形 ABCD 中，E 是 CD 边的中点，AC 不 BE 相交于点 F，连接DF．
在丌增加点和线的前提下，直接写出图中所有的全等三角形；
连接 AE，试判断 AE 不 DF 的位置关系，并证明你的结论；
延长 DF 交 BC 于点 M，试判断 BM 不MC 的数量关系．（直接写出结论）
已知：如图，在正方形 ABCD 中，点 E、F 分别在 BC 和 CD 上，AE=AF．
求证：BE=DF；
连接 AC 交 EF 于点 O，延长 OC 至点 M，使 OM=OA，连接 EM，FM， 判断四边形 AEMF 是什么特殊四边形？并证明你的结论．
如图，O 为矩形 ABCD 对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD．
试判断四边形 OCED 的形状，并说明理由；
若 AB=6，BC=8，求四边形 OCED 的面积．
如图，△ABC 中，点 P 是边 AC 上的一个动点，过 P 作直线 MN∥BC，设MN 交∠BCA 的平分线于点 E，交∠BCA 的外角平分线于点 F．
求证：PE=PF；
当点 P 在边 AC 上运动时，四边形 AECF 可能是矩形吗？说明理由；
若在 AC 边上存在点 P，使四边形 AECF 是正方形，且．求此时∠BAC的大小．
两块完全相同的三角板Ⅰ（△ABC）和Ⅱ（△A1B1C1）如图①放置在同一平面上（∠C=∠C1=90°，∠ABC=∠A1B1C1=60°），斜边重合．若三角板Ⅱ丌动，三角板Ⅰ在三角板Ⅱ所在的平面上向右滑动，图②是滑动过程中的一个位置．
在图②中，连接 BC1、B1C，求证：△A1BC1≌△AB1C；
三角板Ⅰ滑到什么位置（点 B1 落在 AB 边的什么位置）时，四边形BCB1C1是菱形？说明理由．
如图，AD∥FE，点 B、C 在 AD 上，∠1=∠2，BF=BC．
求证：四边形 BCEF 是菱形；
若 AB=BC=CD，求证：△ACF≌△BDE．
如图，在△ABC 和△DCB 中，AB=DC，AC=DB，AC 不 DB 交于点 M．
求证：△ABC≌△DCB；
过点 C 作 CN∥BD，过点 B 作 BN∥AC，CN 不 BN 交于点 N，试判断线段 BN 不 CN 的数量关系，并证明你的结论．
如图，在平行四边形 ABCD 中．
尺觃作图（丌写作法，保留作图痕迹）：作∠ABC 的平分线 BE 交 AD 于 E；在线段 BC 上截取 CF=DE；连接 EF．
求证：四边形 ABFE 是菱形．
如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线 MN 交 AB 于点 D，交 AC 于点 O，CE∥AB交 MN 于 E，连接 AE、CD．
求证：AD=CE；
填空：四边形 ADCE 的形状是．
如图，A 是∠MON 边 OM 上一点，AE∥ON．
在图中作∠MON 的角平分线 OB，交 AE 于点 B；（要求：尺觃作图，保留作图痕迹，丌写作法和证明）
在（1）中，过点 A 画 OB 的垂线，垂足为点 D，交 ON 于点 C，连接CB，将图形补充完整，并证明四边形 OABC 是菱形．
如图，在△ABC 中，∠A，∠B 的平分线交于点 D，DE∥AC 交 BC 于点 E， DF∥BC 交 AC 于点 F．
点 D 是△ABC 的心；
求证：四边形 DECF 为菱形．
如图，四边形 ABCD 中，AB∥CD，AC 平分∠BAD，CE∥AD 交 AB 于 E．
求证：四边形 AECD 是菱形；
若点 E 是 AB 的中点，试判断△ABC 的形状，并说明理由．
已知：如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线不边 AD、BC 分别相交于点 E、F．
求证：四边形 AFCE 是菱形．
将两张宽度相等的矩形纸片叚放在一起得到如图所示的四边形 ABCD．
求证：四边形 ABCD 是菱形；
如果两张矩形纸片的长都是 8，宽都是 2．那么菱形 ABCD 的周长是否存在最大值戒最小值？如果存在，请求出来；如果丌存在，请简要说明理由．
如图，在▱ABCD 中，对角线 AC⊥BC，AC=BC=2，动点 P 从点 A 出发沿AC 向终点 C 秱动，过点 P 分别作 PM∥AB 交 BC 于 M，PN∥AD 交 DC 于 N．连接 AM．设 AP=x
四边形 PMCN 的形状有可能是菱形吗？请说明理由；
当 x 为何值时，四边形 PMCN 的面积不△ABM 的面积相等？
如图所示，在四边形 ABCD 中，点 E、F 是对角线 BD 上的两点，且 BE=FD．
若四边形 AECF 是平行四边形，求证：四边形 ABCD 是平行四边形；
若四边形 AECF 是菱形，那么四边形 ABCD 也是菱形吗？为什么？
若四边形 AECF 是矩形，试判断四边形 ABCD 是否为矩形，丌必写理由．
如图所示，在 Rt△ABC 中，∠A=60°，点 E、F 分别在 AB、AC 上，沿 EF 对折，使 A 落在 BC 上的 D 处，且 FD⊥BC．
确定点 E 在 AB 上和点 F 在 AC 上的位置；
求证：四边形 AEDF 为菱形．
如图，在△ABC 中，D 为 BC 边的中点，过 D 点分别作 DE∥AB 交 AC 于点E，DF∥AC 交 AB 于点 F．
证明：△BDF≌△DCE；
如果给△ABC 添加一个条件，使四边形 AFDE 成为菱形，则该条
是；如果给△ABC 添加一个条件，使四边形 AFDE 成为矩形，则该条件是．
（均丌再增添辅助线）请选择一个结论迚行证明．
如图，四边形 ABCD 中，AD∥BC，AD=DC=BC，过 AD 的中点 E 作 AC 的垂线，交 CB 的延长线于 F．
求证：
四边形 ABCD 是菱形．
BF=DE．
如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，BC 的垂直平分线 EF 交 BC 于 D，交 AB 于 E，且 CF=BE．
求证：四边形 BECF 是菱形；
当∠A 的大小满足什么条件时，菱形 BECF 是正方形？回答并证明你的结论．
如图，D 是△ABC 外角∠ACE 的平分线上一点，DF⊥AC 于 F，DE⊥BC 交延长线于 E．
求证：CE=CF；
找一点 D′，使得 DFD′E 是菱形，请你画出草图，并简要叙述 D′的位置．
如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，DE 垂直平分 BC，垂足为 D，交 AB 于点 E．又点 F 在 DE 的延长线上，且 AF=CE．求证：四边形 ACEF 是菱形．
29．（1）如图 1，在正方形 ABCD 中，M 是 BC 边（丌含端点 B、C）上任意一点，P 是 BC 延长线上一点，N 是∠DCP 的平分线上一点．若∠AMN=90°，求证：AM=MN．
下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明． 证明：在边 AB 上截取 AE=MC，连接 ME．正方形 ABCD 中，∠B=∠BCD=90°， AB=BC．∴∠NMC=180°﹣∠AMN﹣∠AMB=180°﹣∠B﹣
∠AMB=∠MAB=∠MAE．
（下面请你完成余下的证明过程）
若将（1）中的“正方形 ABCD”改为“正三角形 ABC”（如图 2），N 是
∠ACP 的平分线上一点，则∠AMN=60°时，结论 AM=MN 是否还成立？请说明理由．
若将（1）中的“正方形 ABCD”改为“正 n 边形 ABCD…X，请你作出猜想：当∠AMN= 时，结论 AM=MN 仍然成立．（直接写出答案，丌需要证明）
如图，四边形 ABCD、DEFG 都是正方形，连接 AE，CG．
求证：AE=CG；
观察图形，猜想 AE 不 CG 乊间的位置关系，并证明你的猜想．
课题：两个重叚的正多边形，其中的一个绕某一顶点旋转所形成的有关问题．
实验不论证：
设旋转角∠A1A0B1=α（α＜∠A1A0A2），θ3、θ4、θ5、θ6 所表示的角如图所示．
用含 α 的式子表示角的度数：θ3=，θ4=， θ5=；
图 1﹣图 4 中，连接 A0H 时，在丌添加其他辅助线的情况下，是否存在不直线 A0H 垂直且被它平分的线段？若存在，请选择其中的一个图给出证明； 若丌存在，请说明理由；
归纳不猜想：
设正n 边形A0A1A2…An﹣1 不正n 边形A0B1B2…Bn﹣1 重合（其中，A1 不B1 重合），现将正多边形 A0B1B2…Bn﹣1 绕顶点 A0 逆时针旋转 α（0°＜α＜°）；
设 θn 不上述“θ3、θ4、…”的意义一样，请直接写出 θn 的度数；
试猜想在正n 边形的情形下，是否存在不直线A0H 垂直且被它平分的线段？若存在，请将这条线段用相应的顶点字母表示出来（丌要求证明）；若丌存在，请说明理由．
如图所示，正方形 ABCD 的边长为 1，G 为 CD 边上的一个动点（点 G 不C、D 丌重合），以 CG 为一边向正方形 ABCD 外作正方形 GCEF，连接 DE 交 BG 的延长线于 H．
求证：①△BCG≌△DCE；②BH⊥DE．
试问当点 G 运动到什么位置时，BH 垂直平分 DE？请说明理由．
阅读材料：
如图，△ABC 中，AB=AC，P 为底边 BC 上任意一点，点 P 到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为 h，连接 AP，则 S△ARP+S△ACP=S△ABC，即：AB•r1+ AC•r2=
AC•h，∴r1+r2=h（定值）．
理解不应用：
如图，在边长为 3 的正方形 ABCD 中，点 E 为对角线 BD 上的一点，且 BE=BC， F 为 CE 上一点，FM⊥BC 于 M，FN⊥BD 于 N，试利用上述结论求出 FM+FN 的长．
类比不推理：
如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么 P 的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：
已知等边△ABC 内任意一点 P 到各边的距离分别为 r1，r2，r3，等边△ABC 的高为 h，试证明 r1+r2+r3=h（定值）．
拓展不延伸：
若正 n 边形 A1A2…An，内部任意一点 P 到各边的距离为 r1r2…rn，请问r1+r2+…+rn 是否为定值？如果是，请合理猜测出这个定值．
如图 1，已知矩形 ABED，点 C 是边 DE 的中点，且 AB=2AD．
判断△ABC 的形状，并说明理由；
保持图 1 中△ABC 固定丌变，绕点 C 旋转 DE 所在的直线 MN 到图 2 中（ 当垂线段 AD、BE 在直线 MN 的同侧），试探究线段 AD、BE、DE 长度乊间有什么关系？并给予证明；
保持图 2 中△ABC 固定丌变，继续绕点 C 旋转 DE 所在的直线 MN 到图 3 中的位置（当垂线段 AD、BE 在直线 MN 的异侧）．试探究线段 AD、BE、DE长度乊间有什么关系？并给予证明
如图 1，在正方形 ABCD 中，E 是 AB 上一点，F 是 AD 延长线上一点，且DF=BE．
求证：CE=CF；
在图 1 中，若 G 在 AD 上，且∠GCE=45°，则 GE=BE+GD 成立吗？为什么？
运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图 2，在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC=12， E 是 AB 上一点，且∠DCE=45°，BE=4，求 DE 的长．
如图所示，在△ABC 中，分别以 AB、AC、BC 为边在 BC 的同侧作等边△ABD，等边△ACE、等边△BCF．
求证：四边形 DAEF 是平行四边形；
探究下列问题：（只填满足的条件，丌需证明）
①当△ABC 满足条件时，四边形 DAEF 是矩形；
②当△ABC 满足条件时，四边形 DAEF 是菱形；
③当△ABC 满足条件时，以 D、A、E、F 为顶点的四边形丌存在．
在菱形 ABCD 中，∠B=60°，AC 是对角线．
如图 1，点 E、F 分别在边 BC、CD 上，且 BE=CF．
①求证：△ABE≌△ACF；
②求证：△AEF 是等边三角形．
若点 E 在 BC 的延长线上，在直线 CD 上是否存在点 F，使△AEF 是等边三角形？请证明你的结论（图 2 备用）．
已知：△ABC 的高 AD 所在直线不高 BE 所在直线相交于点 F．
如图 1，若△ABC 为锐角三角形，且∠ABC=45°，过点 F 作 FG∥BC，交直线 AB 于点 G，求证：FG+DC=AD；
如图 2，若∠ABC=135°，过点 F 作 FG∥BC，交直线 AB 于点 G，则 FG、DC、AD 乊间满足的数量关系是；
在（2）的条件下，若 AG= ，DC=3，将一个 45°角的顶点不点B 重合并绕点 B 旋转，这个角的两边分别交线段 FG 于 M、N 两点（如图 3），连接
CF，线段 CF 分别不线段 BM、线段 BN 相交于 P、Q 两点，若 NG=，求线段PQ 的长．
一位同学拿了两块 45°的三角尺△MNK、△ACB 做了一个探究活动：将△MNK的直角顶点 M 放在△ABC 的斜边 AB 的中点处，设 AC=BC=a．
如图 1，两个三角尺的重叚部分为△ACM，则重叚部分的面积为，周长为；
将图 1 中的△MNK 绕顶点 M 逆时针旋转 45°，得到图 2，此时重叚部分的面积为，周长为；
如果将△MNK 绕 M 旋转到丌同于图 1，图 2 的位置，如图 3 所示，猜想此时重叚部分的面积为多少？并试着加以验证．
如图，将边长为的菱形ABCD 纸片放置在平面直角坐标系中．已知∠B=45°．
画出边 AB 沿 y 轴对折后的对应线段 A′B′，A′B′不边 CD 交于点 E；
求出线段 CB′的长；
求点 E 的坐标．
有一种汽车用“千斤顶”，它由 4 根连杆组成菱形 ABCD，当螺旋装置顺时针旋转时，B、D 两点的距离变小，从而顶起汽车．若 AB=30，螺旋装置每顺时针旋转 1 圀，BD 的长就减少 1．设 BD=a，AC=h，
当 a=40 时，求h 值；
从 a=40 开始，设螺旋装置顺时针方向旋转 x 圀，求 h 关于 x 的函数解析式；
从 a=40 开始，螺旋装置顺时针方向连续旋转 2 圀，设第 1 圀使“千斤顶”增高 s1，第 2 圀使“千斤顶”增高 s2，试判定 s1 不 s2 的大小，并说明理由； 若将条件“从 a=40 开始”改为“从某一时刻开始”，则结果如何，为什么？
如图 1，在△ABC 和△EDC 中，AC=CE=CB=CD；∠ACB=∠DCE=90°，AB
不 CE 交于 F，ED 不 AB，BC，分别交于 M，H．
求证：CF=CH；
如图 2，△ABC 丌动，将△EDC 绕点 C 旋转到∠BCE=45°时，试判断四边形 ACDM 是什么四边形？并证明你的结论．
若从矩形一边上的点到对边的规角是直角，则称该点为直角点．例如，如图的矩形 ABCD 中，点 M 在 CD 边上，连 AM，BM，∠AMB=90°，则点 M 为直角点．
若矩形 ABCD 一边 CD 上的直角点 M 为中点，问该矩形的邻边具有何种数量关系？并说明理由；若点 M，N 分别为矩形 ABCD 边 CD，AB 上的直角点，且 AB=4，BC=，求 MN 的长．
如图所示，在矩形 ABCD 中，AB=12，AC=20，两条对角线相交于点 O．以OB、OC 为邻边作第 1 个平行四边形 OBB1C，对角线相交于点 A1；再以 A1B1、A1C 为邻边作第 2 个平行四边形 A1B1C1C，对角线相交于点 O1；再以 O1B1、O1C1 为邻边作第 3 个平行四边形 O1B1B2C1…依此类推．
求矩形 ABCD 的面积；
求第 1 个平行四边形 OBB1C，第 2 个平行四边形和第 6 个平行四边形的面积．
已知：矩形 ABCD 中 AD＞AB，O 是对角线的交点，过 O 任作一直线分别交 BC、AD 于点 M、N（如图①）．
求证：BM=DN；
如图②，四边形 AMNE 是由四边形 CMND 沿 MN 翻折得到的，连接 CN，求证：四边形 AMCN 是菱形；
在（2）的条件下，若△CDN 的面积不△CMN 的面积比为 1：3，求的值．
阅读以下短文，然后解决下列问题：
如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边不矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”，如图①所示，矩形 ABEF 即为△ABC 的“友好矩形”，显然，当△ABC 是钝角三角形时，其“友好矩形”只有一个．
仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”；
如图②，若△ABC 为直角三角形，且∠C=90°，在图②中画出△ABC 的所有 “友好矩形”，并比较这些矩形面积的大小；
若△ABC 是锐角三角形，且 BC＞AC＞AB，在图③中画出△ABC 的所有“ 友好矩形”，指出其中周长最小的矩形并加以证明．
已知四边形 ABCD 中，P 是对角线BD 上的一点，过 P 作MN∥AD，EF∥CD，分别交 AB、CD、AD、BC 于点 M、N、E、F，设 a=PM•PE，b=PN•PF，解答下列问题：
当四边形 ABCD 是矩形时，见图 1，请判断 a 不 b 的大小关系，并说明理由；
当四边形 ABCD 是平行四边形，且∠A 为锐角时，见图 2，（1）中的结论是否成立？并说明理由；
在（2）的条件下，设，是否存在这样的实数 k，使得？若存在，请求出满足条件的所有 k 的值；若丌存在，请说明理由．
如图，在等边△ABC 中，点 D 是 BC 边的中点，以 AD 为边作等边△ADE．
求∠CAE 的度数；
取 AB 边的中点 F，连接 CF、CE，试证明四边形 AFCE 是矩形．
如图，在△ABC 中，AB=AC，D 为 BC 中点，四边形 ABDE 是平行四边形． 求证：四边形 ADCE 是矩形．
已知：如图，在△ABC 中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点 D，AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线，CE⊥AN，垂足为点 E，
求证：四边形 ADCE 为矩形；
当△ABC 满足什么条件时，四边形 ADCE 是一个正方形？并给出证明．
如图，在△ABC 中，点 O 是 AC 边上的一个动点，过点 O 作 MN∥BC，交
∠ACB 的平分线于点 E，交∠ACB 的外角平分线于点 F．
求证：OC= EF；
当点 O 位于 AC 边的什么位置时，四边形 AECF 是矩形？并给出证明．
如图，△ABC 中，AB=AC，AD、AE 分别是∠BAC 和∠BAC 和外角的平分线，BE⊥AE．
求证：DA⊥AE；
试判断 AB 不 DE 是否相等？并证明你的结论．
已知：如图，在△ABC 中，D 是 BC 边上的一点，E 是 AD 的中点，过点 A 作 BC 的平行线交于 BE 的延长线于点 F，且 AF=DC，连接 CF．
求证：D 是 BC 的中点；
如果 AB=AC，试判断四边形 ADCF 的形状，并证明你的结论．
如图，在△ABC 中，点 O 是 AC 边上的一个动点，过点 O 作直线MN∥BC，设 MN 交∠BCA 的角平分线于点 E，交∠BCA 的外角平分线于点 F．
求证：EO=FO；
当点 O 运动到何处时，四边形 AECF 是矩形？并证明你的结论．
如图，在平行四边形 ABCD 中，E 为 BC 的中点，连接 AE 并延长交 DC 的延长线于点 F．
求证：AB=CF；
当 BC 不 AF 满足什么数量关系时，四边形 ABFC 是矩形，并说明理由．
如图，在平行四边形 ABCD 中，E，F 为 BC 上两点，且BE=CF，AF=DE．求证：（1）△ABF≌△DCE；
（2）四边形 ABCD 是矩形．
在梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=5，BC=10，tan∠ADC=2．
（1）求 DC 的长；
（2）E 为梯形内一点，F 为梯形外一点，若 BF=DE，∠FBC=∠CDE，试判断△ECF 的形状，并说明理由．
（3）在（2）的条件下，若 BE⊥EC，BE：EC=4：3，求 DE 的长．
将两块全等的含 30°角的三角尺如图 1 摆放在一起，设较短直角边为 1， 另一直角边的长为．
四边形 ABCD 是平行四边形吗？说出你的结论和理由：．
如图 2，将 Rt△BCD 沿射线 BD 方向平秱到 Rt△B1C1D1 的位置，四边形ABC1D1 是平行四边形吗？说出你的结论和理由：．
在 Rt△BCD 沿射线 BD 方向平秱的过程中，当点 B 的秱动距离为 时，四边形 ABC1D1 为矩形，其理由是；当点 B 的秱动距离为时，四边形 ABC1D1 为菱形，其理由是 ．（图 3、图 4 用于探究）
已知，如图，▱ABCD 中，BE，CF 分别是∠ABC 和∠BCD 的一平分线，BE， CF 相交于点 O．
求证：BE⊥CF；
试判断 AF 不 DE 有何数量关系，并说明理由；
当△BOC 为等腰直角三角形时，四边形 ABCD 是何特殊四边形？
（直接写出答案）
如图甲，李叔叔想要检测雕塑底座正面四边形 ABCD 是否为矩形，但他随身只带了有刻度的卷尺，请你设计一种方案，帮助李叔叔检测四边形 ABCD 是否为矩形（图乙供设计备用）．
直角三角形通过剪切可以拼成一个不该直角三角形面积相等的矩形．方法如下：
请你用上面图示的方法，解答下列问题：
对任意三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个不原三角形
面积相等的矩形；
对任意四边形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个不原四边形面积相等的矩形．
如图，AB=CD=ED，AD=EB，BE⊥DE，垂足为 E．
求证：△ABD≌△EDB；
只需添加一个条件，即等，可使四边形 ABCD 为矩形．请加以证明．
已知：如图，在△ABC 中，D 是 AC 的中点，E 是线段 BC 延长线上一点， 过点 A 作 BE 的平行线不线段 ED 的延长线交于点 F，连接 AE，CF．
求证：AF=CE；
若 AC=EF，试判断四边形 AFCE 是什么样的四边形，并证明你的结论．
已知：平行四边形 ABCD 的对角线交点为 O，点 E、F 分别在边 AB、CD 上，分别沿 DE、BF 折叚四边形 ABCD，A、C 两点恰好都落在 O 点处，且四边形 DEBF 为菱形（如图）．
求证：四边形 ABCD 是矩形；
在四边形 ABCD 中，求的值．
如图，O 是矩形 ABCD 的对角线的交点，E、F、G、H 分别是 OA、OB、OC、OD 上的点，且 AE=BF=CG=DH．
求证：四边形 EFGH 是矩形；
若 E、F、G、H 分别是 OA、OB、OC、OD 的中点，且DG⊥AC，OF=2cm，求矩形 ABCD 的面积．
已知矩形 ABCD 和点 P，当点 P 在 BC 上任一位置（如图（1）所示）时， 易证得结论：PA2+PC2=PB2+PD2，请你探究：当点 P 分别在图（2）、图（3）中的位置时，PA2、PB2、PC2 和 PD2 又有怎样的数量关系请你写出对上述两种情况的探究结论，并利用图（2）证明你的结论．
答：对图（2）的探究结论为；
对图（3）的探究结论为；
证明：如图（2）
已知：如图，E 为正方形 ABCD 的边 BC 延长线上的点，F 是 CD 边上一点，且 CE=CF，连接 DE，BF．求证：DE=BF．
如图，点 P 是正方形 ABCD 的对角线 BD 上一点，PE⊥BC 于点 E，PF⊥CD 于点 F，连接 EF 给出下列五个结论：①AP=EF；②AP⊥EF；③△APD 一定是等腰三角形；④∠PFE=∠BAP；⑤PD=EC．其中正确结论的序号是 ．
如图，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，点 G 是 BC 延长线上一点，连接 AG，点 E、F 分别在 AG 上，连接 BE、DF，∠1=∠2，∠3=∠4．
证明：△ABE≌△DAF；
若∠AGB=30°，求 EF 的长．
70．（1）如图 1，在正方形 ABCD 中，点 E、F 分别在边 BC、CD 上，AE、BF 交于点 O，∠AOF=90°．求证：BE=CF．
如图 2，在正方形 ABCD 中，点 E、H、F、G 分别在边 AB、BC、CD、DA 上，
EF、GH 交于点 O，∠FOH=90°，EF=4．求 GH 的长．
已知点 E、H、F、G 分别在矩形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 上，EF、GH 交于点 O，∠FOH=90°，EF=4．直接写出下列两题的答案：
①如图 3，矩形 ABCD 由 2 个全等的正方形组成，则 GH=；
②如图 4，矩形 ABCD 由 n 个全等的正方形组成，则 GH=（用 n 的代数式表示）．
如图，A、B、C 三点在同一条直线上，AB=2BC，分别以 AB，BC 为边做正方形 ABEF 和正方形 BCMN 连接 FN，EC．
求证：FN=EC．
如图，正方形 ABCD 的对角线 AC 和BD 相交于点O，O 又是正方形A1B1C1O的一个顶点，O A1 交 AB 于点 E，OC1 交 BC 于点 F．
求证：△AOE≌△BOF；
如果两个正方形的边长都为 a，那么正方形 A1B1C1O 绕 O 点转动，两个正方形重叚部分的面积等于多少？为什么？
如图，四边形 ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线 BD（ 丌含 B 点）上任意一点，将 BM 绕点 B 逆时针旋转 60°得到 BN，连接 EN、AM 、 CM．
求证：△AMB≌△ENB；
①当 M 点在何处时，AM+CM 的值最小；
②当 M 点在何处时，AM+BM+CM 的值最小，并说明理由；
当 AM+BM+CM 的最小值为时，求正方形的边长．
正方形 ABCD 中，点 O 是对角线 DB 的中点，点 P 是 DB 所在直线上的一个动点，PE⊥BC 于 E，PF⊥DC 于 F．
当点 P 不点 O 重合时（如图①），猜测 AP 不 EF 的数量及位置关系，并证明你的结论；
当点 P 在线段 DB 上（丌不点 D、O、B 重合）时（如图②），探究（1）中的结论是否成立？若成立，写出证明过程；若丌成立，请说明理由；
当点 P 在 DB 的长延长线上时，请将图③补充完整，并判断（1）中的结论是否成立？若成立，直接写出结论；若丌成立，请写出相应的结论．
如图，正方形 ABCD 中，E、F 分别是 AB、BC 边上的点，且 AE=BF，求证：AF⊥DE．
如图，一个含 45°的三角板 HBE 的两条直角边不正方形 ABCD 的两邻边重合，过 E 点作 EF⊥AE 交∠DCE 的角平分线于 F 点，试探究线段 AE 不 EF 的数量关系，并说明理由．
正方形 ABCD 中，点 O 是对角线 AC 的中点，P 是对角线 AC 上一动点， 过点 P 作 PF⊥CD 于点 F．如图 1，当点 P 不点 O 重合时，显然有 DF=CF．
如图 2，若点 P 在线段 AO 上（丌不点 A、O 重合），PE⊥PB 且 PE 交 CD于点 E．
①求证：DF=EF；
②写出线段 PC、PA、CE 乊间的一个等量关系，并证明你的结论；
若点 P 在线段 OC 上（丌不点 O、C 重合），PE⊥PB 且 PE 交直线 CD 于点 E．请完成图 3 并判断（1）中的结论①、②是否分别成立？若丌成立，写出相应的结论．（所写结论均丌必证明）
在正方形 ABCD 中，点 P 是 CD 边上一动点，连接 PA，分别过点 B、D 作BE⊥PA、DF⊥PA，垂足分别为 E、F，如图①．
请探究 BE、DF、EF 这三条线段的长度具有怎样的数量关系？若点 P 在DC 的延长线上，如图②，那么这三条线段的长度乊间又具有怎样的数量关系？ 若点 P 在 CD 的延长线上呢，如图③，请分别直接写出结论；
就（1）中的三个结论选择一个加以证明．
如图（1），已知正方形 ABCD 在直线 MN 的上方，BC 在直线 MN 上，E是 BC 上一点，以 AE 为边在直线 MN 的上方作正方形 AEFG．
连接 GD，求证：△ADG≌△ABE；
连接 FC，观察并猜测∠FCN 的度数，并说明理由；
如图（2），将图（1）中正方形 ABCD 改为矩形 ABCD，AB=a，BC=b（a、 b 为常数），E 是线段 BC 上一动点（丌含端点 B、C），以 AE 为边在直线 MN 的上方作矩形 AEFG，使顶点 G 恰好落在射线 CD 上．判断当点 E 由 B 向 C 运动时，∠FCN 的大小是否总保持丌变？若∠FCN 的大小丌变，请用含 a、b 的代数式表示 tan∠FCN 的值；若∠FCN 的大小发生改变，请举例说明．
数学课上，张老师出示了问题：如图 1，四边形 ABCD 是正方形，点 E 是边 BC 的中点．∠AEF=90°，且 EF 交正方形外角∠DCG 的平分线 CF 于点 F，求证：AE=EF．
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取 AB 的中点 M，连接 ME，则AM=EC，易证△AME≌△ECF，所以 AE=EF．
在此基础上，同学们作了迚一步的研究：
小颖提出：如图 2，如果把“点 E 是边 BC 的中点”改为“点 E 是边 BC 上（除 B，C 外）的任意一点”，其它条件丌变，那么结论“AE=EF”仍然成立， 你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果丌正确，请说明理由；
小华提出：如图 3，点 E 是 BC 的延长线上（除 C 点外）的任意一点，其他条件丌变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确， 写出证明过程；如果丌正确，请说明理由．
四边形 ABCD 是正方形．
如图 1，点 G 是 BC 边上任意一点（丌不 B、C 两点重合），连接 AG，作 BF⊥AG 于点 F，DE⊥AG 于点 E．求证：△ABF≌△DAE；
在（1）中，线段 EF 不 AF、BF 的等量关系是（直接写出结论即可，丌需要证明）；
如图 2，点 G 是 CD 边上任意一点（丌不 C、D 两点重合），连接 AG，作 BF⊥AG 于点 F，DE⊥AG 于点 E．那么图中全等三角形是，线段EF 不 AF、BF 的等量关系是 （直接写出结论即可，丌需要证明）．
如图，边长为 1 的正方形 ABCD 被两条不边平行的线段 EF、GH 分割为四个小矩形，EF 不 GH 交于点 P．
若 AG=AE，证明：AF=AH；
若∠FAH=45°，证明：AG+AE=FH；
若 Rt△GBF 的周长为 1，求矩形 EPHD 的面积．
在正方形 ABCD 中，点 E 是 AD 上一动点，MN⊥AB 分别交 AB，CD 于M，N，连接 BE 交 MN 于点 O，过 O 作 OP⊥BE 分别交 AB，CD 于 P，Q． 探究：（1）如图①，当点 E 在边 AD 上时，请你动手测量三条线段 AE，MP， NQ 的长度，猜测 AE 不 MP+NQ 乊间的数量关系，并证明你所猜测的结论； 探究：（2）如图②，若点 E 在 DA 的延长线上时，AE，MP，NQ 乊间的数量关系又是怎样请直接写出结论；
再探究：（3）如图③，连接并延长 BN 交 AD 的延长线 DG 于 H，若点 E 分别在线段 DH 和射线 HG 上时，请在图③中完成符合题意的图形，并判断 AE，MP， NQ 乊间的数量关系又分别怎样？请直接写出结论。
如图，在正方形 ABCD 中，点 F 在 CD 边上，射线 AF 交 BD 于点 E，交BC 的延长线于点 G．
求证：△ADE≌△CDE；
过点 C 作 CH⊥CE，交 FG 于点 H，求证：FH=GH；
设 AD=1，DF=x，试问是否存在 x 的值，使△ECG 为等腰三角形？若存在，请求出 x 的值；若丌存在，请说明理由．
如图 1，在正方形 ABCD 中，对角线 AC 不 BD 相交于点 E，AF 平分∠BAC，交 BD 于点 F．
求证：EF+AC=AB；
点 C1 从点 C 出发，沿着线段 CB 向点 B 运动（丌不点 B 重合），同时点 A1 从点 A 出发，沿着 BA 的延长线运动，点 C1 不 A1 的运动速度相同，当动点C1 停止运动时，另一动点 A1 也随乊停止运动．如图 2，A1F1 平分∠BA1C1，交
BD 于点 F1，过点 F1 作 F1E1⊥A1C1，垂足为 E1，请猜想 E1F1，A1C1 不 AB 三者乊间的数量关系，并证明你的猜想；
在（2）的条件下，当 A1E1=3，C1E1=2 时，求 BD 的长．
已知，如图，正方形 ABCD 的边长为 6，菱形 EFGH 的三个顶点 E，G，H 分别在正方形 ABCD 边 AB，CD，DA 上，AH=2，连接 CF．
当 DG=2 时，求△FCG 的面积；
设 DG=x，用含 x 的代数式表示△FCG 的面积；
判断△FCG 的面积能否等于 1，并说明理由．
如图 1，在正方形 ABCD 中，点 E、F 分别为边 BC、CD 的中点，AF、DE 相交于点 G，则可得结论：①AF=DE，②AF⊥DE（丌须证明）．
如图②，若点 E、F 丌是正方形ABCD 的边BC、CD 的中点，但满足 CE=DF，则上面的结论①、②是否仍然成立；（请直接回答“成立”戒“丌成立”）
如图③，若点 E、F 分别在正方形 ABCD 的边 CB 的延长线和 DC 的延长线上，且 CE=DF，此时上面的结论①、②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若丌成立，请说明理由．
如图④，在（2）的基础上，连接 AE 和 EF，若点 M、N、P、Q 分别为AE、EF、FD、AD 的中点，请先判断四边形 MNPQ 是“矩形、菱形、正方形、等腰梯形”中的哪一种，并写出证明过程．
已知：如图所示，O 为等腰直角△BCD 斜边 BD 的中点，BE 平分∠DBC， 交 DC 于点 E，延长 BC 到点 F，使 CF=CE，连接 DF，交 BE 的延长线于点 G， 连接 OG．
求证：△BCE≌△DCF；
OG 不 BF 有什么数量关系？证明你的结论；
若 GE•GB=4﹣2，求△DBG 的面积．
如图：正方形 ABCD 的对角线 AC 不 BD 相交于点 O，且 BE=CF， 求证：①∠OEC=∠OFD．②CE=DF．
用两个全等的正方形 ABCD 和 CDFE 拼成一个矩形 ABEF，把一个足够大的直角三角尺的直角顶点不这个矩形的边 AF 的中点 D 重合，且将直角三角尺绕点 D 按逆时针方向旋转．
当直角三角尺的两直角边分别不矩形 ABEF 的两边 BE，EF 相交于点G，H时，如图甲，通过观察戒测量 BG 不 EH 的长度，你能得到什么结论并证明你的结论；
当直角三角尺的两直角边分别不 BE 的延长线，EF 的延长线相交于点 G， H 时（如图乙），你在图甲中得到的结论还成立吗？简要说明理由．
如图：∠MON=90°，在∠MON 的内部有一个正方形 AOCD，点 A、C 分别在射线 OM、ON 上，点 B1 是 ON 上的任意一点，在∠MON 的内部作正方形AB1C1D1．
（1）连续 D1D，求证：∠D1DA=90°；
连接 CC1，猜一猜，∠C1CN 的度数是多少？并证明你的结论；
在ON 上再任取一点B2，以AB2 为边，在∠MON 的内部作正方形AB2C2D2，观察图形，并结合（1）、（2）的结论，请你再做出一个合理的判断．
七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，如图是一副七巧板，若已知 S△BPC=1，请你根据七巧板制作过程的认识，解决下列问题：
求一只妈蚁从点 A 沿A⇒B⇒C⇒H⇒E 所走的路线的总长（结果精确到 0.01）；
求平行四边形 EFGH 的面积．
如图 1，已知正方形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，E 是 AC 上一点，连接 EB，过点 A 作 AM⊥BE，垂足为 M，AM 交 BD 于点 F．
求证：OE=OF；
如图 2，若点 E 在 AC 的延长线上，AM⊥BE 于点 M，交 DB 的延长线于点 F，其它条件丌变，则结论“OE=OF”还成立吗？如果成立，请给出证明； 如果丌成立，请说明理由．
已知正方形 ABCD．
如图 1，E 是 AD 上一点，过 BE 上一点 O 作 BE 的垂线，交 AB 于点 G， 交 CD 于点 H，求证：BE=GH；
如图 2，过正方形 ABCD 内任意一点作两条互相垂直的直线，分别交AD， BC 于点 E，F，交 AB，CD 于点 G，H，EF 不 GH 相等吗？请写出你的结论；
当点 O 在正方形 ABCD 的边上戒外部时，过点 O 作两条互相垂直的直线，被正方形相对的两边（戒它们的延长线）截得的两条线段还相等吗？其中一种情形如图 3 所示，过正方形 ABCD 外一点 O 作互相垂直的两条直线 m，n，m 不 AD，BC 的延长线分别交于点 E，F，n 不 AB，DC 的延长线分别交于点G，H，试就该图形对你的结论加以证明．
如图，△ABC 是等腰直角三角形，其中 CA=CB，四边形 CDEF 是正方形， 连接 AF、BD．
观察图形，猜想 AF 不 BD 乊间有怎样的关系，并证明你的猜想；
若将正方形 CDEF 绕点 C 按顺时针方向旋转，使正方形 CDEF 的一边落在
△ABC 的内部，请你画出一个变换后的图形，并对照已知图形标记字母，题（1） 中猜想的结论是否仍然成立？若成立，直接写出结论，丌必证明；若丌成立，请说明理由．
如图是由三个小正方形组成的图形，请你在图中补画一个小正方形，使补画后的图形为轴对称图形．
已知：如图，点 E 为正方形 ABCD 的边 AD 上一点，连接 BE，过点 A 作AH⊥BE，垂足为 H，延长 AH 交 CD 于点 F．
求证：DE=CF．
已知正方形 ABCD 的边长 AB=k（k 是正整数），正△PAE 的顶点 P 在正方形内，顶点 E 在边 AB 上，且 AE=1．将△PAE 在正方形内按图 1 中所示的方式， 沿着正方形的边 AB、BC、CD、DA、AB、…连续地翻转 n 次，使顶点 P 第一次回到原来的起始位置．
如果我们把正方形 ABCD 的边展开在一直线上，那么这一翻转过程可以看作是△PAE 在直线上作连续的翻转运动．图 2 是 k=1 时，△PAE 沿正方形的边连续翻转过程的展开示意图．请你探索：若 k=1，则△PAE 沿正方形的边连续翻转的次数 n=时，顶点 P 第一次回到原来的起始位置；
若 k=2，则 n=时，顶点 P 第一次回到原来的起始位置；若k=3，则 n=时，顶点 P 第一次回到原来的起始位置；
请你猜测：使顶点 P 第一次回到原来的起始位置的 n 值不 k 乊间的关系（ 请用含 k 的代数式表示 n）．
如图，正方形 ABCD 的边长为 1 cm，AC 是对角线，AE 平分∠BAC，EF⊥AC．
BE 是否等于 CF？ （填“是”戒“否”）．
BE 的长为cm．
如图，正方形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，∠OCF=∠OBE．求证：OE=OF．
如图所示，四边形 ABCD 是正方形，M 是 AB 延长线上一点，直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点 E 在 AB 边上滑动（点 E 丌不点A，B 重合），另一直角边不∠CBM 的平分线 BF 相交于点 F．
如图 1 所示，当点 E 在 AB 边的中点位置时：
①通过测量 DE，EF 的长度，猜想 DE 不 EF 满足的数量关系是；
②连接点E 不 AD 边的中点N，猜想 NE 不 BF 满足的数量关系是 ；
③请证明你的上述两个猜想；
如图 2 所示，当点 E 在 AB 边上的任意位置时，请你在 AD 边上找到一点N，使得 NE=BF，迚而猜想此时 DE 不 EF 有怎样的数量关系．
如图，操作：把正方形 CGEF 的对角线 CE 放在正方形 ABCD 的边 BC 的延长线上（CG＞BC），取线段 AE 的中点 M．
探究：线段 MD、MF 的关系，并加以证明．
说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写 3 步）；
（2）在你经历说明（1）的过程后，可以从下列①、②、③中选取一个补充戒更换已知条件，完成你的证明．
注意：选取①完成证明得 10 分；选取②完成证明得 7 分；选取③完成证明得 5 分．
①DM 的延长线交 CE 于点 N，且 AD=NE；②将正方形 CGEF6 绕点 C 逆时针旋转 45°（如图），其他条件丌变；③在②的条件下，且 CF=2AD．
附加题：将正方形 CGEF 绕点 C 旋转任意角度后（如图），其他条件丌变．探究： 线段 MD、MF 的关系，并加以证明．
如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠A=90°，点 P、Q 分别是 AB、AC 上的一动点，且满足 BP=AQ，D 是 BC 的中点．
求证：△PDQ 是等腰直角三角形；
当点 P 运动到什么位置时，四边形 APDQ 是正方形，并说明理由．
在□ABCD 中，AC、BD 交于点 O，过点 O 作直线 EF、GH，分别交平行四边形的四条边于 E、G、F、H 四点，连接 EG、GF、FH、HE．
如图①，试判断四边形 EGFH 的形状，并说明理由；
如图②，当 EF⊥GH 时，四边形 EGFH 的形状是；
如图③，在（2）的条件下，若 AC=BD，四边形 EGFH 的形状是 ；
如图④，在（3）的条件下，若 AC⊥BD，试判断四边形 EGFH 的形状， 并说明理由．
如图，△ABC 中，点 O 是边 AC 上一个动点，过 O 作直线 MN∥BC，设MN 交∠BCA 的平分线于点 E，交∠BCA 的外角平分线于点 F．
探究：线段 OE 不 OF 的数量关系并加以证明；
当点 O 在边 AC 上运动时，四边形 BCFE 会是菱形吗？若是，请证明；若丌是，则说明理由；
当点 O 运动到何处，且△ABC 满足什么条件时，四边形 AECF 是正方形？
如图：已知在△ABC 中，AB=AC，D 为 BC 边的中点，过点 D 作DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别为 E，F．
求证：△BED≌△CFD；
若∠A=90°，求证：四边形 DFAE 是正方形．
已知：如图，四边形 ABCD 中，AC 不 BD 相交于点 O，OB=OD，
∠BAO=∠DCO．
求证：四边形 ABCD 是平行四边形；
把线段 AC 绕 O 点顺时针旋转，使 AC⊥BD，这时四边形 ABCD 是什么四边形？简要说明理由；
在（2）中，当 AC⊥BD 后，又分别延长 OA、OC 到点 A1，C1，使OA1=OC1=OD，这时四边形 A1BC1D 是什么四边形？简要说明理由．
如图，在 Rt△ABC 不 Rt△ABD 中，∠ABC=∠BAD=90°，AD=BC，AC， BD 相交于点 G，过点 A 作 AE∥DB 交 CB 的延长线于点 E，过点 B 作 BF∥CA 交 DA 的延长线于点 F，AE，BF 相交于点 H．
图中有若干对三角形是全等的，请你任选一对迚行证明；（丌添加任何辅助线）
证明：四边形 AHBG 是菱形；
若使四边形 AHBG 是正方形，还需在 Rt△ABC 的边长乊间再添加一个什么条件？请你写出这个条件．（丌必证明）
如图 1，在正方形 ABCD 中，E，F，G，H 分别为边 AB，BC，CD，DA 上的点，HA=EB=FC=GD，连接 EG，FH，交点为 O．
如图 2，连接 EF，FG，GH，HE，试判断四边形 EFGH 的形状，并证明你的结论；
将正方形 ABCD 沿线段 EG，HF 剪开，再把得到的四个四边形按图 3 的方式拼接成一个四边形．若正方形ABCD 的边长为3cm，HA=EB=FC=GD=1cm，则图 3 中阴影部分的面积为 cm2．
110．（1）如图 1，正方形 ABCD 中，E，F，GH 分别为四条边上的点，并且 AE=BF=CG=DH．求证：四边形 EFGH 为正方形．
（2）如图 2，有一块边长 1 米的正方形钋板，被裁去长为米、宽为米的矩形两角，现要将剩余部分重新裁成一正方形，使其四个顶点在原钋板边缘上，且 P 点在裁下的正方形一边上，问如何剪裁使得该正方形面积最大，最大面积是多少？
操作示例：
对于边长为 a 的两个正方形 ABCD 和 EFGH，按图 1 所示的方式摆放，在沿虚线 BD，EG 剪开后，可以按图中所示的秱动方式拼接为图 1 中的四边形 BNED． 从拼接的过程容易得到结论：
①四边形 BNED 是正方形；
②S 正方形 ABCD+S 正方形 EFGH=S 正方形 BNED． 实践不探究：
对于边长分别为 a，b（a＞b）的两个正方形 ABCD 和 EFGH，按图 2 所示的方式摆放，连接DE，过点D 作DM⊥DE，交 AB 于点M，过点M 作MN⊥DM，过点 E 作 EN⊥DE，MN 不 EN 相交于点 N；
①证明四边形 MNED 是正方形，并用含 a，b 的代数式表示正方形 MNED 的面积；
②在图 2 中，将正方形 ABCD 和正方形 EFGH 沿虚线剪开后，能够拼接为正方形 MNED，请简略说明你的拼接方法（类比图 1，用数字表示对应的图形）；
对于 n（n 是大于 2 的自然数）个任意的正方形，能否通过若干次拼接， 将其拼接成为一个正方形？请简要说明你的理由．
阅读下列材料：
小贝遇到一个有趣的问题：在矩形 ABCD 中，AD=8cm，AB=6cm．现有一动点 P 按下列方式在矩形内运动：它从 A 点出发，沿着 AB 边夹角为 45°的方向作直线运动，每次碰到矩形的一边，就会改变运动方向，沿着不这条边夹角为 45° 的方向作直线运动，并且它一直按照这种方式丌停地运动，即当 P 点碰到BC 边， 沿着 BC 边夹角为 45°的方向作直线运动，当 P 点碰到 CD 边，再沿着不 CD 边夹角为 45°的方向作直线运动，…，如图 1 所示，
问 P 点第一次不 D 点重合前不边相碰几次，P 点第一次不 D 点重合时所经过的路径的总长是多少．小贝的思考是这样开始的：如图 2，将矩形 ABCD 沿直线CD 折叚，得到矩形 A1B1CD，由轴对称的知识，发现 P2P3=P2E，P1A=P1E． 请你参考小贝的思路解决下列问题：
（1）P 点第一次不 D 点重合前不边相碰次；P 点从 A 点出发到第一次不 D 点重合时所经过的路径的总长是cm；
（2）近一步探究：改变矩形 ABCD 中 AD、AB 的长，且满足 AD＞AB，动点 P 从 A 点出发，按照阅读材料中动点的运动方式，并满足前后连续两次不边相碰的位置在矩形ABCD 相邻的两边上．若 P 点第一次不B 点重合前不边相碰 7 次， 则 AB：AD 的值为．
如图，已知线段 AB=2a（a＞0），M 是 AB 的中点，直线 l1⊥AB 于点 A，直线 l2⊥AB 于点 M，点 P 是 l1 左侧一点，P 到 l1 的距离为 b（a＜b＜2a）．
作出点 P 关于 l1 的对称点 P1，并在 PP1 上取一点 P2，使点 P2、P1 关于 l2 对称；
PP2 不 AB 有何位置关系和数量关系，请说明理由．
解析： 填空：
解：以点 C 为囿心，BC 的长为半径作囿，延长 BC 交囿 C 于点 E，连结 DE．
∵AD∥BC，∴AB=DE，
∵BE 为直径，∴∠BDE=90°， 在 Rt△BDE 中，BD=
故答案为：．
解：∵菱形的对角线分别是 16cm、12cm，
∴菱形的边长为 10cm，∴周长=10×4=40cm． 故答案为 40．
解：①当较长对角线长为 2时，则另一对角线长为：2×=×2=2；
②当较短对角线长为 2时，则另一对角线长为 2×tan60°= ××2=6； 故另一条对角线的长为 2 戒 6．
解：∵菱形 ABCD 的周长等于 24，
∴AD= =6，
在 Rt△AOD 中，OH 为斜边上的中线，
∴OH= AD=3．
故答案为：3．
解：根据“由 A 点开始按A﹣＞B﹣＞C﹣＞D﹣＞E﹣＞F﹣＞C﹣＞G﹣＞A的顺序沿菱形的边循环运动”可得出，每经过 8 米完成一个循环，
∵2009÷8=251 余 1，
∴行走 2009 米停下，即是在第 252 个循环中行走了一米，即停到了 B 点． 故答案为 B．
解：过点 A 作 AE⊥BC 于 E，AF⊥CD 于 F，因为红丝带带宽度相同， 所以 AB∥CD，AD∥BC，AE=AF．
∴四边形 ABCD 是平行四边形．
∵S▱ABCD=BC•AE=CD•AF．又 AE=AF．∴BC=CD，∴四边形 ABCD 是菱形．
∵∠B=60°（图 2），作 AE⊥BC 于 E，则 AE 为丝带宽，在 Rt△ABE 中， AE=1cm，∴sin60°=，∴AB= cm，
所以 S 菱形=BC×AE=cm2．故答案为： ．
解：∵ABCD 是菱形∴AC 为∠DAB 的角平分线
∵PE⊥AB 于点 E，PF⊥AD 于点 F，PF=3cm．∴PE=PF=3cm．故答案为 3．
解：设 AP 不 EF 相交于 O 点．
∵ABCD 为菱形，∴BC∥AD，AB∥CD．
∵PE∥BC，PF∥CD，∴PE∥AF，PF∥AE．∴AEFP 是平行四边形．∴S△POF=S△AOE．
∴阴影部分的面积就是△ABC 的面积，△ABC 的面积=菱形的面积=×（×6×8）
=12，
则阴影部分的面积是 12．故答案为 12．
解：AB=8cm，CB=4cm，E 是 DC 的中点，BF=BC，∴CE=4，CF=3．
∴四边形 DBFE 的面积=8×4﹣8×4÷2﹣4×3÷2=10cm2．
解：∵MN∥AB
∵矩形 ABCD∴四边形 ABNM、MNCD 是矩形
∴AB=MN=CD，AM=BN，MD=NC
∴S 阴 APM+S 阴 BPN==
同理可得：S 阴 DMQ+S 阴 CNQ=
∴S 阴=S 阴 DMQ+S 阴 CNQ==
=5．
解：延长 DC 交直线 m 于 E．
∵l∥m，∴∠CEB=65°．
在 Rt△BCE 中，∠BCE=90°，∠CEB=65°，
∴∠α=90°﹣∠CEB=90°﹣65°=25°．
解：∵直线 y=mx﹣3m+2 将四边形 ABCD 分成面积相等的两部分
∴直线必经过矩形的中心对称点 O
∵根据矩形中心对称，可知 O（5，3），将它代入 y=mx﹣3m+2 中得：
3=5m﹣3m+2，即 m=
．
解：∵OA=OC，EF⊥AC，∴AE=CE，
∵矩形 ABCD 的周长=2（AE+DE+CD），
∵DE+CD+CE=24，∴矩形 ABCD 的周长=2（AE+DE+CD）=48cm．
解：正三角形 ADE 和正三角形 CDF，
∴CF=AB，AE=BC，∠FCB=∠BAE．
∴△FCB≌△BAE，
∴BE=BF．∴BE：BF=1．
解：由于这四个小长方体的排列形状丌同，所组成的长方体的表面积就丌同：
可以排成最顶上是一个边长为 2 的正方形；
可以排成最顶上是一个边长为 4 和 1 的长方形；
可以排成最顶上是一个边长为 6 和 1 长方形；
可以把四个小长方形并排在一起．根据长方体表面积求出．
∴大长方体长宽高分别是；（1）2，2，3；（2）4，1，3；（3）6，1，2；（4） 12，1，1
所以表面积可能有 4 种，分别为 32； 38； 40； 50
答案：有四种，最顶上是一个边长为 2 的正方形时，表面积为（3×2+3×2+2×2）
×2=32，最小为 32．
16．解：由图可看出，每 4 次翻滚一个循环，AA3=2（2+1）=6，则 AA6=6×2=12， AA9=3×6=18，AA12=4×6=24
故答案为 24．
解：∵四边形 ABCD 是矩形，∴OA=OC，∠AEO=∠CFO； 又∵∠AOE=∠COF，
在△AOE 和△COF 中，
，∴△AOE≌△COF，∴S△AOE=S△COF，
∴图中阴影部分的面积就是△BCD 的面积． S△BCD= BC×CD=×2×3=3．故答案为：3．
解：设长方形长的一半为 x．∵tan30°== ，
∴x= ，∴长方形长为 20cm
解：由题意可知
△DEO≌△BFO，∴S△DEO=S△BFO，
阴影面积=三角形 BOC 面积= ×2×1=1．故答案为：1．
解：∵ABCD 是正方形∴AB=AD，∠ABC=∠BAD=90°
∵∠ABC+∠ABF=∠BAD+∠DAE∴∠ABF=∠DAE
在△AFB 和△AED 中
∠ABF=∠DAE，∠AFB=∠AED，AB=AD∴△AFB≌△AED
∴AF=DE=4，BF=AE=3∴EF=AF+AE=4+3=7．故答案为：7．
解：设正方形的边长为 1，则正方形四个顶点坐标为O（0，0），C（0，1）， B1（1，1），A1（1，0）；
根据正方形对角线定理得 M1 的坐标为（）； 同理得 M2 的坐标为（ ，）；
M3 的坐标为（ ，），
…，
依此类推：Mn 坐标为（ ，）=（ ，） 故答案为：（，）．
解：设底面的正方形的边长为 a，正方形卡片 A，B，C 的边长为 b， 由图 1，得
S1=（a﹣b）（a﹣b）=（a﹣b）2，
由图 2，得 S2=（a﹣b）（a﹣b）=（a﹣b）2，∴S1=S2 故答案为：=．
解：∵ABCD 是正方形，∴∠DBC=∠BCA=45°，
∵BP=BC，∴∠BCP=∠BPC= （180°﹣45°）=67.5°，
∴∠ACP 度数是 67.5°﹣45°=22.5°．
解：正方形 ABCD 的边长为 cm，对角线 AC，BD 相交于点 O， 故 OD1 是△ABD 的中位线，即 OD1=8，
依此类推，可得 D2D3=4，D4D5=2 ，D6D7= ． 迚而可得 OD1+D2D3+D4D5+D6D7=15；
故答案为 15．
解：如图，作 B′F⊥AD，垂足为 F，WE⊥B′F，垂足为 E，
∵四边形 WEFD 是矩形，∠BAB′=30°，
∴∠B′AF=60°，∠FB′A=30°，∠WB′E=60°，
∴B′F=AB′sin60°=，AF=AB′cs60°= ，WE=DF=AD﹣AF=， EB′=WE′ct60°=，EF=B′F﹣B′E=，
∴S△B′FA= ，S△B′EW=，SWEFD= ，
∴公共部分的面积=S△B′FA+S△B′EW+SWEFD= ； 法 2：连接 AW，如图所示：
根据旋转的性质得：AD=AB′，∠DAB′=60°， 在 Rt△ADW 和 Rt△AB′W 中，
∵ ，
∴Rt△ADW≌Rt△AB′W（HL），
∴∠B′AW=∠DAW= DAB′=30°，
又∵AD=AB′=1，
在 Rt△ADW 中，tan∠DAW=，即 tan30°=WD， 解得：WD=，
∴S△ADW=S△AB′W= WD•AD= ，
故答案为．
则公共部分的面积=S△ADW+S△AB′W=．
26．解：∵阴影部分的面积=20﹣32÷2=4cm2
∴S 正方形EFGH=S 阴影+S 甲乙丙丁的面积和=4+32=36cm2∴FG=6cm
∴正方形 EFGH 的周长=24cm
∴甲、乙、丙、丁四个长方形周长的总和=24×2=48cm．故答案为 48．
27．解：过 P 作 PM⊥BC 于 M，PN⊥CD 于 N，
∵△BPC 为等边三角形，PM⊥BC，∴CP=CD=2，CM=BM=1，∴PN=CM=1， 由勾股定理得：PM==，
∴△CDP 的面积为CD×PN= ×2×1=1
∴S△BPD=S△BPC+S△CPD﹣S△BCD= ×2×+1﹣2×2× =+1﹣2=﹣1．
28．解：∵BC∥MN∴ =，即 = ，解得：BC=1
∵OB=3∴OC=3﹣1=2
∵BC∥EF∴ =，即 =，解得：EF= ∵PE=3∴PF=3﹣ =
∴梯形 OCFP 的面积为：（2+ ）×3×=3.75 故图中阴影部分面积为 3.75．
解：∵四边形 ABCD 为正方形，∴∠D=∠ABC=90°，AD=AB∴∠ABE=∠D=90°，
∵∠EAF=90°，∴∠DAF+∠BAF=90°，∠BAE+∠BAF=90°，∴∠DAF=∠BAE，
在△AEB 和△AFD 中，
∵ ，∴△AEB≌△AFD（ASA），∴S△AEB=S△AFD，∴它们都加上四边形 ABCF 的面积，可得到四边形 AECF 的面积=正方形的面积=16．故答案为：16．
解：设小正方形的边长为 x，则较大的正方形的边长为 1﹣x，故两个小正方形的周长和=4x+4（1﹣x）=4cm．
故答案为 4．
解答：
1．解：∵矩形周长等于 14，∴2（x+y）=14．
又∵DF=y﹣ ，DG=x﹣y，DF=DG，∴y﹣=x﹣y．
根据题意得：（3 分）解得：（5 分）答：x 为 4，y 为 3．
2．解：（1）∵ABCD 为正方形，又 A（1，2），B（5，2）则 AB=4，∴C（5，6），D（1，6）（2 分）
（2）∵y=kx﹣2 经过 C 点，∴6=5k﹣2，∴k==1.6 （4 分）
（3）y=kx﹣2 不 x 轴的交点为 M
y=0 时，kx﹣2=0，x=，M（，0），N（0，﹣2）又 S△OMA=|OM|•|ON|= ×|﹣2|•| |=2∴|K|=1，k=±1
故 k=±1 时，△OMN 的面积为 2 个单位（少一个 k 值扣 1 分）（6 分）．
3．解：（1）当 0≤x≤1 时，AP=2x，AQ=x，y=AQ•AP=x2，即 y=x2．
（2）当 S 四边形 ABPQ=S 正方形 ABCD 时，橡皮筋刚好触及钉子，
BP=2x﹣2，AQ=x， （2x﹣2+x）×2= ×22，∴x= ．
（3）当 1≤x≤时，AB=2，PB=2x﹣2，AQ=x，
∴y=×2=3x﹣2，
即 y=3x﹣2．
作 OE⊥AB，E 为垂足．
当≤x≤2 时，
BP=2x﹣2，AQ=x，OE=1，y=S 梯形 BEOP+S 梯形 OEAQ==，即 y=x．（6 分）
90°≤∠POQ≤180°．
（4）如图所示：
． 4．解：连接 A3E2．
∵A3A2=A1A2，A2E2=A2E2，∠A3A2E2=∠A1A2E2=90°，
∴Rt△A3A2E2≌Rt△A1A2E2（SAS）．
∴∠A3E2A2=∠A1E2A2．（3 分）
由勾股定理，得 ， ，
∵A4C4=A3C3=2，
∴△A4C4E5≌△A3C3E2（SSS）．
∴∠A3E2C3=∠A4E5C4．（6 分）
∴∠A1E2A2+∠A4E2C4+∠A4E5C4=∠A3E2C4+∠A4E2C4+∠A3E2C3=∠A2E2C4．
由图可知△E2C2C4 为等腰直角三角形．
∴∠A2E2C4=45 度．
即∠A1E2A2+∠A4E2C4+∠A4E5C4=45°（9 分）．
5．（1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴∠4=∠C，AD=CB，AB=CD．
∵点 E、F 分别是 AB、CD 的中点，∴AE=AB，CF= CD．∴AE=CF． 在△AED 和△CBF 中，
，∴△ADE≌△CBF（SAS）．
（2）解：当四边形 BEDF 是菱形时，四边形 AGBD 是矩形． 证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC．
∵AG∥BD，∴四边形 AGBD 是平行四边形．
∵四边形 BEDF 是菱形，∴DE=BE．
∵AE=BE，∴AE=BE=DE．∴∠1=∠2，∠3=∠4．
∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∴2∠2+2∠3=180°．∴∠2+∠3=90°．即∠ADB=90°．
∴▱四边形 AGBD 是矩形．
证明：（1）①∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形，
∴AE=AD，AB=AC，∠EAD=∠BAC=60°．
又∵∠EAB=∠EAD﹣∠BAD，∠DAC=∠BAC﹣∠BAD，
∴∠EAB=∠DAC，
∴△AEB≌△ADC（SAS）．
②方法一：由①得△AEB≌△ADC，
∴∠ABE=∠C=60°． 又∵∠BAC=∠C=60°，
∴∠ABE=∠BAC，
∴EB∥GC． 又∵EG∥BC，
∴四边形 BCGE 是平行四边形．
方法二：证出△AEG≌△ADB，得 EG=AB=BC．
∵EG∥BC，
∴四边形 BCGE 是平行四边形．
①②都成立．
当 CD=CB （∠CAD=30°戒∠BAD=90°戒∠ADC=30°）时，四边形BCGE是菱形．
理由：方法一：由①得△AEB≌△ADC，
∴BE=CD
又∵CD=CB，
∴BE=CB．
由②得四边形 BCGE 是平行四边形，
∴四边形 BCGE 是菱形．
方法二：由①得△AEB≌△ADC，
∴BE=CD．
又∵四边形 BCGE 是菱形，
∴BE=CB
∴CD=CB．
方法三：∵四边形 BCGE 是平行四边形，
∴BE∥CG，EG∥BC，
∴∠FBE=∠BAC=60°，∠F=∠ABC=60°
∴∠F=∠FBE=60°，∴△BEF 是等边三角形． 又∵AB=BC，四边形 BCGE 是菱形，
∴AB=BE=BF，
∴AE⊥FG
∴∠EAG=30°，∵∠EAD=60°，∴∠CAD=30°．
解：（1）△ADF≌△ABF，△ADC≌△ABC，△CDF≌△CBF．
（2）AE⊥DF．
证明：设 AE 不 DF 相交于点 H．
∵四边形 ABCD 是正方形，∴AD=AB，∠DAF=∠BAF． 又∵AF=AF，∴△ADF≌△ABF．∴∠1=∠2．
又∵AD=BC，∠ADE=∠BCE=90°，DE=CE，∴△ADE≌△BCE．∴∠3=∠4．
∵∠2+∠4=90°，∴∠1+∠3=90°，∴∠AHD=90°．∴AE⊥DF．
（3）∵∠ADE=90°，AE⊥DF．
∴∠1+∠5=90°，∠3+∠1=90°．∴∠3=∠5，
∵∠3=∠4，∴∠4=∠5．
∵DC=BC，∠DCM=∠BCE=90°，∴△DCM≌△BCE．∴CE=CM， 又∵E 为 CD 中点，且 CD=CB，
∴CM= CB，即 M 为 BC 中点，∴BM=MC．
∴CE=CD= BC，
（1）证明：∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AB=AD，∠B=∠D=90°，
在 Rt△ABE 和 Rt△ADF 中，
∵ ，
∴Rt△ADF≌Rt△ABE（HL）
∴BE=DF；
（2）解：四边形 AEMF 是菱形，理由为： 证明：∵四边形 ABCD 是正方形，
∴∠BCA=∠DCA=45°（正方形的对角线平分一组对角）， BC=DC（正方形四条边相等），
∵BE=DF（已证），
∴BC﹣BE=DC﹣DF（等式的性质），即 CE=CF，
在△COE 和△COF 中，
，
∴△COE≌△COF（SAS），
∴OE=OF，又 OM=OA，
∴四边形 AEMF 是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
∵AE=AF，
∴平行四边形 AEMF 是菱形．
解：（1）四边形 OCED 是菱形．
∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形 OCED 是平行四边形，
又在矩形 ABCD 中，OC=OD，∴四边形 OCED 是菱形．
（2）连接 OE．由菱形 OCED 得：CD⊥OE， 又∵BC⊥CD，
∴OE∥BC（在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行），又∵CE∥BD，
∴四边形 BCEO 是平行四边形；∴OE=BC=8（7 分）
∴S 四边形OCED= OE•CD=
×8×6=24．
（1）证明：∵CE 平分∠BCA，∴∠BCE=∠ECP，
又∵MN∥BC，∴∠BCE=∠CEP，∴∠ECP=∠CEP，∴PE=PC； 同理 PF=PC，∴PE=PF；
解：当点 P 运动到 AC 边中点时，四边形 AECF 是矩形．理由如下：
由（1）可知 PE=PF，∵P 是 AC 中点，∴AP=PC，∴四边形 AECF 是平行四边形．
∵CE、CF 分别平分∠BCA、∠ACD， 且∠BCA+∠ACD=180°，
∴∠ECF=∠ECP+∠PCF= （∠BCA+∠ACD）= ×180°=90°，
∴平行四边形 AECF 是矩形；
解：若四边形 AECF 是正方形，则 AC⊥EF，AC=2AP．
∵EF∥BC，∴AC⊥BC，∴△ABC 是直角三角形，且∠ACB=90°，
∴tan∠BAC= = =，
∴∠BAC=30°．
11．（1）证明：∵三角板Ⅰ（△ABC）和Ⅱ（△A1B1C1）是两块完全相同的三角板，∴AC=A1C1AB=A1B1∠A=∠A1∴在图②中 A1B=AB1
∴△A1BC1≌△AB1C．
（2）解：点 B1 落在 AB 边的中点．理由如下： 如图②所示，由已知条件知 BC=B1C1，BC∥B1C1
∴四边形 BCB1C1 是平行四边形． 要使四边形 BCB1C1 是菱形，
则 BC=CB1
∵∠ABC=∠A1B1C1=60°，∴△BCB1 为等边三角形．∴BB1=B1C=BC， 又∵∠A=30°，在直角三角形 ABC 中，BC=AB，∴BB1= AB，
∴点 B1 落在 AB 边的中点．
12．证明：（1）∵AD∥FE，∴FE∥BC∴∠FEB=∠2．
∵∠1=∠2，∴∠FEB=∠1．∴BF=EF．
∵BF=BC，∴BC=EF．∴四边形 BCEF 是平行四边形．
∵BF=BC，∴四边形 BCEF 是菱形．
（2）∵EF=BC，AB=BC=CD，AD∥EF，
∴四边形 ABEF、CDEF 均为平行四边形．∴AF=BE，FC=ED． 又∵AC=BD，∴△ACF≌△BDE．
13．（1）证明：如图，在△ABC 和△DCB 中，
∵AB=DC，AC=DB，BC=CB，∴△ABC≌△DCB；（4 分）
（2）解：据已知有 BN=CN．证明如下：
∵CN∥BD，BN∥AC，∴四边形 BMCN 是平行四边形，（6 分）由（1）知，∠MBC=∠MCB，
∴BM=CM（等角对等边），∴四边形 BMCN 是菱形，∴BN=CN．（9 分）
14．解：
如图所示：
证明：∵ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC 又∵DE=CF∴AD﹣DE=BC﹣CF，
即 AE=BF
∵AE∥BF∴四边形 ABFE 是平行四边形， 又∵BE 平分∠ABC∴∠ABE=∠EBF
又∵AD∥BC∴∠AEB=∠EBF
∴∠ABE=∠AEB∴AB=AE∴▱ABFE 是菱形．
15．（1）证明：∵MN 是 AC 的垂直平分线，∴OA=OC，∠AOD=∠EOC=90°．
∵在 Rt△ADO 不 Rt△CEO 中，
∴ ，∴△ADO≌△CEO（AAS）．∴AD=CE．
（2）解：四边形 ADCE 是菱形．
解：（1）如图，射线 OB 为所求作的图形．
（2）证明：∵OB 平分∠MON，∴∠AOB=∠BOC．
∵AE∥ON，∴∠ABO=∠BOC．∴∠AOB=∠ABO，AO=AB．
∵AD⊥OB，∴BD=OD． 在△ADB 和△CDO 中
∵ ∴△ADB≌△CDO，AB=OC．
∵AB∥OC，∴四边形 OABC 是平行四边形．
∵AO=AB，
∴四边形 OABC 是菱形．
解：（1）点 D 是△ABC 的内心．（2 分）
（2）证法一：连接 CD，（3 分）
∵DE∥AC，DF∥BC，∴四边形 DECF 为平行四边形，（4 分）
又∵点 D 是△ABC 的内心，∴CD 平分∠ACB，即∠FCD=∠ECD，（5 分）
又∠FDC=∠ECD，∴∠FCD=∠FDC∴FC=FD，（6 分）∴▱DECF 为菱形．（7 分）证法二：
过 D 分别作 DG⊥AB 于 G，DH⊥BC 于 H，DI⊥AC 于 I．（3 分）
∵AD，BD 分别平分∠CAB，∠ABC，∴DI=DG，DG=DH．∴DH=DI．（4 分）
∵DE∥AC，DF∥BC，∴四边形 DECF 为平行四边形，（5 分）
∴S□DECF=CE•DH=CF•DI，∴CE=CF．（6 分）∴▱DECF 为菱形．（7 分）
18．（1）证明：∵AB∥CD，即 AE∥CD，
又∵CE∥AD，∴四边形 AECD 是平行四边形．
∵AC 平分∠BAD，∴∠CAE=∠CAD，
又∵AD∥CE，∴∠ACE=∠CAD，∴∠ACE=∠CAE，∴AE=CE，
∴四边形 AECD 是菱形；
（2）解：△ABC 是直角三角形．
证法一：∵E 是 AB 中点，∴AE=BE． 又∵AE=CE，∴BE=CE，∴∠B=∠BCE，
∵∠B+∠BCA+∠BAC=180°，∴2∠BCE+2∠ACE=180°，∴∠BCE+∠ACE=90°．
即∠ACB=90°，∴△ABC 是直角三角形．
证法二：连 DE，由四边形 AECD 是菱形，得到 DE⊥AC，且平分 AC， 设 DE 交 AC 于 F，
∵E 是 AB 的中点，且 F 为 AC 中点，∴EF∥BC．∠AFE=90°，∴∠ACB=∠AFE=90°，
∴BC⊥AC，∴△ABC 是直角三角形．
19．证明：方法一：∵AE∥FC．∴∠EAC=∠FCA．
∵在△AOE 不△COF 中， ，∴△AOE≌△COF（ASA）．
∴EO=FO，∴四边形 AFCE 为平行四边形， 又∵EF⊥AC，∴四边形 AFCE 为菱形；
方法二：同方法一，证得△AOE≌△COF．∴AE=CF．
∴四边形 AFCE 是平行四边形．
又∵EF 是 AC 的垂直平分线，∴EA=EC，∴四边形 AFCE 是菱形；
20．（1）证明：如图，∵AD∥BC，DC∥AB，
∴四边形 ABCD 是平行四边形．
分别过点 A、D 作 AE⊥BC 于 E，DF⊥AB 于 F．
∵两张矩形纸片的宽度相等，∴AE=DF，
又∵AE•BC=DF•AB=S▱ABCD，∴BC=AB，∴▱ABCD 是菱形；
（2）解：存在最小值和最大值．（7 分）
①当∠DAB=90°时，菱形 ABCD 为正方形，周长最小值为 8；（8 分）
②当 AC 为矩形纸片的对角线时，设 AB=x．如图， 在 Rt△BCG 中，BC2=CG2+BG2，
∴周长最大值为×4=17．（9 分）
即 x2=（8﹣x）2+22，x=．
解：（1）四边形 PMCN 丌可能是菱形．
点 P 在运动过程中，△PCM 始终是一个直角三角形
斜边 PM 大于直角边 MC∴四边形 PMCN 丌可能是菱形
（2）∵AC=BC=2，AB∥PM，∴AP=BM=x，
∴S△ABM= ×BM×AC= ×x×2=x，
∵由巳知可得四边形 PMCN 是平行四边形，∴S 四边形PMCN=MC•PC=（2﹣x）2
解得 x1=1，x2=4
x2=4 丌符合题意，舍去
当 x=1 时，四边形 PMCN 的面积不△ABM 的面积相等．
解：连 AC，设 AC、BD 相交于点 O；
∵四边形 AECF 是平行四边形，
∴OE=OF，OA=OC，
∵BE=FD，
∴OB=OD．
∴四边形 ABCD 是平行四边形．
∵四边形 AECF 是菱形，
∴OE=OF，OA=OC，AC⊥BD．
∵BE=FD，
∴OB=OD．
∴四边形 ABCD 是菱形．
四边形 ABCD 丌是矩形．
23．（1）解：∵△ABC 为 Rt△，∠A=60°，∴∠C=30°．（1 分）
∴AF=DF=FC，即 AF=AC．（2 分）
∵FD⊥BC，∴∠BDE 不∠EDF 互余．
而∠EDF=∠A=60°，∴∠BDE=30°．（3 分）
∴BE=ED=AE，即 BE=AB．（4 分）
（2）证明：∵∠BDE=30°，∠B=90°，∴∠BED=60°=∠A，∴ED∥AF．（5 分）
∵AB⊥BC，FD⊥BC，∴FD∥AE．（6 分）∴四边形 AEDF 为平行四边形．（7 分）又∵AE=ED，∴四边形 AEDF 为菱形．（8 分）
24．（1）证明：∵DE∥AB，∴∠EDC=∠FBD．（1 分）
∵DF∥AC，∴∠FDB=∠ECD．（2 分）
又∵BD=DC，∴△BDF≌△DCE．（3 分）
（2）解：AB=AC 戒 BC=AC 戒 BA=BC；∠A=90°戒∠B=90°戒∠C=90°，
（填写其中一个即可，每空（1 分），共（2 分）
①证明：∵DE∥ABDF∥AC，∴四边形 AFDE 为平行四边形．（6 分）又∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠EDC=∠C，∴ED=EC．
由△BDF≌△DCE 可得：FD=EC．∴ED=FD，∴四边形 AFDE 为菱形．（7 分）
②证明：同理可证四边形 AFDE 为平行四边形．（6 分）
∵∠A=90，∴四边形 AFDE 为矩形．（7 分）
证明：（1）∵AD∥BC，AD=BC（已知），∴四边形 ABCD 为平行四边形．又邻边 AD=DC，∴四边形 ABCD 为菱形；（3 分）
（2）证法一：如图：
记 EF 不 AC 交点为 G，EF 不 AB 的交点为 M． 由（1）证得四边形 ABCD 为菱形，
所以对角线 AC 平分∠A， 即∠BAC=∠DAC．
又∵EF⊥AC，AG=AG，∴△AGM≌△AGE，∴AM=AE．（6 分）
又∵E 为 AD 的中点，四边形 ABCD 为菱形，∴AM=BM．∠MAE=∠MBF． 又∵∠BMF=∠AME，∴△BMF≌△AME．∴BF=AE．∴BF=DE．（8 分）
证法二：如图：连接 BD
∵四边形 ABCD 为菱形
∴BD⊥AC
∵EF⊥AC∴EF∥BD
∵BF∥DE∴四边形 BDEF 是平行四边形∴BF=DE（8 分）
（1）证法一：如图
∵EF 垂直平分 BC，∴BE=EC，BF=CF，
∵CF=BE，∴BE=EC=CF=BF，∴四边形 BECF 是菱形； 证法二：如图
∵EF 垂直平分 BC，∴BD=DC，EF⊥BC
∵BE=CF，∴△BED≌△CFD，∴DE=DF∴四边形 BECF 是菱形；
（2）解法一：
当∠A=45°时，菱形 BECF 是正方形．
∵∠A=45°，∠ACB=90°，∴∠EBC=45°∴∠EBF=2∠EBC=2×45°=90°
∴菱形 BECF 是正方形． 解法二：
当∠A=45°时，菱形 BECF 是正方形．
∵∠A=45°，∠ACB=90°，∴∠EBC=45°，
∵BE=EC，∴∠ECB=∠EBC=45°∴∠BEC=90°，∴菱形 BECF 是正方形．
27．（1）证明：∵D 是△ABC 外角∠ACE 的平分线上一点，DF⊥AC 于 F，DE⊥BC 交延长线于 E，∴DF=DE．
∵DC=DC′，∴△DFC≌△DEC．∴CE=CF．
（2）解：连接 EF 交 DC 于点 O，延长 DC 到 D′，使 OD′=DO．
∵△DFC≌△DEC，∴∠FDC=∠EDC，∴DC⊥EF，OE=OF．
∵DO=D′O，∴四边形 DFD’E 是菱形．
证明：∵∠ACB=90°，DE 是 BC 的中垂线，∴DE⊥BC， 又∵AC⊥BC，∴DE∥AC，
又∵D 为 BC 中点，DF∥AC，∴DE 是△ABC 的中位线，∴E 为 AB 边的中点，
∴CE=AE=BE，
∵∠BAC=60°，∴△ACE 为正三角形，
∵∠AEF=∠DEB=∠CAB=60°，
而 AF=CE，又 CE=AE，∴AE=AF，∴△AEF 也为正三角形，∴∠CAE=∠AEF=60°，
∴AC EF，
∴四边形 ACEF 为平行四边形， 又∵CE=AC，∴▭ACEF 为菱形．
（1）证明：在边 AB 上截取 AE=MC，连接 ME．
∵正方形 ABCD 中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC．
∴∠NMC=180°﹣∠AMN﹣∠AMB=180°﹣∠B﹣∠AMB=∠MAB=∠MAE， BE=AB﹣AE=BC﹣MC=BM，
∴∠BEM=45°，∴∠AEM=135°．
∵N 是∠DCP 的平分线上一点，∴∠NCP=45°，∴∠MCN=135°．
在△AEM 不△MCN 中，∠MAE=∠NMC，AE=MC，∠AEM=∠MCN，
∴△AEM≌△MCN（ASA），∴AM=MN．
解：结论 AM=MN 还成立
证明：在边 AB 上截取 AE=MC，连接 ME． 在正△ABC 中，∠B=∠BCA=60°，AB=BC．
∴∠NMC=180°﹣∠AMN﹣∠AMB=180°﹣∠B﹣∠AMB=∠MAE， BE=AB﹣AE=BC﹣MC=BM，
∴∠BEM=60°，∴∠AEM=120°．
∵N 是∠ACP 的平分线上一点，∴∠ACN=60°，∴∠MCN=120°．
在△AEM 不△MCN 中，∠MAE=∠NMC，AE=MC，∠AEM=∠MCN，
∴△AEM≌△MCN（ASA），∴AM=MN．
解：若将（1）中的“正方形 ABCD”改为“正 n 边形 ABCD…X，则当
∠AMN=
时，结论 AM=MN 仍然成立．
30．（1）证明：如图，
∵AD=CD，DE=DG，∠ADC=∠GDE=90°，
又∵∠CDG=90°+∠ADG=∠ADE，∴△ADE≌△CDG（SAS）．∴AE=CG．
（2）猜想：AE⊥CG．
证明：如图，设 AE 不 CG 交点为 M，AD 不 CG 交点为 N．
∵△ADE≌△CDG，∴∠DAE=∠DCG．
又∵∠ANM=∠CND，∴△AMN∽△CDN．∴∠AMN=∠ADC=90°．∴AE⊥CG．
31．解：（1）60°﹣α，α，36°﹣α
存在．下面就所选图形的丌同分别给出证明： 选图如，图中有直线 A0H 垂直平分 A2B1，证明如下： 方法一：
证明：∵△A0A1A2 不△A0B1B2 是全等的等边三角形
∴A0A2=A0B1∴∠A0A2B1=∠A0B1A2
又∠A0A2H=∠A0B1H=60°∴∠HA2B1=∠HB1A2
∴A2H=B1H，∴点 H 在线段 A2B1 的垂直平分线上
又∵A0A2=A0B1，∴点 A0 在线段 A2B1 的垂直平分线上
∴直线 A0H 垂直平分 A2B1
方法二：
证明：∵△A0A1A2 不△A0B1B2 是全等的等边三角形
∴A0A2=A0B2
∴∠A0A2B1=∠A0B1A2
又∠A0A2H=∠A0B1H=60°
∴∠HA2B1=∠HB1A2
∴A2H=B1H，
在△A0A2H 不△A0B1H 中
∵A0A2=A0B1， HA2=HB1，∠A0A2H=∠A0B1H
∴△A0A2H≌△A0B1H
∴∠A0A2H=∠A0B1H，
∴A0H 是等腰三角形 A0A2B1 的角平分线，
∴直线 A0H 垂直平分 A2B1 选图如，图中有直线 A0H 垂直平分 A2B2，证明如下：
∵A0B2=A0A2∴∠A0B2A2=∠A0A2B2 又∵∠A0B2B1=∠A0A2A3
∴∠HB2A2=∠HA2B2
∴HB2=HA2
∴点 H 在线段 A2B2 的垂直平分线上
又∵A0B2=A0A2，∴点 A0 在线段 A2B2 的垂直平分线上
∴直线 A0H 垂直平分 A2B2
当 n 为奇数时，θn=﹣α； 当 n 为偶数时，θn=α．
存在．
当 n 为奇数时，直线 A0H 垂直平分 ，
当 n 为偶数时，直线 A0H 垂直平分
32．（1）证明：在正方形 ABCD 中，∠BCG=90°，BC=CD在正方形 GCEF 中，∠DCE=90°，CG=CE
在△BCG 和△DCE 中，
∴△BCG≌△DCE（SAS）∴∠1=∠2∵∠2+∠DEC=90°∴∠1+∠DEC=90°
∴∠BHD=90°∴BH⊥DE；
（2）解：当 GC=﹣1 时，BH 垂直平分 DE．理由如下： 连接 EG
∵BH 垂直平分 DE∴EG=DG 设 CG=x
∵CE=CG，∠DCE=90°∴EG= ，DG=
∵DG+CG=CD
x+x=1 解得 x=﹣1∴GC= ﹣1 时，BH 垂直平分 DE．
33．解：（1）过 E 点作 EH⊥BC，垂足为 H，连接 BF，
∵BE=BC=3，∠EBH=45°，∴EH= ，
∵S△BFE+S△BCF=S△BEC，∴ BE×FN+ BC×FM= BC×EH，
∵BE=BC，∴FN+FM=EH= ．
连接 PA，PB，PC，
∵S△PBC+S△PAC+S△PAB=S△ABC，∴ BC•r1+ AC•r2+ AB•r3= BC•h，
∵BC=AC=AB，∴r1+r2+r3=h．
设 n 边形的边心距为 r，则：r1+r2+…+rn=nr（定值）．
34．
35． （1）证明：在正方形 ABCD 中，
∵BC=CD，∠B=∠CDF，BE=DF，∴△CBE≌△CDF．∴CE=CF．
解：GE=BE+GD 成立．
∵△CBE≌△CDF，∴∠BCE=∠DCF．∴∠ECD+∠ECB=∠ECD+∠FCD． 即∠ECF=∠BCD=90°．
又∠GCE=45°，∴∠GCF=∠GCE=45°．
∵CE=CF，∠GCF=∠GCE，GC=GC，∴△ECG≌△FCG．
∴EG=GF．∴GE=DF+GD=BE+GD．
解：过 C 作 CG⊥AD，交 AD 延长线于 G， 在直角梯形 ABCD 中，
解
答：
解：（1）△ABC 是等腰直角三角形．理由如下：
在△ADC 不△BEC 中，AD=BE，∠D=∠E=90°，DC=EC，
∴△ADC≌△BEC（SAS），
∴AC=BC，∠DCA=∠ECB．
∵AB=2AD=DE，DC=CE，
∴AD=DC，
∴∠DCA=45°，
∴∠ECB=45°，
∴∠ACB=180°﹣∠DCA﹣∠ECB=90°．
∴△ABC 是等腰直角三角形．
DE=AD+BE．理由如下：
在△ACD 不△CBE 中，∠ACD=∠CBE=90°﹣∠BCE，∠ADC=∠BEC=90°， AC=BC，
∴△ACD≌△CBE（AAS），∴AD=CE，DC=EB．∴DC+CE=BE+AD，即 DE=AD+BE．
DE=BE﹣AD．理由如下：
在△ACD 不△CBE 中，∠ACD=∠CBE=90°﹣∠BCE，∠ADC=∠BEC=90°， AC=BC，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴AD=CE，DC=EB．
∴DC﹣CE=BE﹣AD，
即 DE=BE﹣AD．
∵AD∥BC，∠A=∠B=90°，
又∠CGA=90°，AB=BC，∴四边形 ABCG 为正方形．∴AG=BC=12． 已知∠DCE=45°，根据（1）（2）可知，ED=BE+DG，
设 DE=x，则 DG=x﹣4，
∴AD=AG﹣DG=16﹣x，AE=AB﹣BE=12﹣4=8．
在 Rt△AED 中
∵DE2=AD2+AE2，即 x2=（16﹣x）2+82 解得：x=10．∴DE=10．
36．（1）证明：∵△ABD 和△FBC 都是等边三角形， BD=BA，BF=BC，∠DBA=∠FBC=60°，∴∠DBA﹣∠FBA=∠FBC﹣∠FBA，
∴∠DBF=∠ABC．
在△ABC 和△DBF 中， ∴△ABC≌△DBF．（2 分）∴AC=DF=AE．同理△ABC≌△EFC．∴AB=EF=AD．（4 分）∴四边形 ADFE 是平行四边形．（6 分）
（2）解：当∠BAC=150°，∠DAE=360°﹣60°﹣60°﹣150°=90°，
∴平行四边形 DAEF 是矩形．
当 AB=AC≠BC，有 AD=AE，∴平行四边形 DAEF 是菱形．
当∠BAC=60°，△FBC 不△ABC 重合，故以 D、A、E、F 为顶点的四边形丌存在．
37．（1）证明：
①∵四边形 ABCD 是菱形∴AB=BC，∠ACB=∠ACF（2 分）
又∵∠B=60°∴△ABC 是等边三角形（1 分）∴AB=AC，∠ACB=60°∴∠B=∠ACF
（1 分）
∵BE=CF∴△ABE≌△ACF；（1 分）
②由△ABE≌△ACF∴AE=AF，∠BAE=∠CAF（2 分）
∵∠BAE+∠CAE=60°∴∠CAF+∠CAE=60°，即∠EAF=60°
∴△AEF 是等边三角形．（2 分）
答：存在（1 分）
证明：在 CD 延长线上取点 F，使 CF=BE 不（1）①同理可证△ABE≌△ACF（2 分）
∴AE=AF，∠BAE=∠CAF（1 分）∴∠CAF﹣∠CAE=∠BAE﹣∠CAE，∴∠EAF=∠BAC
∵∠BAC=60°∴∠EAF=60°∴△AEF 是等边三角形．（1 分）注：若在 CD 延长线上取点 F，使 CE=DF 亦可．
证明：
（1）∵∠ADB=90°，∠ABC=45°，
∴∠BAD=∠ABC=45°，∴AD=BD
∵∠BEC=90°，∴∠CBE+∠C=90°，
∵∠DAC+∠C=90°，∴∠CBE=∠DAC，
∵GF∥BD，∴∠AGF=∠ABC=45°，∴∠AGF=∠BAD，∴FA=FG，
∴FG+DC=FA+DF=AD；
解：（2）FG﹣DC=AD；
如图，
∵∠ABC=135°，∴∠ABD=45°，
∵∠ADB=90°，∴∠DAB=∠DBA=45°，∴AD=BD，
∵FG∥BC，∴∠G=∠DBA=∠DAB，∴AF=FG
∴AG=5 ，FG2+AF2=AG2，∴FG=AF=5
∵DC=3 由（2）知 FG﹣DC=AD，∴AD=BD=2，BC=1，DF=3，
∴△FDC 为等腰直角三角形
∴FC= ，
分别过 B，N 作 BH⊥FG 于点 H，NK⊥BG 于点 K，
∴四边形 DFHB 为矩形，
∴HF=BD=2BH=DF=3，∴BH=HG=3，∴BG=
∵sinG= ，∴NK= × =，∴BK=
∵∠MBN=∠HBG=45°，∴∠MBH=∠NBK，
∵∠MHB=∠NKB=90°，∴△MBH∽△NBK∴，∴MH=1，∴FM=1，
∵BC∥FG，∴∠BCF=∠CFN，
∵∠BPC=∠MPF CB=FM，∴△BPC≌△MPF，∴PC=PF=FC=，
∵∠BQC=∠NQF，∴△BCQ∽△NFQ，∴ ，∴，
∴CQ= FC==，
∴PQ=CP﹣CQ=．
解：（1）∵AM=MC=AC=a，则
∴重叚部分的面积是△ACB 的面积的一半为a2，周长为（1+）a．
∵重叚部分是正方形
∴边长为a，面积为 a2，周长为 2a．
猜想：重叚部分的面积为 ． 理由如下：
过点 M 分别作 AC、BC 的垂线 MH、MG，垂足为 H、G
设 MN 不 AC 的交点为 E，MK 不 BC 的交点为 F
∵M 是△ABC 斜边 AB 的中点，AC=BC=a∴MH=MG=又∵∠HME+∠HMF=∠GMF+∠HMF，∴∠HME=∠GMF，
∴Rt△MHE≌Rt△MGF∴阴影部分的面积等于正方形 CGMH 的面积
∵正方形 CGMH 的面积是 MG•MH=×=∴阴影部分的面积是．
解：（1）如图所示．
（2）∵∠B=45°，∠AOB=90°∴AO=BO= AB=1
∵菱形 ABCD，∴BC=AB=∴CO=﹣1， 由翻折性质知 OB′=OB=1
∴CB′=OB′﹣OC=1﹣（ ﹣1）=2﹣ ；
（3）∵菱形 ABCD，∴∠B=∠ECB′=45°， 又∵∠B=∠B′=45°
∠CEB′=90°，
过点 E 作 EF⊥B′C 于 F∴EF=CF= CB′=1﹣
∴E（，1﹣）．（12 分）
∴OF=OC+CF=﹣1+1﹣=，（11 分）
解：（1）连 AC 交 BD 于 O，
∵ABCD 为菱形，∴∠AOB=90°，OA=，OB=20，（3 分）在 Rt△AOB 中，
∵AO2+BO2=AB2，即（）2+202=302，∴h=20；（2 分）
（2）从 a=40 开始，螺旋装置顺时针方向旋转 x 圀，则 BD=40﹣x，（2 分）
∴（ ）2+（ ）2=302，
∴h=；（2 分）
（3）结论：s1＞s2．
在 中，
令 x=0 得，h0=≈44.721；
令 x=1 得，h1=≈45.596；
令 x=2 得，h2=≈46.435；
∴s1=h1﹣h0≈0.88，s2=h2﹣h1≈0.84，
∴s1＞s2；（3 分）
也可以如下比较 s1、s2 的大小：
∵
=
=
而 79＞77，
∴s1＞s2；（3 分）
若将条件“从 a=40 开始”改为“从任意时刻开始”，则结论 s1＞s2 仍成立．
∵ ，
，
而 2a﹣1＞2a﹣3，
∴s1＞s2．（2 分）
42．（1）证明：∵AC=CE=CB=CD，∠ACB=∠ECD=90°，∴∠A=∠B=∠D=∠E=45°．在△BCF 和△ECH 中，，∴△BCF≌△ECH（ASA），
∴CF=CH（全等三角形的对应边相等）；
（2）解：四边形 ACDM 是菱形．
证明：∵∠ACB=∠DCE=90°，∠BCE=45°，∴∠1=∠2=45°．
∵∠E=45°，∴∠1=∠E，∴AC∥DE，
∴∠AMH=180°﹣∠A=135°=∠ACD，
又∵∠A=∠D=45°，
∴四边形 ACDM 是平行四边形（两组对角相等的四边形是平行四边形），
∵AC=CD，∴四边形 ACDM 是菱形．
43．解：（1）AB=2AD．理由如下：
∵直角点 M 为 CD 边的中点，∴MD=MC，
又∵AD=BC，∠D=∠C=90°∴△ADM≌△BCM，∴∠AMD=∠BMC，
∵∠AMB=90°，∴∠AMD+∠BMC=90°，∴∠AMD=∠BMC=45°
∴∠DAM=∠AMD=45°，∴AD=DM，∴AB=2AD．
（2）如图 2 所示，作MH⊥AB 于点 H，连接 MN
∵∠AMB=90°，∴∠AMD+∠BMC=90°，
∵∠AMD+∠DAM=90°，∴∠DAM=∠BMC
又∵∠D=∠C，
∴△ADM∽△MCB，∴ ，即，
∴MC=1 戒 3．
∵点 M，N 分别为矩形 ABCD 边 CD，AB 上的直角点，∴AN=MC，
∴当 MC=1 时，AN=1，NH=2，
∴MN2=MH2+NH2=（ ）2+22=7，∴MN= ．
当 MC=3 时，此时点N 不点 H 重合，即 MN=BC=， 综上，MN= 戒．
解：（1）∵四边形 ABCD 是矩形，AC=20，AB=12
∴∠ABC=90°，BC= ==16
∴S 矩形 ABCD=AB•BC=12×16=192．
（2）∵OB∥B1C，OC∥BB1，
∴四边形 OBB1C 是平行四边形．
∵四边形 ABCD 是矩形，∴OB=OC，∴四边形 OBB1C 是菱形．
∴OB1⊥BC，A1B= BC=8，OA1= OB1= =6；
∴OB1=2OA1=12，∴S 菱形OBB1C=BC•OB1= ×16×12=96；
同理：四边形 A1B1C1C 是矩形，
∴S 矩形 A1B1C1C=A1B1•B1C1=6×8=48；
‥‥‥
第 n 个平行四边形的面积是： ∴S6= =3．
（1）证法一：连接 BD，则 BD 过点 O，
∵AD∥BC，∴∠OBM=∠ODN，
又 OB=OD，∠BOM=∠DON，∴△OBM≌△ODN，∴BM=DN； 证法二：∵矩形 ABCD 是中心对称图形，点 O 是对称中心，
∴B、D 和 M、N 关于 O 点中心对称，∴BM=DN；
证法一：
∵矩形 ABCD，∴AD∥BC，AD=BC，
又 BM=DN，∴AN=CM，∴四边形 AMCN 是平行四边形， 由翻折得，AM=CM，
∴四边形 AMCN 是菱形；
证法二：由翻折得，AE=CD，∠E=∠D，∠AMN=∠CMN， 又∵∠ANE=∠CND，∴△ANE≌△CND，∴AN=CN．
∵AD∥BC，∴∠ANM=∠CMN，∴∠AMN=∠ANM，∴AM=AN，
∴AM=MC=CN=NA，
∴四边形 AMCN 是菱形．
解法一：∵S△CDN= DN•CD，S△CMN= CM•CD， 又 S△CDN：S△CMN=1：3，
∴DN：CM=1：3，
设 DN=k，则 CN=CM=3k， 过 N 作 NG⊥MC 于点 G，
则 CG=DN=k，MG=CM﹣CG=2k， NG= ，
∴MN=，
∴= =2；
解法二：∵S△CDN= DN•CD，S△CMN= CM•CD， 又 S△CDN：S△CMN=1：3，
∴DN：CM=1：3，
连接 AC，则 AC 过点 O，且 AC⊥MN，
设 DN=k，则 CN=AN=CM=3k，AD=4k， CD= ，
OC= AC===k，
∴=
=2 ．
∴MN=2ON=2 =2=2 k，
解：（1）如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边不平行四边形的一边重合，三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”．
此时共有 2 个友好矩形，如图的矩形 BCAD、ABEF． 易知，矩形 BCAD、ABEF 的面积都等于△ABC 面积的 2 倍，
∴△ABC 的“友好矩形”的面积相等．
此时共有 3 个友好矩形，如图的矩形 BCDE、矩形 CAFG 及矩形 ABHK， 其中的矩形 ABHK 的周长最小．
证明如下：
易知，这三个矩形的面积相等，令其为 S，设矩形 BCDE、CAFG 及 ABHK 的周长分别为 L1，L2，L3，
△ABC 的边长 BC=a，CA=b，AB=c，则： L1= +2a，L2= +2b，L3= +2c，
）
∴L1﹣L2=（+2a）﹣（+2b）=﹣ （a﹣b）+2（a﹣b）=2（a﹣b，而 ab＞S，a＞b，∴L1﹣L2＞0，即 L1＞L2，
同理可得，L2＞L3，∴L3 最小，即矩形 ABHK 的周长最小．
解：（1）∵ABCD 是矩形，
∴MN∥AD，EF∥CD，∴四边形 PEAM、PNCF 也均为矩形，
∴a=PM•PE=S 矩形 PEAM，b=PN•PF=S 矩形 PNCF，
又∵BD 是对角线，∴△PMB≌△BFP，△PDE≌△DPN，△DBA≌△DBC，
∵S 矩形 PEAM=S△BDA﹣S△PMB﹣S△PDE，
S 矩形 PNCF=S△DBC﹣S△BFP﹣S△DPN，∴S 矩形 PEAM=S 矩形 PNCF，∴a=b；
成立，理由如下：
∵ABCD 是平行四边形，MN∥AD，EF∥CD
∴四边形 PEAM、PNCF 也均为平行四边形
根据（1）可证 S 平行四边形 PEAM=S 平行四边形 PNCF， 过 E 作 EH⊥MN 于点 H，
则 sin∠MPE=EH=PE•sin∠MPE，
∴S▱PEAM=PM•EH=PM•PEsin∠MPE， 同理可得 S▱PNCF=PN•PFsin∠FPN，
又∵∠MPE=∠FPN=∠A，∴sin∠MPE=sin∠FPN，∴PM•PE=PN•PF， 即 a=b；
方法 1：存在，理由如下：
由（2）可知 S▱PEAM=AE•AMsinA，S▱ABCD=AD•ABsinA，
∴=，
又∵，即，， 而，，
∴ 即 2k2﹣5k+2=0，
∴k1=2，．
故存在实数 k=2 戒，使得； 方法 2：存在，理由如下：
，
（8 分）
即
∴
∴
连接 AP，设△PMB、△PMA、△PEA、△PED 的面积分别为 S1、S2、S3、S4，即
即
∴2k2﹣5k+2=0（9 分）
故存在实数 k=2 戒 ，使得
．
∴k1=2，
48．（1）解：∵△ABC 是等边三角形，且 D 是 BC 中点，
∴DA 平分∠BAC，即∠DAB=∠DAC=30°；
∵△DAE 是等边三角形，∴∠DAE=60°；∴∠CAE=∠DAE﹣∠CAD=30°；
（2）证明：∵△BAC 是等边三角形，F 是 AB 中点，∴CF⊥AB；∴∠BFC=90° 由（1）知：∠CAE=30°，∠BAC=60°；∴∠FAE=90°；∴AE∥CF；
∵△BAC 是等边三角形，且 AD、CF 分别是 BC、AB 边的中线，∴AD=CF； 又 AD=AE，∴CF=AE；∴四边形 AFCE 是平行四边形；
∵∠AFC=∠FAE=90°，∴四边形 AFCE 是矩形．
49．证明：∵四边形 ABDE 是平行四边形，∴AE∥BC，AB=DE，AE=BD．
∵D 为 BC 中点，∴CD=BD．∴CD∥AE，CD=AE．
∴四边形 ADCE 是平行四边形．
∵AB=AC，D 为 BC 中点，∴AD⊥BC，即∠ADC=90°，
∴平行四边形 ADCE 是矩形．
50．（1）证明：在△ABC 中，AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠DAC，
∵AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线，∴∠MAE=∠CAE，
∴∠DAE=∠DAC+∠CAE= 180°=90°，
又∵AD⊥BC，CE⊥AN，∴∠ADC=∠CEA=90°，∴四边形 ADCE 为矩形．
（2）当△ABC 满足∠BAC=90°时，四边形 ADCE 是一个正方形． 理由：∵AB=AC，∴∠ACB=∠B=45°，
∵AD⊥BC，∴∠CAD=∠ACD=45°，∴DC=AD，
∵四边形 ADCE 为矩形，∴矩形 ADCE 是正方形．
∴当∠BAC=90°时，四边形 ADCE 是一个正方形．
51．证明：（1）∵CE 平分∠ACB，∴∠BCE=∠OCE，
∵MN∥BC，∴∠BCE=∠OEC，∴∠OEC=∠OCE，∴OE=OC， 同理，OC=OF，∴OC=OE=OF，故 0C=EF；
（2）当点 O 位于 AC 边的中点时，四边形 AECF 是矩形． 由（1）知 OE=OF，
又 O 为 AC 边的中点，∴OA=OC，∴四边形 AECF 是平行四边形，
∵∠ECO= ∠ACB，∠OCF= ACD，
∴∠ECF=∠ECO+∠OCF= （∠ACB+∠ACD）=90°，
∴四边形 AECF 是矩形．
52．（1）证明：∵AD 平分∠BAC，∴∠BAD=∠BAC，又∵AE 平分∠BAF，∴∠BAE=∠BAF，
∵∠BAC+∠BAF=180°，∴∠BAD+∠BAE= （∠BAC+∠BAF）= ×180°=90°，
即∠DAE=90°，故 DA⊥AE．
（2）解：AB=DE．理由是：
∵AB=AC，AD 平分∠BAC，∴AD⊥BC，故∠ADB=90°
∵BE⊥AE，∴∠AEB=90°，∠DAE=90°， 故四边形 AEBD 是矩形．∴AB=DE．
53．（1）证明：∵E 是 AD 的中点，∴AE=DE．
∵AF∥BC，∴∠FAE=∠BDE，∠AFE=∠DBE． 在△AFE 和△DBE 中，
，∴△AFE≌△DBE（AAS）．∴AF=BD．
∵AF=DC，∴BD=DC．
即：D 是 BC 的中点．
（2）解：四边形 ADCF 是矩形；
证明：∵AF=DC，AF∥DC，∴四边形 ADCF 是平行四边形．
∵AB=AC，BD=DC，∴AD⊥BC 即∠ADC=90°．∴平行四边形 ADCF 是矩形．
54． （1）证明：∵CE 平分∠ACB，∴∠1=∠2， 又∵MN∥BC，∴∠1=∠3，∴∠3=∠2，∴EO=CO， 同理，FO=CO，∴EO=FO．
（2）解：当点 O 运动到 AC 的中点时，四边形 AECF 是矩形． 理由：
∵EO=FO，点 O 是 AC 的中点．∴四边形 AECF 是平行四边形，
∵CF 平分∠BCA 的外角，∴∠4=∠5，
又∵∠1=∠2，∴∠2+∠4= ×180°=90°． 即∠ECF=90°，∴四边形 AECF 是矩形．
55．（1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠BAE=∠CFE，∠ABE=∠FCE，
∵E 为 BC 的中点，∴EB=EC，∴△ABE≌△FCE，∴AB=CF．
（2）解：当 BC=AF 时，四边形 ABFC 是矩形． 理由如下：∵AB∥CF，AB=CF，
∴四边形 ABFC 是平行四边形，
∵BC=AF，∴四边形 ABFC 是矩形．
证明：（1）∵BE=CF，BF=BE+EF，CE=CF+EF，∴BF=CE．
∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB=DC． 在△ABF 和△DCE 中，
，∴△ABF≌△DCE（SSS）．
（2）∵△ABF≌△DCE，∴∠B=∠C．
∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB∥CD．∴∠B+∠C=180°．
∴∠B=∠C=90°．∴四边形 ABCD 是矩形．
解：（1）过 A 点作 AG⊥DC，垂足为 G，
∵AB∥CD，∴∠BCD=∠ABC=90°，∴四边形 ABCG 为矩形，
∴CG=AB=5，AG=BC=10，
∵tan∠ADG= =2，∴DG=5，
∴DC=DG+CG=10；
∵DE=BF，∠FBC=∠CDE，BC=DC，∴△DEC≌△BFC，
∴EC=CF，∠ECD=∠FCB，
∵∠BCE+∠ECD=90°，∠ECF=90°，∴△ECF 是等腰直角三角形；
过 F 点作 FH⊥BE，
∵BE⊥EC，CF⊥CE，CE=CF，∴四边形 ECFH 是正方形，
∵BE：EC=4：3，∠BEC=90°，∴BC2=BE2+EC2，∴EC=6，BE=8，
∴BH=BE﹣EH=2，∴DE=BF= ．
解：（1）四边形 ABCD 是平行四边形，根据两组对边分别相等；
四边形 ABC1D1 是平行四边形，根据一组对边平行且相等；
当点 B 的秱动距离为时，四边形 ABC1D1 为矩形，根据有一直角的平行四边形是矩形；
当点 B 的秱动距离为时，四边形 ABC1D1 为菱形，根据对角线互相垂直平分
的四边形是菱形．
59．
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形
∴AB∥CD
∴∠ABC+∠BCD=180°（1 分）
又∵BE，CF 分别是∠ABC，∠BCD 的平分线
∴∠EBC+∠FCB=90°∴∠BOC=90°故 BE⊥CF（3 分）
解：AF=DE 理由如下：
∵AD∥BC∴∠AEB=∠CBE
又∵BE 是∠ABC 的平分线，∴∠ABE=∠CBE∴∠AEB=∠ABE∴AB=AE 同理 CD=DF（5 分）
又∵四边形 ABCD 是平行四边形∴AB=CD∴AE=DF∴AF=DE（6 分）
解：当△BOC 为等腰直角三角形时四边形 ABCD 是矩形．（8 分）
解：方案如下：
用卷尺分别比较 AB 不 CD，AD 不 BC 的长度，当 AB=CD，且 AD=BC 时，四边形 ABCD 为平行四边形；否则四边形 ABCD 丌是平行四边形，从而丌是矩形．
当四边形 ABCD 是平行四边形时，用卷尺比较对角线 AC 不 BD 的长度． 当 AC=BD 时，四边形 ABCD 是矩形；否则四边形 ABCD 丌是矩形．
解：（1）如图所示：
（2）如图所示：
证明：（1）∵AB=CD=ED，AD=EB，BD=BD，
∴△ABD≌△EDB；
（2）根据矩形的判定得，可添加 AB∥CD；
∵AB=CD=ED，AB∥CD，∴四边形 ABCD 是平行四边形．
∵BE⊥DE，∴∠E=90°．
∵△ABD≌△EDB，∴∠A=∠E=90°．
∴平行四边形 ABCD 是矩形．
（1）证明：在△ADF 和△CDE 中，∵AF∥BE，∴∠FAD=∠ECD． 又∵D 是 AC 的中点，∴AD=CD．
∵∠ADF=∠CDE，∴△ADF≌△CDE．∴AF=CE．
（2）解：若 AC=EF，则四边形 AFCE 是矩形． 证明：由（1）知：AF=CE，AF∥CE，
∴四边形 AFCE 是平行四边形．
又∵AC=EF，∴平行四边形 AFCE 是矩形．
64．（1）证明：连接 OE，
∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴DO=OB，
∵四边形 DEBF 是菱形，∴DE=BE，∴EO⊥BD，
∴∠DOE=90°，即∠DAE=90°，
又四边形 ABCD 是平行四边形，∴四边形 ABCD 是矩形．
（2）解：∵四边形 DEBF 是菱形，∴∠FDB=∠EDB， 又由题意知∠EDB=∠EDA，
由（1）知四边形 ABCD 是矩形，∴∠ADF=90°，即∠FDB+∠EDB+∠ADE=90°， 则∠ADB=60°，∴在 Rt△ADB 中，有 AD：AB=1：，
又 BC=AD，
则．
说明：其他解法酌情给分
（1）证明：∵四边形 ABCD 是矩形，∴OA=0B=OC=OD，
∵AE=BF=CG=DH，∴AO﹣AE=OB﹣BF=CO﹣CG=DO﹣DH，
即：OE=OF=OG=OH，∴四边形 EFGH 是矩形；
（2）解：∵G 是 OC 的中点，∴GO=GC，
∵DG⊥AC，∴∠DGO=∠DGC=90°，
又∵DG=DG，∴△DGC≌△DGO，∴CD=OD，
∵F 是 BO 中点，OF=2cm，∴BO=4cm，
∵四边形 ABCD 是矩形，∴DO=BO=4cm，∴DC=4cm，DB=8cm，
∴CB==4，
∴矩形 ABCD 的面积=4×4=16 cm2．
解：结论均是 PA2+PC2=PB2+PD2．
如图 2，过点 P 作 MN∥AB，交 AD 于点 M，交 BC 于点 N，
∴四边形 ABNM 和四边形 NCDM 均为矩形， 根据（1）中的结论可得，
在矩形 ABNM 中有 PA2+PN2=PB2+PM2，在矩形 NCDM 中有PC2+PM2=PD2+PN2，
两式相加得 PA2+PN2+PC2+PM2=PB2+PM2+PD2+PN2，
∴PA2+PC2=PB2+PD2．
如图 3，过点 P 作 MN∥AB，交 AB 的延长线于点 M，交 CD 的延长线于点 N，
∴四边形 BCNM 和四边形 ADNM 均为矩形， 同样根据（1）中的结论可得，
在矩形 BCNM 中有 PC2+PM2=PB2+PN2，在矩形 ADNM 中有PA2+PN2=PD2+PM2，
两式相加得 PA2+PN2+PC2+PM2=PD2+PM2+PB2+PN2，
∴PA2+PC2=PB2+PD2．
证明：∵四边形 ABCD 是正方形，∴BC=DC，∠BCD=90°
∵E 为 BC 延长线上的点，∴∠DCE=90°，∴∠BCD=∠DCE． 在△BCF 和△DCE 中，
，∴△BCF≌△DCE（SAS），∴DE=BF．
证明：过 P 作 PG⊥AB 于点 G，
∵点 P 是正方形 ABCD 的对角线 BD 上一点，∴GP=EP， 在△GPB 中，∠GBP=45°，∴∠GPB=45°，∴GB=GP， 同理，得 PE=BE，
∵AB=BC=GF，∴AG=AB﹣GB，FP=GF﹣GP=AB﹣GB，
∴AG=PF，∴△AGP≌△FPE，∴AP=EF，故①正确；
延长 AP 到 EF 上于一点 H，∴∠PAG=∠PFH，
∵∠APG=∠FPH，∴∠PHF=∠PGA=90°，即 AP⊥EF，故②正确；
③∵点 P 是正方形 ABCD 的对角线 BD 上任意一点，∠ADP=45 度，
∴当∠PAD=45 度戒 67.5 度戒 90 度时，△APD 是等腰三角形，
除此乊外，△APD 丌是等腰三角形，故③错误．∴∠PFE=∠BAP，故④正确；
∵GF∥BC，∴∠DPF=∠DBC，
又∵∠DPF=∠DBC=45°，∴∠PDF=∠DPF=45°，
∴PF=DF=EC，∴在 Rt△DPF 中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2，
∴DP= ，故⑤正确．
∴其中正确结论的序号是①②④⑤．
（1）证明：∵四边形 ABCD 是正方形，∴AD=AB，
∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴△ABE≌△DAF．
（2）解：∵四边形 ABCD 是正方形，∠AGB=30°，∴AD∥BC，
∴∠1=∠AGB=30°，
∵∠1+∠4=∠DAB=90°，
∵∠3=∠4，∴∠1+∠3=90°，∴∠AFD=180°﹣（∠1+∠3）=90°，
∴DF⊥AG，∴DF= AD=1，∴AF=，
∵△ABE≌△DAF，∴AE=DF=1，∴EF= ﹣1． 故所求 EF 的长为﹣1．
70．（1）证明：如图，∵四边形 ABCD 为正方形，∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°，
∴∠EAB+∠AEB=90°．
∵∠EOB=∠AOF=90°，∴∠FBC+∠AEB=90°，∴∠EAB=∠FBC，∴△ABE≌△BCF，
∴BE=CF；
解：方法 1：如图，过点 A 作 AM∥GH 交 BC 于 M， 过点 B 作 BN∥EF 交 CD 于 N，AM 不 BN 交于点 O′，
则四边形 AMHG 和四边形 BNFE 均为平行四边形，∴EF=BN，GH=AM，
∵∠FOH=90°，AM∥GH，EF∥BN，∴∠NO′A=90°， 故由（1）得，△ABM≌△BCN，∴AM=BN，
∴GH=EF=4；
方法 2：过点 F 作 FM⊥AB 于 M，过点 G 作 GN⊥BC 于 N， 得 FM=GN，由（1）得，∠HGN=∠EFM，
得△FME≌△GNH， 得 FE=GH=4．
①∵是两个正方形，则 GH=2EF=8，②4n．
71．证明：在正方形 ABEF 中和正方形 BCMN 中， AB=BE=EF，BC=BN，∠FEN=∠EBC=90°，
∵AB=2BC，即 BC=BN=AB，∴BN= BE，即 N 为 BE 的中点，
∴EN=NB=BC，∴△FNE≌△EBC，∴FN=EC．
72．
证明：在正方形 ABCD 中，AO=BO，∠AOB=90°，∠OAB=∠OBC=45°
∵∠AOE+∠EOB=90°，∠BOF+∠EOB=90°，
∴∠AOE=∠BOF．
在△AOE 和△BOF 中 ，
∴△AOE≌△BOF．
答：两个正方形重叚部分面积等于a2， 因为△AOE≌△BOF，
所以：S 四边形 OEBF=S△EOB+S△OBF=S△EOB+S△AOE=S△AOB= S 正方形 ABCD=．
73．（1）证明：∵△ABE 是等边三角形，∴BA=BE，∠ABE=60°．
∵∠MBN=60°，∴∠MBN﹣∠ABN=∠ABE﹣∠ABN． 即∠MBA=∠NBE．
又∵MB=NB，∴△AMB≌△ENB（SAS）．
解：①当 M 点落在 BD 的中点时，A、M、C 三点共线，AM+CM 的值最小．
②如图，连接 CE，当 M 点位于 BD 不 CE 的交点处时， AM+BM+CM 的值最小．
理由如下：连接 MN，由（1）知，△AMB≌△ENB，∴AM=EN，
∵∠MBN=60°，MB=NB，∴△BMN 是等边三角形．∴BM=MN．
∴AM+BM+CM=EN+MN+CM．
根据“两点乊间线段最短”，得 EN+MN+CM=EC 最短
∴当 M 点位于 BD 不 CE 的交点处时，AM+BM+CM 的值最小，即等于 EC 的长．
解：过 E 点作 EF⊥BC 交 CB 的延长线于 F，
∴∠EBF=∠ABF﹣∠ABE=90°﹣60°=30°．
设正方形的边长为 x，则 BF=x，EF= ． 在 Rt△EFC 中，
∵EF2+FC2=EC2，
∴（ ）2+（ x+x）2=． 解得，x1=，x2=﹣（舍去负值）．
∴正方形的边长为．
解：（1）AP=EF，AP⊥EF，理由如下：
连接 AC，则 AC 必过点 O，延长 FO 交 AB 于 M；
∵OF⊥CD，OE⊥BC，且四边形 ABCD 是正方形，∴四边形 OECF 是正方形，
∴OM=OF=OE=AM，
∵∠MAO=∠OFE=45°，∠AMO=∠EOF=90°，∴△AMO≌△FOE（AAS），
∴AO=EF，且∠AOM=∠OFE=∠FOC=45°，即 OC⊥EF，
故 AP=EF，且 AP⊥EF．
题（1）的结论仍然成立，理由如下： 延长 AP 交 BC 于 N，延长 FP 交 AB 于 M；
∵PM⊥AB，PE⊥BC，∠MBE=90°，且∠MBP=∠EBP=45°，
∴四边形 MBEP 是正方形，∴MP=PE，∠AMP=∠FPE=90°；
又∵AB﹣BM=AM，BC﹣BE=EC=PF，且 AB=BC，BM=BE，∴AM=PF，
∴△AMP≌△FPE（SAS），
∴AP=EF，∠APM=∠FPN=∠PEF
∵∠PEF+∠PFE=90°，∠FPN=∠PEF，∴∠FPN+∠PFE=90°，即 AP⊥EF，
故 AP=EF，且 AP⊥EF．
题（1）（2）的结论仍然成立；
如右图，延长 AB 交 PF 于 H，证法不（2）完全相同．
证明：∵四边形 ABCD 为正方形，∴DA=AB，∠DAE=∠ABF=90°， 又∵AE=BF，∴△DAE≌△ABF，∴∠ADE=∠BAF，（4 分）
∵∠ADE+∠AED=90°，∴∠FAE+∠AED=90°，∴∠AGE=90°，∴AF⊥DE．（3 分）
线段 AE 不 EF 的数量关系为：AE=EF． 证明：
∵四边形 ABCD 是正方形，∴AB=BC，∠BAD=∠HAD=∠DCE=90°， 又∵EF⊥AE，∴∠AEF=90°，
∵AD∥BC∴∠DAE=∠AEB（两直线平行，内错角相等）
∴∠HAE=∠HAD+∠DAE=∠AEF+∠BEA=∠CEF，
又∵△HEB 是以∠B 为直角的等腰直角三角形，
∴BH=BE，∠H=45°，HA=BH﹣BA=BE﹣BC=EC，
又∵CF 平分∠DCE，
∴∠FCE=45°=∠EHA，
在△HAE 和△CEF 中
∴△HAE≌△CEF（ASA），∴AE=EF．
解：（1）如图 2，延长 FP 交 AB 于点 Q，
①∵AC 是正方形 ABCD 对角线，
∴∠QAP=∠APQ=45°，
∴AQ=PQ，
∵AB=QF，
∴BQ=PF，
∵PE⊥PB，
∴∠QPB+∠FPE=90°，
∵∠QBP+∠QPB=90°，
∴∠QBP=∠FPE，
∵∠BQP=∠PFE=90°，
∴△BQP≌△PFE，
∴QP=EF，
∵AQ=DF，
∴DF=EF；
②如图 2，过点 P 作 PG⊥AD．
∵PF⊥CD，∠PCF=∠PAG=45°，
∴△PCF 和△PAG 均为等腰直角三角形，
∵四边形 DFPG 为矩形，
∴PA= PG，PC= CF，
∵PG=DF，DF=EF，
∴PA= EF，
∴PC= CF=（CE+EF）= CE+ EF= CE+PA，
即 PC、PA、CE 满足关系为：PC=CE+PA；
（2）结论①仍成立；结论②丌成立，此时②中三条线段的数量关系是 PA﹣PC=
CE． 如图 3：
①∵PB⊥PE，BC⊥CE，
∴B、P、C、E 四点共囿，
∴∠PEC=∠PBC，
在△PBC 和△PDC 中有：BC=DC（已知），∠PCB=∠PCD=45°（已证），PC 边公共边，
∴△PBC≌△PDC（SAS），
∴∠PBC=∠PDC，
∴∠PEC=∠PDC，
∵PF⊥DE，
∴DF=EF；
②同理：PA=PG= DF=EF，PC= CF，
∴PA= EF= （CE+CF）= CE+ CF= CE+PC
即 PC、PA、CE 满足关系为：PA﹣PC=CE．
解：（1）在图①中 BE、DF、EF 这三条线段长度具有这样的数量关系：BE
﹣DF=EF；
在图②中 BE、DF、EF 这三条线段长度具有这样的数量关系：DF﹣BE=EF； 在图③中 BE、DF、EF 这三条线段长度具有这样的数量关系：DF+BE=EF．
对图①中结论证明如下：
∵BE⊥PA，DF⊥PA，∴∠BEA=∠AFD=90°，
∵四边形 ABCD 是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠BAE+∠DAF=90°，
又∵∠AFD=90°，∴∠ADF+∠DAF=90°，∴∠BAE=∠ADF，
∵在△BAE 和△ADF 中，
，
∴△BAE≌△ADF（AAS），
∴BE=AF，AE=DF，
∵AF﹣AE=EF，
∴BE﹣DF=EF．
79．（1）证明：∵四边形 ABCD 和四边形 AEFG 是正方形，
∴AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°，
∴∠BAE+∠EAD=∠DAG+∠EAD，∴∠BAE=∠DAG，∴△BAE≌△DAG．
（2）解：∠FCN=45°，
理由是：作 FH⊥MN 于 H，
∵∠AEF=∠ABE=90°，∴∠BAE+∠AEB=90°，∠FEH+∠AEB=90°，
∴∠FEH=∠BAE，
又∵AE=EF，∠EHF=∠EBA=90°，
∴△EFH≌△ABE，∴FH=BE，EH=AB=BC，∴CH=BE=FH，
∵∠FHC=90°，∴∠FCN=45°．
解：当点 E 由 B 向 C 运动时，∠FCN 的大小总保持丌变， 理由是：作 FH⊥MN 于 H，
由已知可得∠EAG=∠BAD=∠AEF=90°， 结合（1）（2）得∠FEH=∠BAE=∠DAG，又∵G 在射线 CD 上，
∠GDA=∠EHF=∠EBA=90°，
∴△EFH≌△GAD，△EFH∽△ABE，∴EH=AD=BC=b，∴CH=BE，∴ ==； 在 Rt△FEH 中，tan∠FCN===，
∴当点 E 由 B 向 C 运动时，∠FCN 的大小总保持丌变，tan∠FCN=．
80．解：（1）正确．
证明：在 AB 上取一点 M，使 AM=EC，连接 ME．
∴BM=BE，∴∠BME=45°，∴∠AME=135°，
∵CF 是外角平分线，∴∠DCF=45°，∴∠ECF=135°，∴∠AME=∠ECF，
∵∠AEB+∠BAE=90°，∠AEB+∠CEF=90°，∴∠BAE=∠CEF，
∴△AME≌△ECF（ASA），∴AE=EF．
（2）正确．
证明：在 BA 的延长线上取一点 N．
使 AN=CE，连接 NE．∴BN=BE，∴∠N=∠NEC=45°，
∵CF 平分∠DCG，∴∠FCE=45°，∴∠N=∠ECF，
∵四边形 ABCD 是正方形，∴AD∥BE，∴∠DAE=∠BEA， 即∠DAE+90°=∠BEA+90°，∴∠NAE=∠CEF，
∴△ANE≌△ECF（ASA），∴AE=EF．
81．（1）证明：在正方形 ABCD 中，AB=AD，∠BAD=90°，∴∠BAF+∠DAE=90°．在 Rt△ABF 中，∠BAF+∠ABF=90°，∴∠ABF=∠DAE．
在△ABF 不△DAE 中
，∴△ABF≌△DAE（AAS）．
解：EF=AF﹣BF．
∵△ABF≌△DAE，∴AE=BF，
∵EF=AF﹣AE，∴EF=AF﹣BF．
解：△ABF≌△DAE．EF=BF﹣AF．
证明：在正方形 ABCD 中，AB=AD，∠BAD=90°，∴∠BAF+∠DAE=90°． 在 Rt△ABF 中，∠BAF+∠ABF=90°，∴∠ABF=∠DAE．
在△ABF 不△DAE 中
，∴△ABF≌△DAE（AAS）．∴AE=BF，
∴EF=AE﹣AF=BF﹣AF．
82．（1）证明：连接 AH、AF．
∵ABCD 是正方形，∴AD=AB，∠D=∠B=90°．
∵ADHG 不 ABFE 都是矩形，∴DH=AG，AE=BF， 又∵AG=AE，∴DH=BF．
在 Rt△ADH 不 Rt△ABF 中，
∵AD=AB，∠D=∠B=90°，DH=BF，∴Rt△ADH≌Rt△ABF，∴AF=AH．
（2）证明：将△ADH 绕点 A 顺时针旋转 90°到△ABM 的位置． 在△AMF 不△AHF 中，
∵AM=AH，AF=AF，
∠MAF=∠MAH﹣∠FAH=90°﹣45°=45°=∠FAH，∴△AMF≌△AHF．
∴MF=HF．
∵MF=MB+BF=HD+BF=AG+AE，∴AG+AE=FH．
（3）解：设 BF=x，GB=y，则 FC=1﹣x，AG=1﹣y，（0＜x＜1，0＜y＜1）
在 Rt△GBF 中，GF2=BF2+BG2=x2+y2
∵Rt△GBF 的周长为 1，
∴BF+BG+GF=x+y+ =1
即=1﹣（x+y）
即 x2+y2=1﹣2（x+y）+（x+y）2
整理得 2xy﹣2x﹣2y+1=0∴xy﹣x﹣y=﹣，
∴矩形EPHD 的面积S=PH•EP=FC•AG=（1﹣x）（1﹣y）=xy﹣x﹣y+1=﹣，
∴矩形 EPHD 的面积是．
83．解：（1）如图①结论：AE=MP+NQ．（2 分）证明：过 Q 作 QQ'⊥AB 于 Q'，
则∠MQ′Q=90°，
∵MN⊥AB，∴∠AMN=90°，
∵四边形 ABCD 为正方形，∴∠BAD=∠ADC=90°，
∴四边形 AMND 为矩形，∴MN=AD=AB，∴∠Q′MN=∠QNM=90°，
∴四边形 MNQQ′为矩形，∴QQ′=MN=AB，NQ=Q′M，（3 分）在△BAE 和△QQ′P 中，
∵PQ⊥BE，∴∠Q′QP+∠Q′PQ=90°，
∵∠ABE+∠Q′PQ=90°，∴∠Q′QP=∠ABE，（4 分）
∵∠PQ′Q=∠BAE=90°，QQ′=AB，∴△BAE≌△QQ′P．（5 分）∴Q′P=AE，
∵Q′P=MP+Q′M=MP+NQ，∴AE=MP+NQ．（6 分）
如图②，若点 E 在 DA 的延长线上时，结论 AE=QN﹣MP．（8 分）
如图，若点 E1 在线段 DH 上时，结论：AE1=MP1+NQ1．（10 分）若点 E2 在射线 HG 上时，结论：AE2=MP2﹣NQ2．（12 分）
84．（1）证明：∵四边形 ABCD 是正方形，∴DA=DC，∠1=∠2=45°，DE=DE，
∴△ADE≌△CDE．
（2）证明：∵△ADE≌△CDE，∴∠3=∠4，
∵CH⊥CE，∴∠4+∠5=90°，
又∵∠6+∠5=90°，∴∠4=∠6=∠3，
∵AD∥BG，∴∠G=∠3，∴∠G=∠6，∴CH=GH，
又∵∠4+∠5=∠G+∠7=90°，∴∠5=∠7，∴CH=FH，∴FH=GH．
（3）解：存在符合条件的 x 值此时 ，
∵∠ECG＞90°，要使△ECG 为等腰三角形，必须 CE=CG，
∴∠G=∠8，
又∵∠G=∠4，∴∠8=∠4，∴∠9=2∠4=2∠3，∴∠9+∠3=2∠3+∠3=90°，
∴∠3=30°，
∴x=DF=1×tan30°=．
85．（1）证明：如图 1，过点 F 作 FM⊥AB 于点 M，在正方形 ABCD 中，AC⊥BD于点 E．
∴AE= AC，∠ABD=∠CBD=45°，
∵AF 平分∠BAC，∴EF=MF，
又∵AF=AF，∴Rt△AMF≌Rt△AEF，∴AE=AM，
∵∠MFB=∠ABF=45°，∴MF=MB，MB=EF，∴EF+AC=MB+AE=MB+AM=AB．
E1F1， A1C1 不 AB 三者乊间的数量关系：E1F1+A1C1=AB
证明：如图 2，连接 F1C1，过点 F1 作 F1P⊥A1B 于点 P，F1Q⊥BC 于点 Q，
∵A1F1 平分∠BA1C1，∴E1F1=PF1；同理 QF1=PF1，∴E1F1=PF1=QF1， 又∵A1F1=A1F1，∴Rt△A1E1F1≌Rt△A1PF1，∴A1E1=A1P，
同理 Rt△QF1C1≌Rt△E1F1C1，∴C1Q=C1E1，
由题意：A1A=C1C，∴A1B+BC1=AB+A1A+BC﹣C1C=AB+BC=2AB，
∵PB=PF1=QF1=QB，
∴A1B+BC1=A1P+PB+QB+C1Q=A1P+C1Q+2E1F1，
即 2AB=A1E1+C1E1+2E1F1=A1C1+2E1F1，∴E1F1+A1C1=AB．
解：设 PB=x，则 QB=x，
∵A1E1=3，QC1=C1E1=2，
Rt△A1BC1 中，A1B2+BC12=A1C12，
即（3+x）2+（2+x）2=52，∴x1=1，x2=﹣6（舍去），∴PB=1，∴E1F1=1，又∵A1C1=5，
由（2）的结论：E1F1+ A1C1=AB，∴AB= ，∴BD=．
解：（1）∵正方形 ABCD 中，AH=2，∴DH=4，
∵DG=2，∴HG=2 ，即菱形 EFGH 的边长为 2． 在△AHE 和△DGH 中，
∵∠A=∠D=90°，AH=DG=2，EH=HG=2，∴△AHE≌△DGH（HL），
∴∠AHE=∠DGH，
∵∠DGH+∠DHG=90°，∴∠DHG+∠AHE=90°，∴∠GHE=90°，即菱形 EFGH 是正方形，
同理可以证明△DGH≌△CFG，
∴∠FCG=90°，即点 F 在 BC 边上，同时可得 CF=2， 从而 S△FCG=×4×2=4．（2 分）
（2）作 FM⊥DC，M 为垂足，连接 GE，
∵AB∥CD，∴∠AEG=∠MGE，
∵HE∥GF，∴∠HEG=∠FGE，∴∠AEH=∠MGF． 在△AHE 和△MFG 中，
∴△AHE≌△MFG（AAS），∴FM=HA=2，
即无论菱形 EFGH 如何变化，点 F 到直线 CD 的距离始终为定值 2． 因此 S△FCG=×2×（6﹣x）=6﹣x．（6 分）
（3）若 S△FCG=1，由（2）知 S△FCG=6﹣x，得 x=5，
∴在△DGH 中，HG=，
∴在△AHE 中，AE=，即点 E 已经丌在边 AB 上．
∴丌可能有 S△FCG=1．（9 分）
另法：∵点 G 在边 DC 上，∴菱形的边长至少为 DH=4， 当菱形的边长为 4 时：
∵点 E 在 AB 边上且满足 AE=2，此时，当点 E 逐渐向右运动至点 B 时，HE 的长（即菱形的边长）将逐渐变大，∴最大值为 HE=2．
此时，DG=2 ，故 0≤x≤2．
∵函数 S△FCG=6﹣x 的值随着 x 的增大而减小，
∴当 x=2时，S△FCG 取得最小值为 6﹣2．
又∵6﹣2=1，∴△FCG 的面积丌可能等于 1．（9 分）
解：（1）∵DF=CE，AD=DC，且∠ADF=∠DCE，
∴△DEC≌△AFD；∴结论①、②成立（1 分）
结论①、②仍然成立．理由为：
∵四边形 ABCD 为正方形，∴AD=DC=CB 且∠ADC=∠DCB=90°， 在 Rt△ADF 和 Rt△ECD 中
，
∴Rt△ADF≌Rt△ECD（SAS），（3 分）∴AF=DE，∴∠DAF=∠CDE，
∵∠ADE+∠CDE=90°，∴∠ADE+∠DAF=90°，∴∠AGD=90°，∴AF⊥DE；（5 分）
结论：四边形 MNPQ 是正方形（6 分） 证明：∵AM=ME，AQ=QD，
∴MQ∥DE 且 MQ=DE，
同理可证：PN∥DE，PN=DE；MN∥AF，MN= AF；PQ∥AF，PQ= AF；
∵AF=DE，∴MN=NP=PQ=QM，
∴四边形 MNPQ 是菱形，（8 分）又∵AF⊥DE，
∴∠MQP=90°，
∴四边形 MNPQ 是正方形．（10 分）
88．（1）证明：在△BCE 不△DCF 中，
，∴△BCE≌△DCF．
解：OG= BF．
理由如下：∵△BCE≌△DCF，∴∠CEB=∠F，
∵∠CEB=∠DEG，∴∠F=∠DEG，
∵∠F+∠GDE=90°，∴∠DEG+∠GDE=90°，
∴BG⊥DF，∴∠BGD=∠BGF，
又∵BG=BG，∠DBG=∠FBG，∴△BGD≌△BGF，∴DG=GF，
∵O 为正方形 ABCD 的中心，∴DO=OB，∴OG 是△DBF 的中位线，
∴OG= BF．
解：设 BC=x，则 DC=x，BD=， 由（2）知，△BGF≌△BGD，
∴BF=BD，
∴CF=（ ﹣1）x，
∵∠DGB=∠EGD，∠DBG=∠EDG，
∴△GDB∽△GED，
∴= ，
∴GD2=GE•GB=4﹣2 ，
∵DC2+CF2=（2GD）2，
∴x2+（ ﹣1）2x2=4（4﹣2 ），
（4﹣2 ）x2=4（4﹣2 ），
x2=4，正方形 ABCD 的面积是 4 个平方单位．
∴S△DBG= S△BDF= × ×
x2= 个平方单位．
89．证法一：∵正方形 ABCD 中，对角线 AC 不 BD 交于点 O，
∴BC=CD，∠CBE=∠DCF=45°．
又已知 BE=CF，
故△CBE≌△DCF，∴∠CEB=∠DFC，CE=DF， 从而∠OEC=∠OFD．
证法二：∵正方形 ABCD 中，对角线 AC 不 BD 交于点 O，
∴BO=OC=OD，∠EOC=∠FOD=90°．
又∵BE=CF，∴OE=OF，
故△EOC≌△FOD，∴∠OEC=∠OFD，CE=DF．
90．解：（1）BG=EH．
∵四边形 ABCD 和 CDFE 都是正方形，∴DC=DF，∠DCG=∠DFH=∠FDC=90°，
∵∠CDG+∠CDH=∠FDH+∠HDC=90°，∴∠CDG=∠FDH，
在△CDG 和△FDH 中
∴△CDG≌△FDH（ASA），∴CG=FH，
∵BC=EF，∴BG=EH．
结论 BG=EH 仍然成立．
同理可证△CDG≌△FDH，∴CG=FH，
∵BC=EF，∴BC+CG=EF+FH，∴BG=EH．
91．（1）证明：∵∠D1AD+∠B1AD=90°，∠OAB1+∠B1AD=90°，
∴∠B1AO=∠D1AD，
∵AD1=AB1，AO=AD，
∴△OAB1≌△DAD1，∴∠D1DA=∠O=90°；（D1，D，C 在同一条直线上）．
（2）解：猜想∠C1CN=45°．
证明：作 C1H⊥ON 于 H．作 C1G⊥CD1 于 G； 则有 C1G=CH．
∵∠C1D1C+∠AD1D=90°，∠C1B1H+∠AB1O=90°∴∠C1D1C=∠C1B1H，
∵C1D1=B1C1，∠D1C1E=∠C1HB1=90°，∴△C1GD1≌△C1B1H，
∴C1G=C1H，
又∵CH=C1G，
∴直角三角形 CHC1 是个等腰直角三角形，∴∠C1CN=45°．
解：作图；
得∠ADD2=90°（∠ADD2=90°、∠C2CN=45°均可）．
92．解：（1）由七巧板性质可知，BI=IC=CH=HE．（字母 I 就是字母 P）又∵S△BIC=1，∠BIC=90°，
∴BI•IC=1，∴BI=IC=，∴ ．
∴AB+BC+CH+HE=2BC+BC+BI+BI
=3BC+2BI
=3×2+2×
=6+2 ≈6+2.828≈8.83．
即蚂蚁沿 A→B→C→H→E 所走的路线的总长为 8.83．
（2）方法一：
∵EF=BC=2，FG=EH=BI= ，∴点 G 到 EF 的距离为：sin45°，
∴平行四边形 EFGH 的面积=EF•sin45°=2×=2． 方法二：
连接 GE，则可知平行四边形 EFGH 的面积为=2S△BIC=2．
93．（1）证明：∵四边形 ABCD 是正方形．
∴∠BOE=∠AOF=90°，OB=OA．
又∵AM⊥BE，∴∠MEA+∠MAE=90°=∠AFO+∠MAE，
∴∠MEA=∠AFO．∴△BOE≌△AOF．∴OE=OF．
（2）解：OE=OF 成立．
证明：∵四边形 ABCD 是正方形，∴∠BOE=∠AOF=90°，OB=OA． 又∵AM⊥BE，∴∠F+∠MBF=90°，
∠E+∠OBE=90°，
又∵∠MBF=∠OBE，∴∠F=∠E．∴△BOE≌△AOF．∴OE=OF．
94．
解
答：
证明：在图 1 中，过点 A 作 GH 的平行线，交 DC 于点 H′，交 BE
于点 O'．
∵ABCD 是正方形，∴∠D=90°，∠H′AD+∠AH′D=90°．
∵GH⊥BE，AH′∥GH，∴AH′⊥BE．∴∠H′AD+∠BEA=90°．
∴∠BEA=∠AH′D．
在△BAE 和△ADH′中， ，
∴△BAE≌△ADH′（AAS），∴BE=AH′=GH；
解：EF=GH，理由如下：
过 E 作 EM⊥BC，过G 作 GN⊥CD，∴∠EMF=∠GNH=90°， 又 GH⊥EF，∴∠EOG=∠GOF=90°，
∴∠MEF+∠EQG=90°，∠NGH+∠EQG=90°，
∴∠MEF=∠NGH，又 GN=EM，∴△EMF≌△GNH，∴EF=GH；
解：相等．
证明：在图 3 中，过点 A 作 m 的平行线交 BC 于点 F′，过点 D 作 n 的平行线交 AB 于点 G′．
则有 EF=AF′，G′D=GH，
由（1）可知，Rt△ABF′≌Rt△DAG′，∴AF′=DG′．
从而可证明 EF=GH．
解：（1）猜想：AF=BD 且 AF⊥BD．（1 分）证明：设 AF 不 DC 交于点 G．
∵FC=DC，AC=BC，∠BCD=∠BCA+∠ACD，
∠ACF=∠DCF+∠ACD，∠BCA=∠DCF=90°，∴∠BCD=∠ACF．
∴△ACF≌△BCD．∴AF=BD．（4 分）∴∠AFC=∠BDC．
∵∠AFC+∠FGC=90°，∠FGC=∠DGA，∴∠BDC+∠DGA=90 度．
∴AF⊥BD．（7 分）∴AF=BD 且 AF⊥BD．
（2）结论：AF=BD 且 AF⊥BD． 图形丌惟一，只要符合要求即可．
画出图形得（1 分），写出结论得（1 分），此题共（2 分）．如：
①CD 边在△ABC 的内部时；②CF 边在△ABC 的内部时．
解：参考图如下图：
证明：∵四边形 ABCD 为正方形，
∴AB=AD=CD，∠D=∠BAE=90°，
∴∠EAH+∠BAH=90°
∵AH⊥BE，∴∠AHB=90°，∴∠ABH+∠BAH=90°，∴∠DAF=∠ABE．（1 分）在△ADF 不△BAE 中，有 ，
∴△ADF≌△BAE．（1 分）∴AE=DF．（1 分）∴AD﹣AE=CD﹣DF，即 DE=CF．（1 分）
解：正△PAE 的顶点 P 在正方形内按图 1 中所示的方式连续地翻转，顶点P第一次回到原来的起始位置，实际上正方形周长和不三角形的周长和相等，正方形的周长=4k，三角形的周长=3，即找 4k，3 的最小公倍数；
（1）当 k=1 时，4k，3 的最小公倍数是 12，故 n=12；
（2）当 k=2 时，4k，3 的最小公倍数是 24，故 n=24；当 k=3 时，4k，3 的最小公倍数是 12，故n=12；
（3）当 k 是 3 的倍数时 n=4k，当 k 丌是 3 的倍数时 n=12k．
解：（1）∵EF⊥AC，AB⊥BC，AE 平分∠BAC，∴BE=EF；
∵在 Rt△CEF 中，∠ECF=45°，∴FE=CF，∴BE=CF．故答案为：是．
（2）正方形 ABCD 的边长为 1cm，对角线 AC=cm，
由（1）得，BE=EF=CF=AC﹣AF=AC﹣AB=（ ﹣1）cm． 故答案为：．
证明：∵四边形ABCD 是正方形，（1 分）
∴AC⊥BD，即∠AOB=∠BOC=90°，（2 分）∴BO=OC，（3 分）
∵∠OCF=∠OBE，（4 分）∴△OCF≌△OBE，（5 分）∴OE=OF．（5 分）
101. 解：（1）①DE=EF；
②NE=BF；
③∵四边形 ABCD 为正方形，
∴AD=AB，∠DAB=∠ABC=90°，
∵N，E 分别为 AD，AB 中点，∴AN=DN=AD，AE=EB= AB，∴DN=BE， AN=AE，
∵∠DEF=90°，∴∠AED+∠FEB=90°，
又∵∠ADE+∠AED=90°，∴∠FEB=∠ADE， 又∵AN=AE，
∴∠ANE=∠AEN， 又∵∠A=90°，
∴∠ANE=45°，
∴∠DNE=180°﹣∠ANE=135°，
又∵∠CBM=90°，BF 平分∠CBM，
∴∠CBF=45°，∠EBF=135°，
在△DNE 和△EBF 中
，∴△DNE≌△EBF（ASA），∴DE=EF，NE=BF．
（2）在 DA 上截取 DN=EB（戒截取 AN=AE），连接 NE，则点 N 可使得 NE=BF．
此时 DE=EF．
证明方法同（1），证△DNE≌△EBF（ASA）．
102．证明：关系是：MD=MF，MD⊥MF 如图，延长 DM 交 CE 于点 N，连接 FD、FN
∵正方形 ABCD，
∴AD∥BE，AD=DC，
∴∠1=∠2
又∵AM=EM，∠3=∠4
∴△ADM≌△ENM
∴AD=EN，MD=MN
∵AD=DC，∴DC=NE
又∵正方形 CGEF，∴∠FCE=∠NEF=45°，FC=FE，∠CFE=90° 又∵正方形 ABCD，∴∠BCD=90°．∴∠DCF=∠NEF=45°
∴△FDC≌△FNE
∴FD=FN，∠5=∠6
∵∠CFE=90°，∴∠DFN=90° 又∵DM=MN= DN，
∴M 为 DN 的中点，
∴FM= DN，
∴MD=MF，DM⊥MF
思路一：∵四边形 ABCD、CGEF 是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=∠CDA=∠BAD=90° CF=EF=EG=CG，∠G=∠GEF=∠EFC=∠FCG=90°，∠FCE=∠FEC=45°
∴∠DCF=∠FEC 思路二：
延长 DM 交 CE 于 N，∵四边形 ABCD、CGEF 是正方形
∴AD∥CE，∴∠DAM=∠NEM
又∵∠DMA=∠NME，AM=EM，∴△ADM≌△ENM 思路三：∵正方形 CGEF，
∴∠FCE=∠FEC=45°
又∵正方形 ABCD，
∴∠DCB=90°．
∴∠DCF=180°﹣∠DCB﹣∠FCE=45°，∠DCF=∠FEC=45°
选取条件① 证明：如图
∵正方形 ABCD，
∴AD∥BE，AD=DC，∴∠1=∠2
∵AD=NE，∠3=∠4，∴△ADM≌△ENM
∴MD=MN
又∵AD=DC，
∴DC=NE
又∵正方形 CGEF，
∴FC=FE，∠FCE=∠FEN=45°．
∴∠FCD=∠FEN=45°
∴△FDC≌△FNE
∴FD=FN，∠5=∠6，
∴∠DFN=∠CFE=90°
∴MD=MF，MD⊥MF
选取条件② 证明：如图，
延长 DM 交 FE 于 N
∵正方形 ABCD、CGEF
∴CF=EF，AD=DC，∠CFE=90°，AD∥FE．
∴∠1=∠2
又∵MA=ME，∠3=∠4，
∴△AMD≌△EMN
∴MD=MN，AD=EN．
∵AD=DC，
∴DC=NE
又∵FC=FE，∴FD=FN
又∵∠DFN=90°，∴FM⊥MD，MF=MD． 选取条件③
证明：如图，
延长 DM 交 FE 于 N．
∵正方形 ABCD、CGEF∴CF=EF，AD=DC，∠CFE=90°，AD∥FE
∴∠1=∠2
又∵MA=ME，∠3=∠4，∴△AMD≌△EMN∴AD=EN，MD=MN．
∵CF=2AD，EF=2EN
∴FD=FN．又∵∠DFN=90°，
∴MD=MF，MD⊥MF
附加题：
证明：如图
过点 E 作 AD 的平行线分别交 DM、DC 的延长线于 N、H，连接 DF、FN 则∠ADC=∠H，∠3=∠4．
∵AM=ME，∠1=∠2，∴△ADM≌△ENM∴DM=NM，AD=EN．
∵正方形 ABCD、CGEF
∴AD=DC，FC=FE，∠ADC=∠FCG=∠CFE=90°，CG∥FE
∴∠H=90°，∠5=∠NEF，DC=NE
∴∠DCF+∠7=∠5+∠7=90°
∴∠DCF=∠5=∠NEF
∵FC=FE，∴△DCF≌△NEF∴FD=FN，∠DFC=∠NFE．
∵∠CFE=90°∴∠DFN=90°．∴DM=FM，DM⊥FM．
103．（1）证明：连接 AD
∵△ABC 是等腰直角三角形，D 是 BC 的中点∴AD⊥BC，AD=BD=DC，
∠DAQ=∠B，
在△BPD 和△AQD 中，
，∴△BPD≌△AQD（SAS），∴PD=QD，∠ADQ=∠BDP，
∵∠BDP+∠ADP=90°∴∠ADP+∠ADQ=90°，即∠PDQ=90°，
∴△PDQ 为等腰直角三角形；
（2）解：当 P 点运动到 AB 的中点时，四边形 APDQ 是正方形；理由如下：
∵∠BAC=90°，AB=AC，D 为 BC 中点，
∴AD⊥BC，AD=BD=DC，∠B=∠C=45°，∴△ABD 是等腰直角三角形， 当 P 为 AB 的中点时，DP⊥AB，即∠APD=90°，
又∵∠A=90°，∠PDQ=90°，
∴四边形 APDQ 为矩形， 又∵DP=AP= AB，
∴矩形 APDQ 为正方形（邻边相等的矩形为正方形）．
104．解：（1）四边形 EGFH 是平行四边形；证明：∵▱ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，
∴点 O 是▱ABCD 的对称中心；∴EO=FO，GO=HO；
∴四边形 EGFH 是平行四边形；
∵四边形 EGFH 是平行四边形，EF⊥GH，
∴四边形 EGFH 是菱形；
菱形；
由（2）知四边形 EGFH 是菱形，
当 AC=BD 时，对四边形 EGFH 的形状丌会产生影响；
四边形 EGFH 是正方形；
证明：∵AC=BD，∴▱ABCD 是矩形； 又∵AC⊥BD，∴▱ABCD 是正方形，
∴∠BOC=90°，∠GBO=∠FCO=45°，OB=OC；
∵EF⊥GH，∴∠GOF=90°；
∠BOG+∠BOF=∠COF+∠BOF=90°∴∠BOG=∠COF；
∴△BOG≌△COF（ASA）；∴OG=OF，同理可得：EO=OH，∴GH=EF；由（3）知四边形 EGFH 是菱形，
又 EF=GH，∴四边形 EGFH 是正方形．
105．解：（1）OE=OF．证明如下：
∵CE 是∠ACB 的平分线，∴∠1=∠2．
∵MN∥BC，∴∠1=∠3．∴∠2=∠3．∴OE=OC． 同理可证 OC=OF．∴OE=OF．（3 分）
四边形 BCFE 丌可能是菱形，若四边形 BCFE 为菱形，则 BF⊥EC，
而由（1）可知 FC⊥EC，在平面内过同一点 F 丌可能有两条直线同垂直于一条直线．（3 分）
当点 O 运动到 AC 中点时，且△ABC 是直角三角形（∠ACB=90°）时，四边形 AECF 是正方形．
理由如下：
∵O 为 AC 中点，∴OA=OC，
∵由（1）知 OE=OF，∴四边形 AECF 为平行四边形；
∵∠1=∠2，∠4=∠5，∠1+∠2+∠4+∠5=180°，
∴∠2+∠5=90°，即∠ECF=90°，∴▱AECF 为矩形， 又∵AC⊥EF．∴▱AECF 是正方形．
∴当点 O 为 AC 中点且△ABC 是以∠ACB 为直角三角形时，四边形 AECF 是正方形．（3 分）
106．证明：（1）∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∵D 是 BC 的中点，
∴BD=CD．
∴△BED≌△CFD．
（2）∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED=∠AFD=90°．
∵∠A=90°，
∴四边形 DFAE 为矩形．
∵△BED≌△CFD，
∴DE=DF．
∴四边形 DFAE 为正方形．
107．（1）证明：∵AC 不 BD 相交于点 O，∴∠AOB=∠COD，（1 分）
在△AOB 和△COD 中， ∴△AOB≌△COD，（2 分）∴OA=OC，（3分）
∵OA=OC，OB=OD，∴四边形 ABCD 为平行四边形（4 分）
解：四边形 ABCD 是菱形．（5 分）
因为对角线互相垂直平分的四边形是菱形．（6 分）
（戒对角线互相垂直的平行四边形是菱形）
解：四边形 A1BC1D 是正方形（7 分）
因为对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．（8 分）
（戒对角线相等的菱形是正方形）
108．（1）解：△ABC≌△BAD．
证明：∵AD=BC，∠ABC=∠BAD=90°，AB=BA，
∴△ABC≌△BAD（SAS）．
证明：∵AH∥GB，BH∥GA，
∴四边形 AHBG 是平行四边形．
∵△ABC≌△BAD，
∴∠ABD=∠BAC．
∴GA=GB．
∴平行四边形 AHBG 是菱形．
解：需要添加的条件是 AB=BC．
109．解：（1）四边形 EFGH 是正方形．（1 分）证明：∵四边形 ABCD 是正方形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA，
∵HA=EB=FC=GD，
∴AE=BF=CG=DH，（2 分）
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，（3 分）
∴EF=FG=GH=HE，（4 分）
∴四边形 EFGH 是菱形，（5 分）
∵△DHG≌△AEH，
∴∠DHG=∠AEH，
∵∠AEH+∠AHE=90°，∴∠DHG+∠AHE=90°，∴∠GHE=90°，（6 分）
∴四边形 EFGH 是正方形．（7 分）
（2）∵HA=EB=FC=GD=1，AB=BC=CD=AD=3，∴GF=EF=EH=GH=
，
∵由（1）知，四边形 EFGH 是正方形，∴GO=OF，∠GOF=90°， 由勾股定理得：GO=OF=，
∵S 四边形FCGO=×1×2+ ××= ，
∴S 阴影=﹣S 四边形FCGO×4=10﹣9=1．
110．（1）证明：∵AB=BC=CD=DA，AE=BF=CG=DH，
∴EB=FC=GD=HA，
∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，（2 分）
∴HE=EF=FG=GH，∠1=∠2，（3 分）
∴四边形 EFGH 是菱形，（4 分）
∵∠1+∠3=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠4=90°，
∴四边形 EFGH 是正方形；（5 分）
（2）解：如图，设原正方形为 ABCD，正方形 EFGH 是要裁下的正方形，且 EH 过点 P．
设 AH=x，则 AE=1﹣x．
∵MP∥AH，
∴，（6 分）
整理得 12x2﹣11x+2=0， 解得 ，（7 分）
当 时，S 正方形 EFGH=，
当 时，S 正方形 EFGH=，
∴当 BE=DG=米，BF=DH= 米时，裁下正方形面积最大，面积为米 2．（9分）
111．解：（1）①证明：由作图的过程可知四边形 MNED 是矩形．在 Rt△ADM 不 Rt△CDE 中，
∵AD=CD，又∠ADM+∠MDC=∠CDE+∠MDC=90°，
∴DM=DE
∴四边形 MNED 是正方形．
∵DE2=CD2+CE2=a2+b2，
∴正方形 MNED 的面积为 a2+b2；
②过点 N 作 NP⊥BE，垂足为 P，如图
可以证明图中 6 不 5 位置的两个三角形全等，4 不 3 位置的两个三角形全等，2
不 1 位置的两个三角形也全等．
所以将 6 放到 5 的位置，4 放到 3 的位置，2 放到 1 的位置，恰好拼接为正方形MNED．
（2）答：能．
理由是：由上述的拼接过程可以看出：对于任意的两个正方形都可以拼接为一个正方形，而拼接出的这个正方形可以不第三个正方形在拼接为一个正方形，依此类推．由此可知：对于 n 个任意的正方形，可以通过（n﹣1）次拼接，得到一个正方形．
112. 解：（1）5；
（2）24 ；解题思路示意图：
（2）AB：AD=4：5． 113．解：（1）如图；
（2）PP2 不 AB 平行且相等．
证明：设 PP1 分别交 l1、l2 于点 O1、O2，
∵P、P1 关于 l1 对称，点 P2 在 PP1 上，
∴PP2⊥l1 又∵AB⊥l1
∴PP2∥AB
∵l1⊥AB，l2⊥AB
∴l1∥l2
∴四边形 O1AMO2 是矩形∴O1O2=AM=a∴P、P1 关于 l1 对称，P1O1=PO1=b
∵P1、P2 关于 l2 对称
∴P2O2=P1O2=P1O1﹣O1O2=b﹣a
∴PP2=PP1﹣P1P2=PP1﹣2P2O2=2b﹣2（b﹣a）=2a
∴PP2 AB．