2024-2025学年广东省部分学校高二下学期5月联考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年广东省部分学校高二下学期5月联考数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合A=−1,1,2，B=x∣−1≤x≤1，则A∩B=( )
A. x∣−1≤x≤1B. −1,0,1C. −1,1D. x∣−1≤x≤2
2.在复平面内，复数9+5i2+7i对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)离心率为3，则双曲线C的渐近线方程为
A. y=± 22xB. y=± 2xC. y=±2 2xD. y=± 24x
4.已知向量a=(1,−2)，b=(−4,3)，则b在a上的投影向量的坐标为( )
A. (−8,6)B. (8,−6)C. (−2,4)D. 2,−32
5.将一个边长为20的正方形铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，做成一个无盖方盒，当方盒的容积最大时，x=( )
A. 3B. 4C. 83D. 103
6.在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1=2AB=2，P为CC1的中点，Q为底面A1B1C1D1内一点，若PQ= 2，则点Q的轨迹长度为( )
A. πB. π2C. 2πD. 3π4
7.现提供5种不同的颜色给图中①②③④⑤这5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同1种颜色，每个区域只涂1种颜色，则不同的涂色方案共有( )
A. 360种B. 420种C. 120种D. 480种
8.若(x−1)nn∈N∗的展开式各项系数的绝对值之和为512，则(x+1)8(x−1)n的展开式中x11的系数为( )
A. −56B. 56C. −70D. 70
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知随机变量ξ的分布列为
则下列结论正确的是( )
A. E(ξ)=2B. E(2ξ+1)=4C. D(ξ)=1D. D(2ξ+1)=2
10.若(4−3x)8=a0+a1x+a2x2+⋯+a8x8，则( )
A. a0=48
B. a5=56×43×35
C. a1+a2+⋯+a8=1
D. a1+2a2+22a3+⋯+27a8=27−215
11.若不等式xex+x+lnx>ln(ax)+ax恒成立，则实数a的取值可能是( )
A. 12B. 1eC. 2D. e
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在▵ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinA:sinB:sinC=4:5:7，则csB= ．
13.定义在(0,+∞)上的函数f(x)的导函数为f′(x)，若xf′(x)−f(x)0的解集为 ．
14.已知f(x+1)是定义在R上的奇函数，且f(x+4)=f(2−x)，当x∈(1,3]时，f(x)=ex−lg2x，则f(2025)+f(2026)= ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
2025年河北广播电视台《魅力朗读者》青少年朗读大会以“双争”为主题，延续中华文脉与基因，激发青少年的爱国爱乡情怀，让经典的力量浸润青少年的心田，使时代之声得以传扬，同时，该活动也为广大学生提供一个认识自我、锻炼自我、展示自我、完善自我的舞台，携手广大青少年立时代新潮，发时代新声．某学校准备从2名女同学与7名男同学中随机抽取5名同学为本次朗读大会做准备练习，且均以单人形式按先后顺序进行练习．
(1)若2名女同学均参加练习，且她们的练习顺序不能相邻，则不同的安排方法有多少种？
(2)若2名女同学均参加练习，且前3名练习的同学中有女同学，则不同的安排方法有多少种？
16.(本小题15分)
在等差数列an中，a4+a8=34，a10=29．
(1)求an的通项公式；
(2)设bn=2nan，求数列bn的前n项和Tn．
17.(本小题15分)
某研究生导师带领6名研究生参与某项目研究，其中有2名研究生有参与项目经验，4名研究生没有参与项目经验．该项目研究分为三个阶段，依次开展，每个阶段均从这6名研究生中随机抽取2名参与研究．没有参与项目经验的研究生只要参加了1次项目研究，即视为有参与项目经验的研究生．
(1)求研究生A在该项目研究的三个阶段中恰有一次被抽到的概率；
(2)求第一阶段抽到有参与项目经验的研究生人数ξ的分布列；
(3)记第二阶段抽到没有参与项目经验的研究生人数为η，求η的期望．
18.(本小题17分)
某零件厂销售部以箱为单位销售某种零件，每箱零件的定价为500元，低于200箱按原价销售，不低于200箱有两种优惠方案．方案一：以200箱为基准，每多100箱免12箱的金额．方案二：通过双方议价，买方能以每箱优惠8％的价格成交的概率为0.3，以每箱优惠6％的价格成交的概率为0.4，以每箱优惠5％的价格成交的概率为0.3．
(1)买方甲要在该厂购买200箱这种零件，并选择方案二，求甲以低于9.5万元的金额购买这200箱零件的概率．
(2)买方乙要在该厂购买400箱这种零件，以购买总价的数学期望为决策依据，试问乙选择哪种优惠方案更划算？请说明你的理由．
(3)买方丙要在该厂购买960箱这种零件，由于购买的箱数超过500，该厂的销售部让丙综合使用这两种方案作为第三种方案，即一部分用方案一(箱数必须是100的正整数倍)，另一部分使用方案二(箱数不限)，试问丙应该如何使用方案三，才能获得最多的优惠？说明你的理由．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=2ex−ax2．
(1)若曲线y=f(x)在点1,f(1)处的切线方程为bx+y+a=0，求a,b；
(2)若f(x)在(0,+∞)上有两个零点，求a的取值范围；
(3)若a=2，过点(0,2)向曲线y=f(x)作切线，求切线的方程．
参考答案
1.C
2.B
3.C
4.C
5.D
6.B
7.B
8.A
9.AC
10.AD
11.AB
12.57
13.(1,3)
14.e2−1
15.(1)因2名女同学均参加练习，这可从7名男同学中选取3名，又因2名女同学练习顺序不相邻，
可考虑在3名男同学留下的4个空位插入2位女同学，则不同的安排方法有A73A42=2520种．
(2)采用间接法.因2名女同学均参加练习且不考虑顺序，则不同的安排方法有C73A55=4200种；
考虑前3名练习的同学中没有女同学，则这2名女同学被安排在最后2位练习，不同的安排方法有A73A22=420种．
故2名女同学均参加练习，且前3名练习的同学中有女同学的安排方法有4200−420=3780种．

16.(1)设数列an的首项为a1，公差为d，
所以a4+a8=2a1+10d=34,a10=a1+9d=29,
解得a1=2，d=3，
故an的通项公式为an=3n−1．
(2)因为bn=an×2n=(3n−1)×2n，
所以Tn=2×21+5×22+⋯+(3n−1)×2n，①
2Tn=2×22+5×23+⋯+(3n−4)×2n+(3n−1)×2n+1，②
①−②得−Tn=4+3×22+23+⋯+2n−(3n−1)×2n+1
=4+3×22×1−2n−11−2−(3n−1)×2n+1=(4−3n)×2n+1−8，
故Tn=(3n−4)×2n+1+8．

17.(1)由题意得研究生A每个阶段被抽到的概率为C51C62=13，
则研究生A在该项目研究的三个阶段中恰有一次被抽到的概率为C31×232×13=49．
(2)ξ的所有可能取值为0，1，2．
P(ξ=0)=C42C62=615=25，P(ξ=1)=C21C41C62=815，P(ξ=2)=C22C62=115，
所以ξ的分布列为
(3)η的所有可能取值为0，1，2．
P(η=0)=C42C62×C42C62+C41C21C62×C32C62+C22C62×C22C62=61225，
P(η=1)=C22C62×C21C41C62+C21C41C62×C31C31C62+C42C62×C41C21C62=128225，
P(η=2)=C22C62×C42C62+C21C41C62×C32C62+C42C62×C22C62=36225，
所以η的分布列为
所以E(η)=0×61225+1×128225+2×36225=89．

18.(1)买方甲要在该厂购买200箱这种零件，并选择方案二，
若甲以每箱优惠8％的价格成交，则成交的金额为500×(1−8％)×200=9.2万元;
若甲以每箱优惠6％的价格成交，则成交的金额为500×(1−6％)×200=9.4万元;
若甲以每箱优惠5％的价格成交，则成交的金额为500×(1−5％)×200=9.5万元
故甲以低于9.5万元的金额购买这200箱零件的概率为0.3+0.4=0.7；
(2)买方乙要在该厂购买400箱这种零件，
若乙选择方案一，则成交的金额为500×400−400−200100×12×500=18.8万元
若乙选择方案二，设成交的金额为X万元，则PX=500×(1−8％)×400104=P(X=18.4)=0.3，
PX=500×(1−6％)×400104=P(X=18.8)=0.4
PX=500×(1−5％)×400104=P(X=19)=0.3
所以买方乙按方案二在该厂购买400箱这种零件的成交金额的数学期望为E(X)=18.4×0.3+18.8×0.4+19×0.3=18.74万元
因为18.740，得x>2，
由g′(x)