广东省上进联考2025届高三下学期5月联合测评 数学试题（含解析）

这是一份广东省上进联考2025届高三下学期5月联合测评 数学试题（含解析），文件包含2026年高考数学复习知识清单全国通用专题05求递推公式之全题型培优归类21题型原卷版docx、2026年高考数学复习知识清单全国通用专题05求递推公式之全题型培优归类21题型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共57页， 欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数，则（ ）
A．B．C．D．
3．在中，“且”是“为锐角三角形”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知正实数，满足，则的最大值为（ ）
A．1B．C．D．2
6．已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．已知数列是公比为（且）的等比数列，点在圆：上，且满足，若是圆的切线，则（ ）
A．B．C．2D．3
8．已知为等腰直角三角形，，D为斜边BC上一动点，将沿AD折起得到三棱锥，C的对应点为，且二面角为，当最小时，三棱锥的外接球半径为（ ）
A．B．C．D．2
二、多选题
9．为了丰富学生的课余生活，减轻学生的学习压力，某校提倡师生全民健身，口号为“全民健身，与奥运同行”.该校跳绳社团组织学生校内跳绳比赛，得到10名同学的跳绳数分别为：180，166，190，176，180，200，170，198，160，220（单位：个），则这组样本数据的（ ）
A．极差为60B．平均数是184C．方差为400D．分位数是185
10．已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，其中O为坐标原点，则（ ）
A．C的离心率为B．的周长为
C．面积的最大值为D．若，则点Q在定直线上
11．如果数列的首项，且满足，则称数列为“等距数列”.已知数列是“等距数列”，则（ ）
A．
B．若数列为“等1距数列”，则可能取值的集合为
C．若，数列的前n项和或
D．若，，，则数列存在最大项与最小项
三、填空题
12．已知向量，，则在上的投影向量的坐标为 .
13．已知函数，则的极小值为 .
14．数学中有时会采用十进制以外的进制进行计数，比如二进制.二进制是“逢二进一”的进制，例：二进制转化成十进制数为.若正整数n可以用位二进制数表示，其中，记.已知关于x的多项式，则该多项式中x的奇次项系数和为 .
四、解答题
15．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若.
（1）求A；
（2）若，求周长的取值范围.
16．在平面五边形中，，，O为的中点，将四边形沿翻折，形成一个四棱锥，记平面与平面所成二面角的平面角为.
（1）证明：无论为何值，直线平面；
（2）当时，求平面与平面夹角的余弦值.
17．已知双曲线的左焦点，其一条渐近线方程为.
（1）求的标准方程；
（2）过的右焦点作x轴的垂线与在第一象限内交于点P，过点P作斜率为，的直线分别交于M，N两点，则当时，判断直线的斜率是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
18．五一期间，某医院进行送医下乡活动，需要派遣医生到11个社区义诊，为了方便统计，现在对这11个社区根据到医院的距离由近到远进行标号分别为0，1，2，…，10.每个社区需要安排4名医生，先从医院选派2名男医生、2名女医生到距离医院最近的0号社区，其它各社区各安排1名男医生，1名女医生，为了节约资源，在0号社区完成义诊后，从4名医生中随机选2名医生到1号社区，待1号社区完成义诊后，再从1号社区随机选2名医生到2号社区，按照这样的方式进行下去，直至最后一个社区义诊完成.记第号社区有1名男医生为事件，有2名男医生为事件，有3名男医生为事件.
（1）求第2号社区有2名男医生的概率；
（2）当时，求与i的关系式；
（3）记在第10号社区有男医生的个数为，求的分布列和期望.
19．已知函数，.
（1）求的最小值；
（2）已知曲线和直线交于A，B两点，设坐标原点为O.
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）若，讨论与的大小关系，并说明理由.
参考答案
1．【答案】C
【详解】由，即，解得，
所以，
又，所以，
所以如图所示的阴影部分表示的集合为.
故选C
2．【答案】B
【详解】因为，所以，
所以.
故选B
3．【答案】B
【详解】因为所以是锐角，因为，所以是锐角，但是不一定是锐角，
如，此时是钝角三角形，所以是不充分条件；
若为锐角三角形，则是锐角，所以且成立，所以是必要条件，
故选B.
4．【答案】D
【详解】，所以，
所以，
故选D.
5．【答案】A
【详解】因为正实数，满足，
所以
，当且仅当，即、时等号成立.
故选A
6．【答案】C
【详解】因为在上单调递增，由函数在上单调递增，
可得在上单调递增且恒成立，
，解得，
即实数的取值范围是.
故选C.
7．【答案】D
【详解】如图，设点分别为圆的圆心，依题意不妨设，
由题意知，因为是圆的切线，
根据勾股定理可得，，
所以，因为点在圆上,
故可设点，又，，
代入化简得，
整理得，
则，解得或（舍去）.
故选D.
8．【答案】B
【详解】
设，则，
过点作于点，过点作于点，
则，，
，，
，
作为在平面上的投影，连接，
由于二面角大小为，
所以，
且，
，
，
所以当时，即为中点时，有最小值，
因为为中点，故，
又为平面内两条相交直线，
所以平面，
由正弦定理可得三角形外接圆半径为，又，
设三棱锥的外接球半径为，
则，
所以，
所以，
故选B
9．【答案】ABD
【详解】将这组数据从小到大排序得160,166,170,176,180,180,190,198,200,220,
这组数据的极差为，故 A 正确；
平均数为，故 B 正确；
方差为
，故 C 错误；
因为，所以分位数为，故正确.
故选ABD.
10．【答案】BD
【详解】设椭圆的长半轴为，短半轴为，半焦距为，
，，
所以椭圆的离心率，故 A 错误；
的周长为，故B正确；
设，，
联立，整理得，
由，解得，
此时，
所以，
点到直线的距离，
所以的面积
，当且仅当，即时， 的面积取最大值，故C错误；
设，由，有，即，
因为，所以，故，
于是有，所以点在定直线上，故D正确；
故选BD.
11．【答案】ABD
【详解】对于A：当时，
，
，当时也满足，所以，故A正确；
对于B：由“等距数列”的定义可知前四项可能为：；；；
；；；；.
故的可能取值的集合为，故B正确
对于C：，，，，
，
若数列为单调数列，当时, ；
当时, ；
若数列为摆动数列，则上式不成立，故C错误；
对于D：若为单调数列，不妨令单调递增，则，
所以是以为首项，为公差的等差数列，则，则当时，与题意矛盾；
所以是摆动数列，由，则，
即的取值均在到之间（可能包含端点），又由的确定性，则必定存在最大值与最小值
（如从函数的角度理解，点为夹在与之间（可能包含直线与上的点）一系列离散的点，则一定存在最高点与最低点），
所以数列存在最大项和最小项，故D正确；
故选ABD.
12．【答案】
【详解】因为，，
所以，，
所以在上的投影向量为.
13．【答案】
【详解】因为，所以，
当 时，，故 ，
所以，
当 时，，故 ，
所以，
综上，当时，恒成立，故在区间上单调递增，
又因为，，
即，所以的图象关于直线对称，
故在区间 上单调递减，故为的极小值点，的极小值为 .
14．【答案】
【详解】因为，或，
所以表示正整数的二进制表示中的个数，
要计算关于x的多项式中奇数项的系数和，
即为计算时为奇数的个数，
按位数讨论，位二进制数，只有，是奇数，共个；
位二进制数，最高位是，要使所有位加起来是奇数，
则要求其余的位中有偶数个，依据二项式系数的性质得，
所以总个数为.
15．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）因为，所以，
即，解得，
又，所以 .
（2）由余弦定理，
即，
故，当且仅当时取等号，
又，故，即周长的取值范围是.
16．【答案】（1）证明见解析
（2）
【详解】（1）
由题意可知：，所以四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，
所以无论为何值，直线平面.
（2）
由题意可知：为等边三角形，四边形为等腰梯形，
取的中点，连接，易知两两垂直，如图建立空间直角坐标系，
又，
则，
则，
设平面的法向量为，则，
令，则，所以，
设平面的法向量为，则，
令，则，所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为
17．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）双曲线的渐近线为，
由题意可知的半焦距，又，，
解得，，
故的标准方程为.
（2）由（1）可知，由，解得，
所以，则直线的方程为，
代入，消去得.
设，
所以，可得，则，
因为，所以，，
所以直线的斜率
，
所以直线的斜率为定值.
18．【答案】（1）
（2）
（3）分布列见解析，
【详解】（1）依题意第2号社区有2名男医生的概率
；
（2）当时,
，
由 ,
故
，
即有，
又，则，
即数列是以为首项，为公比的等比数列，即，
所以.
（3）依题意的可能取值为，，，
易知10号社区有1名男医生的概率与有3名男医生的概率相同，即，
所以，
，
所以的分布列为：
所以.
19．【答案】（1）
（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）答案见解析，理由见解析
【详解】（1）单调递增，且，
单调递减；单调递增；
所以.
（2）（ⅰ）令函数，则.
若，则，在R上单调递增，至多有一个零点，矛盾，故舍去；
当，，单调递减；单调递增；
若，即，此时至多一个零点，矛盾，舍去；
所以，即.
（ⅱ）此时，，
不妨设，，，
又在上单调递减，在上单调递增，
因此在和上各有一零点，
所以或，即.
令，，所以在R上单调递减，
所以时，，即，
时，，即.
若，则，，所以；同理，，.
所以时，.
时，.
综上所述，时，；时，.