重庆市2025年普通高等学校招生全国统一考试高三第三次联合诊断检测 数学试题（含解析）

这是一份重庆市2025年普通高等学校招生全国统一考试高三第三次联合诊断检测 数学试题（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则的元素个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．已知为虚数单位，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知直线，和平面，其中，则“”是“”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
4．过圆O：外的点作O的一条切线，切点为M，则（ ）
A．2B．C．D．4
5．已知函数的一个极小值点为，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数在上恰有2个零点，则的最小正周期的最小值为（ ）
A．B．C．D．
7．设函数的定义域为，是的导函数.若是奇函数，则的图象（ ）
A．关于对称B．关于对称
C．关于对称D．关于对称
8．已知长方体中，，，E为的中点.若长方体表面上的动点P满足，则动点P的轨迹围成面积为（ ）
A．24B．18C．D．12
二、多选题
9．我国1949年—2023年高中阶段毛入学率和高等教育毛入学率变化如图所示，可以判断（ ）
A．2000年—2005年高中阶段毛入学率增量高于1995年—2000年高中阶段毛入学率增量
B．2015年—2020年高等教育毛入学率增加了14.4%
C．2015年—2020年高中阶段入学人数低于2010年—2015年高中阶段入学人数
D．2023年高等教育入学人数是2015年高等教育入学人数的1.5倍
10．已知，则（ ）
A．，使得是增函数B．，函数均存在极值点
C．，函数只有一个零点D．，且，有
11．已知双曲线C：的右焦点为F，P是C右支上的动点，P到直线，和的距离分别为，，，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
12．已知两个非零向量，，若，，，则 .
13．某同学在无人防守时的三分球命中率为0.6，每次投篮是否投中相互独立，若他在三分线外连续投篮10次，每投中一次得三分，记其最后得分为，则 .
14．设数列满足.若存在常数，使得成立，则的最小值是 .
四、解答题
15．随机询问80名不同职业的人在购买食品时是否看营养说明，得到如下调查结果：
（1）从这80名受访者中随机抽出1人，已知此人在购买食品时要看营养说明，求这名受访者从事与医疗无关行业的概率；
（2）依据小概率的独立性检验，能否推断两个群体在购买食品时是否看营养说明存在差异？
参考公式：
独立性检验中常用小概率值和相应临界值：
16．在中，内角所对的边分别为，.
（1）求角；
（2）若，的面积为，求.
17．如图，三棱台中，，，，，，在底面内的射影为中点.
（1）求三棱台的体积；
（2）求平面与平面夹角的正弦值.
18．已知椭圆C：的离心率为，C与曲线经过x轴上的同一点.
（1）求C的方程；
（2）作曲线在处的切线l.
（ⅰ）若，l与C相交于A，B两点，P是C上任意一点，求面积的最大值；
（ⅱ）当时，证明l与C有两个公共点.
19．现定义：对于实数，若，则称是和的加比中项；若、则称是和的减比中项．已知数列满足，，且存在正数，使是和的加比中项与减比中项．
（1）若是与的等比中项，求；
（2）数列满足，，且满足是和的减比中项．记数列的前项和为．
（i）求证：是和的减比中项；
（ii）当时，求证：．
参考答案
1．【答案】C
【详解】集合，则，
所以集合C的元素个数为3个.
故选C
2．【答案】B
【详解】因为，
所以.
故选B.
3．【答案】C
【详解】由，，则可能有，或者与相交，不能推出，
若，，则有，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选C
4．【答案】B
【详解】由题意有，即.
故选B.
5．【答案】A
【详解】已知，根据绝对值的性质，
当时，，此时；
当时，，此时.
所以.
对分段函数求导，
当时，，对其求导，可得；
当时，，对其求导可得.
因为是函数的一个极小值点，所以在左侧附近，在右侧附近.
当时，，令，即，解得；
当时，，令，即，解得.
要使是极小值点，则需满足，解这个不等式，得.
所以实数的取值范围是.
故选A.
6．【答案】D
【详解】当，则，有两个零点，则，
所以，由知，最小正周期的最小值为.
故选D.
7．【答案】B
【详解】因为是奇函数，所以，即，
对其求导，则有，所以关于直线对称.
故选B
8．【答案】A
【详解】由知，点P的轨迹是平面ACE与长方体表面相交线围成的图形，
取的中点F，连接EF，则有，
又，所以EFCA为等腰梯形，
，由此可算出其高，
所以等腰梯形EFCA的面积.
故选A.
9．【答案】AB
【详解】2000年—2005年高中阶段毛入学率增量为，
1995年—2000年高中阶段毛入学率增量为，故A正确；
2015年—2020年高等教育毛入学率增加了，故B正确，
由图中只能知道入学率，没有人数基数，故CD错误.
故选.
10．【答案】ACD
【详解】对于AB，，当时，，所以为增函数，此时无极值，所以A正确，B错误；
对于C，当时，由，得或，由，得，
所以在上递增，上递减，上递增，
又，当时，，
所以观察图象可知，函数只有一个零点，所以C正确；
对于D，当时，由选项C可知在上递增，上递减，上递增，
所以的极大值为，极小值为，
因为，所以，
当时，由，得或，由，得，
所以在上递增，上递减，上递增，
因为，，所以，综上，所以D正确.
故选ACD
11．【答案】BCD
【详解】设点，则有，所以，，.
对于A，由双曲线的性质有，所以，故A错误；
对于B，，故B正确，
对于C，，故C正确；
对于D，，所以当PF垂直于时，有最小值为，故D正确.
故选BCD.
12．【答案】2
【详解】对进行平方，可得.
已知，， ，.
将上述值代入可得：.即.
已知，所以.
又因为，所以.可得.
因为为非零向量，所以，可得.
13．【答案】18
【详解】设投篮投中的次数为Y，，由题意，.
14．【答案】/
【详解】由题意：即可，；
若，则且，故，则必有；
若，则，该数列为常数列，即，此时；
若，则显然有；
综上所述：的最小值为.
15．【答案】（1）
（2）无差异
【详解】（1）用A表示事件“受访者在购买食品是要看营养说明”，
B表示事件“受访者从事医疗无关行业”，“已知此人在购买食品时要看营养说明，
求这名受访者从事与医疗无关行业”的概率就是在“在事件A发生的条件下，事件B发生”的概率，记为，
，，所以；
（2）零假设为：职业与看营养说明相互独立，即两个群体在购买食品时是否看营养说明无差异，
根据表中数据，计算得到，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
所以可以认为成立，
即认为两个群体在购买食品时是否看营养说明无差异.
16．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）由，得，
根据余弦定理，则有，
所以，因为，则；
（2）因为，所以.
所以，
由正弦定理及，
有，
即有，
解得.
17．【答案】（1）168
（2）
【详解】（1）取中点为，连接，，由题意，为三棱台的高，
因为，，，所以，则，
又因为，所以，
因为，且，，所以，
所以的面积为，则的面积为，
所以三棱台的体积为；
（2）以，分别为，轴，过点作轴平面，建立空间直角坐标系，
则，，，，
又，，所以，，
所以，，，
设为平面的法向量，，取；
设为平面的法向量，，
取，
设平面与平面夹角为，
所以，
则，
所以平面与平面夹角的正弦值为.
18．【答案】（1）
（2）（i）；（ii）证明见解析
【详解】（1）由题意，C经过点，则，又，，
可得，，
所以；
（2）（ⅰ）由求导得，当时，切线l：，联立消去y，
得，则有或，所以，
设，则点P到l的距离，
因为，令，则，
从而，
令，得，故，.
所以面积的最大值为，当且仅当，即，时取最大.
（ⅱ）切线l：即，
带入中有，
由题意只需证明，即，
即证：，令，，
，
令，，
，所以在上单调递减，因为，
所以当时，，，当时，，，
所以当时，单调递减，当时，单调递增，
所以，得证.
19．【答案】（1）1
（2）证明见解析.
【详解】（1）由是和的加比中项，得；由是和的减比中项，得，
则，即有，，，而，
因此，由是与的等比中项，得，即，而，
所以.
（2）（i）由是和的减比中项，得，
而，则，于是，令，则，
因此，即，
由（1）知，，，数列是首项为，公比为的等比数列，
则，于是得，
所以是和的减比中项.
（ii）由（i）知，，，，
由，得，，
而，当时，，，因此，
由，得，即，变形得，
因此，
，
所以.
职业
买食品时是否看营养说明
合计
不看营养说明
看营养说明
从事与医疗相关行业
12
28
40
从事与医疗无关行业
18
22
40
合计
30
50
80
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828