吉林省长春市东北师范大学附属中学2024−2025学年高三下学期第四次模拟考试 数学试题（含解析）

这是一份吉林省长春市东北师范大学附属中学2024−2025学年高三下学期第四次模拟考试 数学试题（含解析），文件包含2026年高考数学复习知识清单全国通用专题05求递推公式之全题型培优归类21题型原卷版docx、2026年高考数学复习知识清单全国通用专题05求递推公式之全题型培优归类21题型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共57页， 欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数z满足，则复数 （ ）
A．1B．C．5D．
3．某唱歌比赛共有10位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从10个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到8个有效评分．8个有效评分与10个原始评分相比，一定不变的数字特征是（ ）
A．众数B．中位数C．平均数D．标准差
4．已知平面，，直线，满足，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
5．已知，则（ ）
A．B．C．D．
6．所有棱长都是2的正四棱锥的内切球半径为（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数的定义域为R，，且，，则（ ）
A．是奇函数B．
C．D．是周期为2的函数
8．坐标平面上的点也可表示为，其中，为轴非负半轴绕原点逆时针旋转到与重合的旋转角．将点绕原点逆时针旋转后得到点，这个过程称之为旋转变换，已知旋转变换公式：，将曲线绕原点顺时针旋转后得到曲线，则曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．对于回归分析，下列结论中正确的是（ ）
A．两个变量的线性相关性越强，则相关系数r的绝对值越接近于0
B．若回归直线的斜率估计值为，样本点的中心为，则回归直线方程为
C．在回归直线方程中，当解释变量x每增加1个单位时，预报变量平均增加0.2个单位
D．用相关指数来刻画回归效果，越大，说明模型的拟合效果越好
10．已知函数在上有且只有五个零点，下列结论中正确的是（ ）
A．的图象关于对称B．在上，方程有3个根
C．的取值范围是D．在上单调递增
11．已知双曲线，直线m与双曲线的右支交于点A，B（A在x轴上方），与双曲线的两条渐近线交于点M，N（M在x轴上方），O为坐标原点．当直线m的斜率存在时，下列结论中正确的是（）
A．恒成立
B．的面积的最小值为1
C．若，则
D．若，则的面积为定值
三、填空题
12．已知向量满足，且，则 ．
13．已知在等差数列中，是正整数，且，设为数列的前n项和，若，则 ．
14．盒子中有1个红球，2个黄球，3个白球，随机不放回依次取出一个球，直到将球全部取出，则黄球最先被全部取出（取出最后一个黄球时盒子里还有红球和白球）的概率为 ．
四、解答题
15．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，的面积为，周长为20．
（1）求A；
（2）求a．
16．如图，在直角梯形ABCD中，于E，沿DE将折起，使得点A到点P的位置，，N是棱BC上的动点（不与B，C重合），F是棱PB中点，于M．

（1）证明：平面平面PBC﹔
（2）当三棱锥的体积为时，求平面EFN和平面PCD的夹角的余弦值．
17．已知函数．
（1）若恒成立，求实数a的取值范围；
（2）证明：当时，．
18．知点，点P在y轴上，点Q在x轴上，且满足．
（1）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹的方程；
（2）设点为轨迹内一定点，过E作斜率分别为的两条直线交轨迹于点A，B和C，D，且S，T分别是线段AB，CD的中点．
（i）当且时，求面积的最小值；
（ⅱ）若 （为常数），证明：直线ST过定点．
19．某学校食堂共有A，B，C三个窗口分别为学生提供三种不同菜品，假设每人每餐只能选择一个窗口，某人第i次在A，B，C窗口选餐分别记为事件．已知，若某次选择A窗口，则下次选择A，B，C窗口的概率分别为；若某次选择B窗口，则下次选择A，B，C窗口的概率分别为．若某次选择C窗口，则下次选择A，B，C窗口的概率分别为．
（1）判断事件与事件是否相互独立，并说明理由；
（2）设，证明：；
（3）定义随机变量，当选择A窗口时，否则，求数学期望．
参考答案
1．【答案】A
【详解】，，
则.
故选A.
2．【答案】C
【详解】，
则.
故选C.
3．【答案】B
【详解】设10位评委评分按从小到大排列为，
对A，可能存在两个一样的最低分，且仅最低分为原众数，
则去掉1个最低分后，其众数发生了变化，故A错误；
对B，原始中位数为，去掉最低分，最高分，
后剩余，中位数仍为，故B正确；
对C，原始平均数，
后来平均数，平均数受极端值影响较大，
与不一定相同，C错误；
对D，原标准差为，
后标准差为，两者可能不等，故D错误.
故选B.
4．【答案】A
【分析】根据题意，由线面关系分别验证充分性以及必要性，即可得到结果.
【详解】因为，由面面垂直的判定定理可知“”“”，故充分性满足；
由“”，且，不一定得到“”，有可能线面平行或者直线在平面内，故必要性不满足；则“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
5．【答案】A
【详解】函数，则，
所以.
故选A
6．【答案】C
【详解】依题意，所有棱长都是2的正四棱锥的高，
体积，表面积，
设该棱锥的内切球半径为，则，即.
故选C
7．【答案】B
【详解】函数，，
对于A，取，，则，
解得，不是奇函数，A错误；
对于B，，取，则，
即，B正确；
对于C，取，则，即，C错误；
对于D，由，得，即，
因此2不是的周期，D错误.
故选B
8．【答案】B
【详解】设曲线上一点，其绕原点顺时针旋转后对应的曲线上的点为，
则，，
，
整理可得：，即曲线的方程为：，
，，，曲线的离心率.
故选B.
9．【答案】BD
【详解】对于A，两个变量的线性相关性越强，则相关系数r的绝对值越接近于1，A错误；
对于B，设回归直线方程为，则，回归直线方程为，B正确；
对于C，当解释变量x每增加1个单位时，预报变量平均增加0.1个单位，C错误；
对于D，用相关指数来刻画回归效果，越大，说明模型的拟合效果越好，D正确.
故选BD
10．【答案】BCD
【详解】由，则，
根据函数在上有且只有五个零点，
可得，解得：，故C正确；
当时，，由于，
所以不一定等于，则的图象不一定关于对称，故A错误；
因为，所以在内有，
一定没有，则，可得满足的3个解，故B正确；
当时，，
因为，所以，
此时，所以，
则在上单调递增，故D正确；
故选BCD.
11．【答案】ACD
【详解】对于A，设，代入得，①
显然，即，
设，则是方程①的两个根，
有，
设，
由得，由，得；
所以，所以和的中点重合，
所以，所以恒成立．故A正确．
对于B，设直线方程为，
由得,由得，
，，故B错误．
对于C，因为和的中点重合为，所以，
又，所以，所以，故C正确．
对于D，因为，所以，
得，即，
所以，又，
所以是定值．故D正确．
故选ACD．
12．【答案】/
【详解】由，，得，而，
所以.
13．【答案】5
【详解】设等差数列的公差为，由，，即，
由，得数列是递增的，而，又是正整数，
则是正整数，于是是正整数，而，即是正偶数，
是正奇数，且，因此，，，，符合题意，
所以.
14．【答案】
【详解】依题意，黄球最先被全部取出时，可以取2次球，也可取3次球，还可取球4次，
若取球2次，黄球最先被全部取出的概率；
若取球3次，黄球最先被全部取出的概率；
若取球4次，黄球最先被全部取出的概率，
所以所求概率为.
15．【答案】（1）；
（2）.
【详解】（1）由 得 ，即，
因为，则，则，则.
（2）的面积为，则，
根据余弦定理有，
又因为，则，解得.
16．【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【详解】（1）依题意，由平面，得平面，
而平面，则，而平面，
于是平面，又平面，则，而，
平面，因此平面，而平面，
所以平面平面PBC.

（2）由（1）知，直线两两垂直，以为原点，直线分别为建立空间直角坐标系，
由F是棱PB中点，得点到平面的距离，
由，解得，即为的中点，
，
，，
设平面的法向量，则，取，得，
设平面的法向量，则，取，得，
因此，
所以平面EFN和平面PCD的夹角的余弦值为.
17．【答案】（1）；
（2）证明见解析.
【详解】（1）函数定义域为，
不等式，
令函数，依题意，对恒成立，
，当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，，则，
所以实数a的取值范围是.
（2）由（1）知，当时，不等式恒成立，则恒成立，
因此，令函数，
求导得，当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，，
所以当时，.
18．【答案】（1）；
（2）（i）4；（ⅱ）证明见解析.
【详解】（1）设，，，
由，得，解得，
由，得，则，即，
所以点M的轨迹的方程为.
（2）（i）设直线方程为，设，
由消去得，则，
，，
直线方程为，同理，
当时，
，由，得，
因此的面积，
当且仅当且时取等号，
所以面积的最小值为4.

（ⅱ）由（i）得直线的斜率，
直线的方程，即，
又，则，则有，
即，由，得，
所以直线ST过定点.
19．【答案】（1）相互独立，理由见解析；
（2）证明见解析；
（3）.
【详解】（1），
，
所以事件与事件相互独立.
（2）依题意，，，
，
则，，
，
于是，，
所以.
（3），
由（2）知，，而，
数列中的奇数项是以为首项，为公比的等比数列，
当为奇数时，，
又，则，因此；
当为偶数时，，
，解得，
所以.