吉林省长春市2024−2025学年高三下学期质量监测（四） 数学试题（含解析）

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一、单选题
1．复数在复平面上所对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．已知随机变量，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知向量和满足与的夹角为，则（ ）
A．B．2C．D．
4．若，且，则（ ）
A．B．C．D．
5．圆与的公共弦长为（ ）
A．B．C．D．4
6．在正四面体ABCD中，M，N分别是棱AB，CD的中点，则直线AN与CM所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
7．已知直线与曲线交于A，B两点，若同时经过原点和线段AB中点的直线斜率为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．结合以下材料：“在空间直角坐标系O-xyz中，过点且一个法向量为的平面的方程为.”解决问题：在空间直角坐标系O-xyz中，若直线l是两平面与的交线，则直线l的方向向量可以是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知函数，则（ ）
A．是的一条对称轴
B．与函数相等
C．在区间上单调递减
D．在区间上的取值范围是
10．已知函数，若函数存在两个零点，则的取值可能是（ ）
A．B．1C．2D．3
11．数学里常研究一些形状特殊的曲线，常用到数形结合的思想方法.比如形状酷似“星星”的曲线（如图所示），则下列关于曲线的说法正确的有（ ）
A．周长大于25
B．共有4条对称轴
C．围成的封闭图形面积小于14
D．围成的封闭图形内能放入圆的最大半径为1
三、填空题
12．已知，则 .
13．已知是公差不为0的等差数列的前n项和，且，，成等比数列，则 .
14．已知函数在上的最大值比最小值大，则 .
四、解答题
15．为了研究某市高三年级学生的性别和身高的关联性，随机抽取了200名高三年级学生，整理数据得到如下列联表，并画出身高的频率分布直方图：
（1）根据身高的频率分布直方图，求列联表中的，的值；
（2）依据小概率值的独立性检验，能否认为“高三年级学生的性别”与“身高是否低于”有关联？
（3）将样本频率视为概率，在全市不低于的学生中随机抽取6人，其中不低于的人数记为，求的期望.
附：，
16．已知函数.
（1）当时，求在处的切线方程；
（2）当时，恒成立，求a的取值范围.
17．已知数列中，.
(1)若依次成等差数列，求；
(2)若，证明数列为等比数列，并求数列的前项和.
18．如图，两个底面相同的正四棱锥，顶点M，N位于底面两侧，底面ABCD是边长为6的正方形.

（1）证明：平面平面BMDN；
（2）若且，点P满足，求直线AM与平面BPN所成角的正弦值.
19．已知点为圆上任意一点，点，线段的垂直平分线交直线于点，设点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)若过点的直线与曲线相切，且与直线分别交于点.
（i）证明：点为线段的中点；
（ii）求的取值范围.
参考答案
1．【答案】A
【详解】复数.
故选A
2．【答案】D
【详解】由题意得
故选D.
3．【答案】D
【详解】由题意，.
故选D.
4．【答案】B
【详解】由，则，
则，
又，
所以，所以，.
故选B
5．【答案】A
【详解】圆： ①，所以，.
圆： ②，所以，.
因为，所以圆与圆相交.
因此公共弦所在直线的方程为①②：，
圆的圆心到公共弦的距离为，
即公共弦长为.
故选A
6．【答案】C
【详解】将正四面体ABCD中置于正方体中，如图，
易得，，
所以四边形为平行四边形，则，
则异面直线AN与CM所成角即为直线AN与NE所成角，
即为直线AN与CM所成角（或补角），
设正方体的棱长为2，则，，
在中，由余弦定理可得，，
因此直线AN与CM所成角的余弦值为.
故选C.
7．【答案】D
【详解】设，，
则，①
，②
因为：同时经过原点和线段AB中点的直线斜率为，
由得：中点坐标为，所以，
且.
①②可得，
则，
故选D
8．【答案】A
【详解】由阅读材料可知：平面的法向量可取，
平面的法向量可取，
设直线的方向向量，
则，令，则，
故选A.
9．【答案】AD
【详解】，
令，，，
当时，为的一条对称轴，A正确；
，B错误；
令，当时，，
显然在上不单调，C错误；
当时，，所以，∴，D正确.
故选AD
10．【答案】BCD
【详解】，图象如图
则在上共有3个零点，
即在上有3个根，，，.
又因为函数在上存在两个零点，故.
故选BCD.
11．【答案】ABC
【详解】对A：由题意，在第一象限曲线的方程为，
即，
当时，曲线在圆的下方，理由如下：
因为，可设，，
则
而
（只有当或时取“”）.
所以（只有和时取“”）.
故时，曲线在圆的下方.
即第一象限曲线的长度大于圆周长的，
即曲线的周长大于圆的周长，而，则A选项正确；
对B：由曲线的方程为可知，
因为，，，代入方程，方程都不变，
所以曲线关于轴，轴，直线和对称，共有4条对称轴，则选项B正确；
对C：由A选项的推证可知：曲线围成的封闭图形的面积，
则选项C正确；
对D：第一象限曲线的方程为，
所以，，（都是当且仅当时取“”）.
所以曲线上距离原点的最短距离为，因此围成的封闭图形内最大能放入半径为的圆，
则选项D错误.
故选ABC
12．【答案】
【详解】因为，所以，解得，
所以.
13．【答案】4
【详解】设等差数列的公差为，由，，成等比数列，则，
即，可得，
.
14．【答案】1
【详解】，
所以为奇函数，且在上的最大值比最小值大，
所以在上的最大值比最小值大.
由对勾函数的性质可得在上单调减，在上单调递增.
当时，即时，在上单调递增.
则，
解得.
当时，即时，在上单调递减，在上单调递增.
，
因为，所以，
所以，
解得（舍去）或9（舍去）.
综上.
15．【答案】（1），
（2）有，过程见解析
（3）
【详解】（1）由图，低于的学生有人，则不低于170cm的学生有人.
从而，；
（2）零假设为：性别与身高没有关联，
计算可得
根据的独立性检验，推断不成立，因此该市高三年级学生的性别与身高是否低于170cm有关联；
（3）样本中抽中不低于175cm的频数为人
样本中抽中不低于175cm的频率为
将样本频率视为概率，在全市不低于170cm的学生中随机抽取6人，
其中不低于175cm的人数记为，则
.
16．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）当时，，
又因为，
所以，切线方程为，即.
（2）当时，，
①当时，因为恒成立，所以；
②当时，由恒成立，得
令，.
再令，
所以在上单调递增，
所以，所以.
所以在上单调递增，所以.
所以.
即的取值范围为：
17．【答案】(1)；
(2)证明见解析，.
【详解】（1），
又依次成等差数列，所以，
即，解得.
（2）证明：因为，
且，所以是首项为1，公比为2的等比数列，
可得，则，
.
18．【答案】（1）证明见解析
（2）
【详解】（1）由题意，连接AC，BD，MN交于点O，则MN⊥平面ABCD，
∵平面ABCD，∴，∵ABCD为正方形，∴，
∵平面BMDN，平面BMDN，，∴平面BMDN，
∵平面AMCN，∴平面平面BMDN.
（2）由且，
在△AMN中，易得.
以O为坐标原点，如图，建立空间直角坐标系，

则，，，，，，
所以，，，
求出平面BPN的一个法向量.
设直线AM与面BPN所成角为，
则，
所以直线AM与平面BPN所成角的正弦值为.
19．【答案】(1)；
(2)（i）证明见解析；（ii）.
【详解】（1）
为的垂直平分线上一点，则.
.
点的轨迹为以为焦点的双曲线，且
故点的轨迹方程为.
（2）
（i）设，
双曲线的渐近线方程为①，②,
当直线的斜率存在时，设过点且与相切的直线的方程为，
与双曲线联立
由，且，故可得.
由；
.
.
点为线段的中点.
当直线的斜率不存在时，直线的方程是，根据双曲线的对称性可知，
此时直线即是双曲线的切线，同时满足点为线段的中点.
综上，点为线段的中点.
（ii）由（i）知，.
,
.
当且仅当，即时取等号.
又，
的取值范围为.
性别
身高
合计
低于
不低于
女
20
男
50
合计
200
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828