人教版暑假七升八数学考点衔接自学 专题08 三角形有关的角新知超前练（原卷版+解析版）

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（一）三角形的分类
（1）按角分类:
三角形 直角三角形
斜三角形 锐角三角形
钝角三角形
那么三角形按边如何进行分类呢？请你按“有几条边相等”将三角形分类。
三边都相等的三角形叫做等边三角形；
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；
三边都不相等的三角形叫做不等边三角形。
（2）按边分类:
三角形 不等边三角形
等腰三角形 底和腰不等的等腰三角形
等边三角形
（二）三角形相关的角
（1）内角和定理：
①三角形的内角和等180°；
②推论：直角三角形的两锐角互余．
（2）外角的性质：
①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和．
②三角形的任意一个外角大于任何和它不相邻的内角．
（3）三角形内外角角平分线模型总结：
如图①，AD平分∠BAC，AE⊥BC，则∠α=∠BAC-∠CAE=（180°-∠B-∠C）-（90°-∠C）=（∠C-∠B）；
如图②，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，则有∠O=∠A+90°；
如图③，BO、CO分别为∠ABC、∠ACD、∠OCD的平分线，则∠O=∠A，∠O’=∠O；
如图④，BO、CO分别为∠CBD、∠BCE的平分线，则∠O=90°-∠A．
新知训练
考点1：三角形的分类
典例1：（2025秋·辽宁抚顺·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，则图中直角三角形有______个．
【答案】3
【分析】根据直角三角形的概念可以直接判断．
【详解】解：由图得△ABD为直角三角形，△ADC为直角三角形，△ABC为直角三角形，
共有3个直角三角形．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查直角三角形的概念，掌握直角三角形的概念是解题的关键．
【变式1】（2025秋·山西朔州·八年级校考阶段练习）已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且a−b+c−a2=0，若按边进行分类，则△ABC为______三角形．
【答案】等边
【分析】利用非负数的性质可得a=b，c=a，按边进行分类，即可得到答案．
【详解】∵a−b+c−a2=0，
∴a−b=0，c−a=0，
∴a=b，c=a，
则a=b=c，
∴△ABC是等边三角形．
故答案为：等边．
【点睛】本题考查了非负数的性质以及三角形的分类，注意：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
【变式2】（2025秋·八年级课时练习）三角形按边的关系可分为_________和___________，而等腰三角形又分
为___________________和_____________.三角形按内角大小可为___________、____________和_____________.
【答案】 三边不相等的三角形 和等腰三角形 .腰和底不相等的等腰三角形， 等边三角形， 锐角三角形， 直角三角形， 钝角三角形
【分析】根据三角形的边角分类即可求解.
【详解】三角形按边的关系可分为三边不相等的三角形和等腰三角形，而等腰三角形又分
为腰和底不相等的等腰三角形和等边三角形.三角形按内角大小可为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形
.
【点睛】此题主要考查三角形的分类，解题的关键是熟知三角形的边角分类.
【变式3】（2025秋·八年级课时练习）如图，∠ACD＝90°，则图中的锐角三角形是_________，钝角三角形有______个．
【答案】 △ACE； 4.
【分析】三个角都是锐角的三角形是锐角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角是钝角三角形；有两条边相等的三角形是等腰三角形，三条边相等的三角形是等边三角形（是特殊的等腰三角形），根据三角形按角分类的方法进行逐项分类即可．
【详解】观察图形可知，△ACE是锐角三角形，；
△CED、△CDB、△CEB、△ACB是钝角三角形，共4个.
故答案为△ACE，4．
【点睛】本题是考查三角形的分类．
考点2：三角形的内角和定理
典例2：（2025春·七年级课时练习）如图，∠B=46°，∠A+10°=∠1，AB∥CD，则∠ACD=________°．
【答案】62
【分析】根据三角形的内角和等于180°，得出∠A的度数，再根据两直线平行，内错角相等，即可得出∠ACD的度数．
【详解】解：∵∠A+∠B+∠1=180°，
又∵∠B=46°，∠A+10°=∠1，
∴∠A+46°+∠A+10°=180°，
解得：∠A=62°，
∵AB∥CD，
∴∠ACD=∠A=62°．
故答案为：62
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、平行线的性质，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理．
【变式1】（2025春·浙江杭州·七年级校考阶段练习）如图，直线l1∥l2，直线AB交l1，l2于D，B两点，AC⊥AB交直线l1于点C．若∠1=20°，则∠2=__________．
【答案】110°/110度
【分析】利用垂直定义和三角形内角和定理计算出∠ADC的度数，再利用平行线的性质可得∠3的度数，再根据邻补角的性质可得答案．
【详解】解：如图所示：
∵AC⊥AB，
∴∠A=90°，
∵∠1=20°，
∴∠ADC=180°-90°-20°=70°，
∵l1∥l2，
∴∠3=∠ADC=70°，
∴∠2=180°-70°=110°，
故答案为：110°．
【点睛】此题主要考查了平行线的性质，三角形内角定理，垂直的定义，关键是掌握两直线平行，同位角相等．
【变式2】（2025春·江苏扬州·七年级统考期末）如图：PC、PB是∠ACB、∠ABC的平线，∠A=40º，∠BPC=________．
【答案】110°/110度
【分析】首先根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB的度数，再根据角平分线的性质可得∠PCB=12∠ACB,∠PBC=12∠ABC,进而． 可求∠PBC+∠PCB的度数，再次在△CBP中利用三角形内角和即可求解．
【详解】解：∵∠A=40°,
∴∠ABC+∠ACB=180°−40°=140°,
又∵BP平分∠ABC,CP平分∠ACB,
∴∠PCB=12∠ACB,∠PBC=12∠ABC,
∴∠PBC+∠PCB=12∠ABC+∠ACB=12×140°=70°,
∴∠BPC=180°−∠PBC+∠PCB=110°,
故答案为：110°．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的性质，此类题解题的关键是找出角平分线平分的两个角的和的度数，从而利用三角形内角和定理求解．
【变式3】（2025秋·湖南邵阳·八年级校考期中）如图，∠1:∠2:∠3=1:3:6，则∠4=___________．
【答案】100°/100度
【分析】根据邻补角和为180°，以及∠2，∠3的比例，可求出∠2的度数，根据∠2与∠1的比例可求出∠1的度数，进而可求出∠4的度数．
【详解】解：∵∠2:∠3=3:6，且∠2+∠3=180°，
∴∠2=39×180°=60°，
∴∠1=60°×13=20°，
∴∠4=180°−20°−80°=100°
故答案为：100°．
【点睛】本题考查三角形的内角和，利用比例求各部分的角的值，补角的性质，能够熟练应用比例求出各部分的具体值是解决本题的关键．
考点3：与平行线有关的内角和问题
典例3：（2025秋·辽宁朝阳·八年级统考期末）如图，已知l1∥l2，∠A=55°，∠2=105°，则∠1的度数为__________．

【答案】50°/50度
【分析】根据平角的定义得出∠ACB=75°，根据三角形内角和得到∠ABC=50°，再根据平行线的性质即可得解．
【详解】解：∵∠2=105°，
∴∠ACB=180°−105°=75°，
∵∠A=55°，
∴∠ABC=180°−55°−75°=50°，
∵l1∥l2，
∴∠1=∠ABC=50°，
故答案为50°．
【点睛】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
【变式1】（2025秋·甘肃庆阳·八年级校考期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，DE∥AB，若∠CDE=160°，则∠B的度数为___________．
【答案】70°/70度
【分析】利用平角的定义可得∠ADE=20°，再根据平行线的性质知∠A=∠ADE=20°，再由内角和定理可得答案．
【详解】解：∵∠CDE=160°，
∴∠ADE=20°，
∵DE∥AB，
∴∠A=∠ADE=20°，
∴∠B=180°−∠C−∠A=180°−90°−20°=70°．
故答案为：70°．
【点睛】本题考查的是平行线的性质以及三角形内角和定理的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
【变式2】（2025春·四川达州·七年级校考阶段练习）如图，直线AB∥EF，C是直线AB上一点，D是直线AB外一点，若∠BCD=99°，∠CDE=21°，则∠DEF的度数为________．
【答案】120°/120度
【分析】直接利用平行线的性质并结合三角形内角和定理即可得出答案．
【详解】解：延长FE交CD于点N，
∵AB∥EF，∠BCD=99°，∠CDE=21°，
∴∠FND=∠BCD=99°，
∵∠CDE=21°，
∴∠DEN=180°−∠CDE−∠FND
=180°−21°−99°
=60°，
∴∠DEF=180°−∠DEN=120°，
∴∠DEF的度数为120°．
故答案为：120°．
【点睛】本题考查平行线的性质，三角形的内角和定理，求一个角的补角等知识．正确理解和运用平行线的性质是解题的关键．
【变式3】（2025春·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）如图，已知，AB//CD，点P是CD上一点，PM平分∠BPC,PN⊥PM交直线AB于点N，若∠ABP=∠CPM，则∠N的度数为_______°．
【答案】30
【分析】由AB//CD得到∠BMP=∠CPM，由PM平分∠BPC得到∠CPM=∠MPB，由∠ABP=∠CPM知，△BMP中三个内角均相等，进而由内角和定理求出∠BMP=60∘，最后在△MPN中，结合PN⊥PM由内角和定理即可求出∠N=30°．
【详解】解：∵AB//CD，
∴∠BMP=∠CPM，
∵PM平分∠BPC，
∴∠CPM=∠MPB，
又已知∠ABP=∠CPM，
∴∠BMP=∠MPB=∠APB=180∘÷3=60∘，
∵PN⊥PM，
∴∠MPN=90∘，
在△MPN中，由三角形内角和定理可知：∠N=180∘−∠MPN−∠BMP=180∘−90∘−60∘=30∘，
故答案为：30．
【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的性质、三角形内角和定理等知识点，属于基础题，本题的关键是得到∠BMP=∠MPB=∠APB．
考点4：与角平分线有关的内角和问题
典例4：（2025春·江苏·七年级校联考期中）如图，在△ABC中，∠BAC与∠ACB的角平分线相交于点P．若∠APC=130°，则∠B=_____°．
【答案】80
【分析】根据三角形内角和可以求得∠PAC+∠PCA的度数，再根据角平分线的定义，求出 ∠BAC+∠BCA，最后利用三角形内角和定理解答即可.
【详解】解：在△PAC中，∠APC=130°，
∴∠PAC+∠PCA=180°−130°=50°，
∵PA和PC ∠BAC与∠ACB的角平分线，
∴∠BAC+∠BCA=2(∠PAC+∠PCA)=100°，
在△ABC中，∠B=180°−(∠BAC+∠BCA)=80°,
故答案为：80.
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理和角平分线的定义，掌握三角形的内角和定理和角平分线的定义是解题的关键.
【变式1】（2025秋·浙江宁波·八年级校考期末）如图，在△ABC中，∠BAC=80°，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC，∠B=60°，则∠DAE=___________度．
【答案】10
【分析】由AD⊥BC可得∠BDA=90°，由直角三角形两个锐角互余，得到∠BAD=30°，再由AE平分∠BAC可得∠BAE=40°，根据∠DAE=∠BAE−∠BAD．
【详解】∵AD⊥BC，
∴∠BDA=90°，
∵∠B=60°，
∴∠BAD=90°−∠B=90°−60°=30°，
∵∠BAC=80°，AE平分∠BAC，
∴∠BAE=40°，
∴∠DAE=∠BAE−∠BAD=40°−30°=10°．
故答案为：10
【点睛】本题考查了三角形角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟练掌握相关知识是解题的关键．
【变式2】（2025秋·宁夏中卫·八年级统考期末）如图，BF平分外角∠CBP，CF平分外角∠BCQ，已知∠A=70°，则∠F的度数为________．
【答案】55°
【分析】根据角平分线的定义得出∠CBF=12∠CBP，∠BCF=12∠BCQ，再根据三角形内角和与平角的定义得出∠F=90°−12∠A，最后将∠A=70°代入即可得出答案．
【详解】解：∵ BF平分外角∠CBP，CF平分外角∠BCQ
∴∠CBF=12∠CBP，∠BCF=12∠BCQ
∵∠A=70°
∴∠F=180°−∠CBF+∠BCF
=180°−12∠CBP+∠BCQ
=180°−12180°−∠CBA+180°−∠BCA
=12∠CBA+∠BCA
=12180°−∠A
=90°−12∠A
=55°
故答案为：55°．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和以及平角的定义，根据图中信息得出∠F=90°−12∠A是解题的关键．
【变式3】（2025春·七年级课时练习）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于P点，若∠A＝60° ，则∠P=_____．
【答案】30°/30度
【分析】利用角平分线定义可知∠PCD=12∠ACD．再利用外角性质，可得∠ACD=∠A+∠ABC①，∠PCD=∠P+12∠ABC②，那么可利用∠PCA=∠PCD，可得相等关系，从而可求∠P．
【详解】解：∵CP是∠ACD的角平分线，
∴∠PCD=12∠ACD．
又∵∠ACD＝∠A+∠ABC，
∴∠PCD=12∠A+12∠ABC，
又∵∠PCD=∠P+12∠ABC，
∴12∠A+12∠ABC=∠P+12∠ABC，
∴∠P=12∠A=30°．
【点睛】本题利用了角平分线定义、三角形外角性质．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和．
考点5：与折叠有关的内角和问题
典例5：（2025春·重庆沙坪坝·七年级重庆市南渝中学校校考期中）如图，点D、E分别在AB、AC上，将纸片△ABC沿DE折叠，点A落在点F处，∠BDF+∠FEC=100°，则∠A是___________°．
【答案】50
【分析】根据折叠可以得到∠ADE=∠FDE，∠AED=∠FED，再根据平角可得∠ADF+∠AEF+∠BDF+∠CEF=360°，因此可得∠ADE+∠AED=360°−100°2=130°，∠A=50°．
【详解】解：根据折叠可以得到，
∠ADE=∠FDE，∠AED=∠FED，
∴ ∠ADE+∠AED=12∠ADF+∠AEF，
∵ ∠ADF+∠AEF+∠BDF+∠CEF=360°，∠BDF+∠FEC=100°，
∴ ∠ADF+∠AEF=260°，
∴ ∠ADE+∠AED=12∠ADF+∠AEF=130°，
∴ ∠A=50°．
故答案为：50．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，折叠的性质，熟知折叠的性质是解题的关键．
【变式1】（2025秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期末）如图，在△ABC中，沿DE折叠，点A落在三角形所在的平面内的A1处， 若∠A=30°，∠BDA1=80°，则∠CEA1=_________．
【答案】20°/20度
【分析】根据折叠的性质得出∠ADE=∠A1DE，∠AED=∠A1ED，根据∠BDA1=80°，得出∠AED=100°，根据∠CEA1=∠AED+∠A1ED−180°，即可求解．
【详解】解：∵沿DE折叠，点A落在三角形所在的平面内的A1处，
∴∠ADE=∠A1DE，∠AED=∠A1ED，
∵∠BDA1=80°，
∴∠ADA1=∠ADE+∠A1DE=100°，
∴∠ADE=∠A1DE=50°
∴∠AED=180°−∠A−∠ADE=100°
∴∠AED=∠A1ED=100°
∴∠CEA1=∠AED+∠A1ED−180°=20°，
故答案为：20．
【点睛】本题考查了折叠问题中的三角形内角和定理的应用，掌握折叠的性质以及三角形内角和定理是解题的关键．
【变式2】（2025春·浙江·七年级专题练习）在“妙折生平−−折纸与平行”的拓展课上，小潘老师布置了一个任务：如图，有一张三角形纸片ABC，∠B=30°，∠C=50°，点D是AB边上的固定点(BDc，则以a、b、c为边一定能组成三角形
【答案】①②
【分析】利用三角形外角的性质，三角形的内角和定理，三角形的中线、高线、角平分线的定义，平行线的性质，三角形的三边关系分析即可．
【详解】解：①因为三角形的内角和是180°，所以三角形的所有内角中，至少有两个角是锐角，故正确；
②三角形的高、中线、角平分线都是线段，故正确；
③三角形的外角大于和它不相邻的内角，故错误；
④两直线平行，同旁内角互补，故错误；
⑤若三条线段的长a、b、c满足a+b>c且满足b