高一升高二数学暑假预习课16讲第15讲 抛物线与7考点精讲（学生版）

这是一份高一升高二数学暑假预习课16讲第15讲 抛物线与7考点精讲（学生版），共11页。
\l "_Tc26964" 一、 抛物线的标准方程 PAGEREF _Tc26964 \h 2
\l "_Tc18888" 基础知识 PAGEREF _Tc18888 \h 2
\l "_Tc15715" 考点1 动点的轨迹问题 PAGEREF _Tc15715 \h 2
\l "_Tc23004" 考点2 由抛物线的定义解题 PAGEREF _Tc23004 \h 3
\l "_Tc15368" 考点3 抛物线的焦点坐标及准线方程 PAGEREF _Tc15368 \h 4
\l "_Tc22129" 考点4 求抛物线的标准方程 PAGEREF _Tc22129 \h 4
\l "_Tc19804" 二、抛物线的几何性质 PAGEREF _Tc19804 \h 5
\l "_Tc15188" 基础知识 PAGEREF _Tc15188 \h 5
\l "_Tc18865" 考点5 抛物线对称性 PAGEREF _Tc18865 \h 6
\l "_Tc25725" 考点6 抛物线相关最值问题 PAGEREF _Tc25725 \h 6
\l "_Tc5724" 考点7 抛物线相关的实际应用 PAGEREF _Tc5724 \h 7
\l "_Tc15910" 三、 课后作业 PAGEREF _Tc15910 \h 9
\l "_Tc517" 单选题 PAGEREF _Tc517 \h 9
\l "_Tc27233" 多选题 PAGEREF _Tc27233 \h 10
\l "_Tc9303" 填空题 PAGEREF _Tc9303 \h 10
\l "_Tc12420" 解答题 PAGEREF _Tc12420 \h 10
一、 抛物线的标准方程
基础知识
1．抛物线的定义
(1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线.
(2)集合语言表示
设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到直线l的距离为d，则抛物线就是点的集合P={M||MF|=d}.
2．抛物线的标准方程
抛物线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系：
考点1 动点的轨迹问题
【例1.1】（23-24高二下·广西·阶段练习）点P到直线y=3的距离比到点F0,−1的距离大2，则点P的轨迹方程为（ ）
A．y2=2xB．y2=−4xC．x2=4yD．x2=−4y
【例1.2】（23-24高二上·重庆·期末）已知点Px,y满足(x−1)2+y2=x+1，则点P的轨迹为（ ）
A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆
【变式1.1】（23-24高二下·甘肃白银·期中）若圆C与x轴相切且与圆x2+y2=4外切，则圆C的圆心的轨迹方程为（ ）
A．x2=4y+4B．x2=−4y+4
C．x2=4y+4D．x2=4y−4
【变式1.2】（23-24高三上·安徽·开学考试）已知圆C与过点−1,0且垂直于x轴的直线l仅有1个公共点，且与圆C′:x2+y2−6x+5=0外切，则点C的轨迹方程为（ ）
A．y2=12xB．y2=6xC．x24+y23=1D．x210+y2=1
考点2 由抛物线的定义解题
【例2.1】 （23-24高二上·安徽合肥·期末）已知抛物线x2=2y上有两个点A，B，焦点为F，若AF+BF=7，则线段AB的中点到x轴的距离是（ ）
A．32B．2C．52D．3
【例2.2】（23-24高二上·广东汕头·期末）已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为8，到y轴的距离为5，则p=（ ）
A．2B．3C．6D．9
【变式2.1】（23-24高二下·河南焦作·期末）已知点A0,2，抛物线C:y2=2pxp>0的焦点为F， 射线FA与抛物线C 交于点M，与拋物线准线相交于N，若 MN=5FM， 则p的值为（ ）
A．12B．1C．2D．3
【变式2.2】（23-24高二上·河北邢台·阶段练习）已知A为抛物线C:x2=2py(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为18，到x轴的距离为12，则p=（ ）
A．6B．8C．10D．12
考点3 抛物线的焦点坐标及准线方程
【例3.1】 （23-24高二上·陕西西安·阶段练习）已知抛物线y=2px2过点1,4，则该抛物线的焦点坐标为（ ）
A．1,0B．116,0C．0,116D．0,1
【例3.2】（23-24高二上·四川攀枝花·期末）对抛物线y=14x2，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为0,1B．开口向右，焦点为1,0
C．开口向上，焦点为0,116D．开口向右，焦点为116,0
【变式3.1】（23-24高二上·辽宁·阶段练习）抛物线x2=−4y的准线方程是（ ）
A．y=1B．y=−1C．y=2D．y=−2
【变式3.2】（2024·全国·模拟预测）抛物线y=ax2上一点P−1,2到其准线的距离为（ ）
A．52B．178C．12D．78
考点4 求抛物线的标准方程
【例4.1】（23-24高二上·全国·期末）已知抛物线的焦点坐标为2,0，则抛物线的标准方程是（ ）
A．y2=−8xB．y2=8x
C．x2=−8yD．x2=8y
【例4.2】（23-24高二上·陕西西安·期中）抛物线y2=mxm>0的准线与直线x=1的距离为3，则此抛物线的方程为（ ）
A．y2=16xB．y2=8xC．y2=4xD．y2=2x
【变式4.1】（23-24高二上·四川乐山·期中）已知点F是抛物线x2=2py(p>0)的焦点，点M(x0,1)在抛物线上，若FM=32，则该抛物线的方程为（ ）
A．x2=2yB．x2=32yC．x2=yD．x2=12y
【变式4.2】（2024·北京·模拟预测）已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，准线为l，点A是抛物线C上一点，AD⊥l于D.若AF=2,∠DAF=60∘，则抛物线C的方程为（ ）
A．y2=8xB．y2=4x
C．y2=2xD．y2=x
二、抛物线的几何性质
基础知识
1．抛物线的几何性质
抛物线的简单几何性质：
2．抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异
抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异：
①它们都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形；
②顶点个数不同，椭圆有4个顶点，双曲线有2个顶点，抛物线只有1个顶点；
③焦点个数不同，椭圆和双曲线各有2个焦点，抛物线只有1个焦点；
④离心率取值范围不同，椭圆的离心率范围是00）的准线的距离为6，那么抛物线的方程是（ ）
A．y=12x2B．y=−136x2C．y=−36x2D．y=112x2
5．（23-24高二上·浙江温州·期中）已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线y2=4x上，则这个等边三角形的边长为（ ）
A．83B．42C．43D．32
6． （23-24高二上·安徽阜阳·期末）已知A3,2，抛物线C:y2=8x的焦点为F,P是抛物线C上任意一点，则△PAF周长的最小值为（ ）
A．32B．5+22C．5+5D．3+22
7．（23-24高二上·福建厦门·阶段练习）已知点P是抛物线x2=2y上的一动点，焦点为F，若定点M(1,2)，则当P点在抛物线上移动时，|PM|+|PF|的最小值等于（ ）
A．52B．2C．3D．4
8．（23-24高三上·河南驻马店·期末）已知O为坐标原点，抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，若AF=3BF，则OA=（ ）
A．23B．15C．17D．21
多选题
9．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知抛物线C:x2=4y的焦点为F，O为坐标原点，点Mx0,y0在抛物线C上，若|MF|=5，则（ ）
A．F的坐标为(1,0)B．x0=±4C．y0=3D．|OM|=42
10．（2024·全国·模拟预测）已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，点P5,y0在抛物线上，且|PF|=6，过点P作PQ⊥x轴于点Q，则（ ）
A．p=2B．抛物线的准线为直线y=−1
C．y0=25D．△FPQ的面积为45
填空题
11．（23-24高二下·上海·期中）已知抛物线C:x2=−2py(p>0)经过点(2,−1)，则此抛物线的准线方程是
.
12．（23-24高二上·重庆·期末）已知抛物线C:y2=8x的焦点为F，P点为抛物线上任意一点，M为圆E:x−62+y2=4上任意一点，则2PM+MF的最小值为 .
解答题
13．（2024高二上·江苏·专题练习）分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．
(1)准线方程为2y+4=0；
(2)过点(3,−4)；
(3)焦点在直线x+3y+15=0上．
14．（23-24高二上·上海浦东新·期末）已知点P到点F(2,0)的距离等于它到直线x=−2的距离，
(1)求点P的轨迹方程;
(2)若A(2,2)，求△PAF周长的最小值.
15．（23-24高二上·全国·课后作业）如图，A地在B地东偏北45°方向相距22km处，且B与l相距4km.已知曲线形公路PQ上任意一点到B地的距离等于到高铁线l（近似看成直线）的距离，现要在公路旁建造一个变电房M（变电房与公路之间的距离忽略不计）

(1)试建立适当的直角坐标系求环形公路PQ所在曲线的轨迹方程；
(2)问变电房M应建在相对A地的什么位置（方位和距离），才能使得架设电路所用电线长度最短？并求出最短长度.
16．（23-24高二·全国·课后作业）在两个条件①点B3,2；②点B3,4中任选一个，补充在下面的问题中．
已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，点P在此抛物线上移动，求：
(1)点P到点F与它到______的距离之和的最小值；
(2)点P到点A−1,1与它到准线l的距离之和的最小值；
(3)点P到直线y=−4x−5与它到准线l的距离之和的最小值．
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
y2=2px(p>0)
y2=-2px(p>0)
x2=2py(p>0)
x2=-2py(p>0)
标准
方程
y2=2px(p>0)
y2=-2px(p>0)
x2=2py(p>0)
x2=-2py(p>0)
图形
顶点
(0,0)
(0,0)
轴
对称轴y=0
对称轴x=0
焦点
准线
离心率
e =1
e=1
开口
开口向右
开口向左
开口向上
开口向下
焦半径
范围
x≥0
x≤0
y≥0
y≤0