高一升高二数学暑假预习课16讲暑假结业测试卷提高篇（解析版）

这是一份高一升高二数学暑假预习课16讲暑假结业测试卷提高篇（解析版），共21页。
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc13538" 暑假结业测试卷（范围：第一、二、三章）（提高篇） PAGEREF _Tc13538 \h 1
\l "_Tc22207" 参考答案与试题解析 PAGEREF _Tc22207 \h 1
\l "_Tc21033" 一、选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） PAGEREF _Tc21033 \h 2
\l "_Tc2261" 二、多选题（共4小题，满分20分，每小题5分） PAGEREF _Tc2261 \h 8
\l "_Tc17989" 三、填空题（共4小题，满分20分，每小题5分） PAGEREF _Tc17989 \h 12
\l "_Tc5386" 四、解答题（共6小题，满分70分） PAGEREF _Tc5386 \h 15
一、选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（23-24高二上·四川巴中·阶段练习）已知a→=2,−1,3，b→=−1,4,−2，c→=1,3,λ，若a→，b→，c→三向量共面，则实数λ等于（ ）
A．1B．2
C．3D．4
【解题思路】根据题意，存在实数x,y使得c=xa+yb，列出方程组，即可求解.
【解答过程】若向量a，b，c共面，则c=xa+yb，其中x,y∈R，
即1,3,λ=2x,−x,3x+−y,4y,−2y，
所以1,3,λ=2x−y,−x+4y,3x−2y，
∴2x−y=1−x+4y=33x−2y=λ解得x=1y=1λ=1.
故选：A.
2．（5分）（23-24高二上·广东潮州·期中）已知点A−1,1、B1,2、C0,−1， 过点C的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是（ ）
A．−2,3B．(−2,0)∪(0,3)
C．−∞,−2∪3,+∞D．以上都不对
【解题思路】过点C的直线l与线段AB有公共点，利用数形结合，得到直线l的斜率k≤kAC或k≥kBC，进而求解即可
【解答过程】如图，过点C的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k≤kAC或k≥kBC，
而kAC=−2,kBC=3，于是直线l的斜率k≤−2或k≥3，
所以直线l斜率k的取值范围是(−∞,−2]∪[3,+∞)，
故选：C.
3．（5分）（23-24高二上·福建厦门·期中）已知抛物线x2=4y的焦点为F，点B1,3，若点A为抛物线上任意一点，当AB+AF取最小值时，点A的坐标为（ ）
A．(1,4)B．(4,1)C．14,1D．1,14
【解题思路】设点A在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义把问题转化为求AB+AD取得最小值，数形结合求解即可.
【解答过程】抛物线x2=4y的焦点为F0,1，准线为y=−1，
设点A在准线上的射影为D，如图，

则根据抛物线的定义可知|AF|=|AD|，
求AB+AF的最小值，即求AB+AD的最小值，
显然当B，A，D三点共线时AB+AD取得最小值，
此时A点的横坐标为1，则12=4y，解得y=14，即A1,14.
故选：D.
4．（5分）（23-24高二上·广东湛江·阶段练习）已知直线l和平面α，且l∥α，l的方向向量为l=2,m,1，平面α的一个法向量为n=−1,1,n，m>0,n>0，则1m+1n的最小值为（ ）
A．2B．4C．42D．22
【解题思路】利用空间向量法解决线面平行，得到m+n=2，再利用代换1法，来求最小值.
【解答过程】由l∥α得：l⋅n=0⇒2,m,1⋅−1,1,n=−2+m+n=0⇒m+n=2，
所以1m+1n=121m+1nm+n=122+nm+mn
因为m>0,n>0，所以nm+mn≥2nm⋅mn=2，
所以1m+1n≥122+2=2，当且仅当m=n=1等号成立，
故选：A.
5．（5分）（2024·陕西·模拟预测）直线l过双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点F，且与C的左、右两支分别交于A，B两点，点B关于坐标原点对称的点为P，若PF⊥AB，且AF=3PF，则C的离心率为（ ）
A．3B．342C．2D．102
【解题思路】借助双曲线定义与双曲线的对称性，结合题意可得BF1=PF=5a，BF=3a，利用勾股定理计算即可得解.
【解答过程】如图所示，取双曲线左焦点F1，设PF=m，则AF=3PF=3m，
由双曲线定义可得AF−AF1=BF1−BF=2a，又B、P关于原点对称，
故AF1=3m−2a，BF1=PF=m，BF=m−2a，
则AB=3m−m−2a=2m+2a，
由PF⊥AB，故F1B⊥AB，故有3m−2a2=2m+2a2+m2，
化简可得m=5a，即有BF1=PF=5a，BF=3a，
由PF⊥AB，则有2c2=5a2+3a2，即4c2=34a2，
即e=ca=342.
故选：B.
6．（5分）（23-24高三上·全国·阶段练习）若点M在C:x2+y+12=1上，点P在直线l:x−y+1=0上，则下列说法不正确的是（ ）
A．PM最小值为2−1B．若PM与圆C相切，则PM最小值为1
C．∠CPM最大值为π4D．∠CPM最小值为π4
【解题思路】根据点到直线距离求出圆上点到直线距离的最值判断A,B选项，再结合正弦值判断C,D选项.
【解答过程】圆心C0,−1到l距离d=1+12=2，所以PM最小值为2−1，所以A正确；
PM=CP2−1，所以当CP取最小值时1+12=2，PM最小，则PM最小值为1，所以B正确;
在直线l上任取一点P，当PM与圆相切时，∠CPM最大，
又因为点P是直线上的动点，所以CP取最小值2时，sin∠CPM=CMCP=1CP≤22,∠CPM最大为π4，所以C正确，D选项错误
故选:D.
7．（5分）（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左､右焦点分别为F1,F2，过F2的直线l与C交于P,Q两点，若F2Q:PQ:F1Q=1:4:5，则下列结论错误的是（ ）
A．PF1⊥PF2B．△QF1F2的面积等于a26
C．C的离心率等于22D．直线l的斜率为22
【解题思路】由线段比例关系以及椭圆定义可得PF1=PF2，借助勾股定理逆定理判断A；由割补法求出三角形面积判断B；求出直线l的斜率并计算C的离心率判断CD.
【解答过程】由F2Q:PQ:F1Q=1:4:5，不妨设F2Q=t，则PQ=4t,F1Q=5t，
又|PQ|=|QF2|+|PF2|=4t，则有PF2=3t，由椭圆定义得|PF1|+|PF2|=|QF1|+|QF2|=6t，
因此PF1=PF2=3t，即点P为椭圆的上顶点或下顶点，如图，

显然PF12+PQ2=25t2=F1Q2，则PF1⊥PF2，A正确；
于是△PF1F2为等腰直角三角形，且PF1=3t=a，则△QF1F2的面积为：
S△QF1F2=S△QF1P−S△PF1F2=12PQPF1−12PF2PF1=6t2−92t2=32t2=16a2，B正确；
∠PF2F1=45∘,F1F2=32t，直线l的斜率k，有|k|=tan45∘=1，D错误，
椭圆离心率e=ca=32t23t=22，C正确.
故选：D.
8．（5分）（2024·四川雅安·一模）如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P是线段AB1上的动点（含端点），点Q是线段AC的中点，设PQ与平面ACD1所成角为θ，则csθ的最小值是（ ）
A．13B．33C．63D．223
【解题思路】以点D为原点建立空间直角坐标系，设AP=λAB1,λ∈0,1，利用向量法求解即可.
【解答过程】如图，以点D为原点建立空间直角坐标系，
设AP=λAB1,λ∈0,1，不妨设AB=2，
则A2,0,0,C0,2,0,Q1,1,0,D10,0,2,B12,2,2，
故AC=−2,2,0,AD1=−2,0,2，
PQ=AQ−AP=AQ−λAB1=−1,1,0−λ0,2,2=−1,1−2λ,−2λ，
设平面ACD1的法向量为n=x,y,z，
则n⋅AC=−2x+2y=0n⋅AD1=−2x+2z=0，可取n=1,1,1，
则sinθ=csPQ,n=PQ⋅nPQn=−1+1−2λ−2λ1+1−2λ2+−2λ2×3=4λ3⋅8λ2−4λ+2，
所以csθ=1−sin2θ=1−4λ3⋅8λ2−4λ+22=1−8λ212λ2−6λ+3，
当λ=0时，csθ=1，
当λ∈0,1时，csθ=1−8λ212λ2−6λ+3=1−812−6λ+3λ2=1−831λ−12+9，
当1λ=1，即λ=1时，csθmin=13，
综上所述，csθ的最小值是13.
故选：A.
二、多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）给出下列命题，其中正确的有（ ）
A．空间任意三个向量都可以作为一组基底
B．已知向量a∥b，则a、b与任何向量都不能构成空间的一组基底
C．A、B、M、N是空间四点，若BA、BM、BN不能构成空间的一组基底，则A、B、M、N共面
D．已知a,b,c是空间向量的一组基底，则c,a+b,a−b也是空间向量的一组基底
【解题思路】根据空间向量组成基底的条件逐项判断即可.
【解答过程】对于A项，空间任意的三个不共面的向量才可以作为一组基底，故A错误；
对于B项，若a∥b，则a、b与任何向量都共面，故不能构成空间的一组基底，故B正确；
对于C项，若BA、BM、BN不能构成空间的一组基底，则BA、BM、BN共面，
又BA、BM、BN过相同的点B，则A、B、M、N四点共面，故C正确；
对于D项，若c，a+b，a−b共面，
则c=λa+b+μa−b=λ+μa+λ−μb，可知a，b，c共面，
与a,b,c为空间向量的一组基底相矛盾，故c，a+b，a−b可以构成空间向量的一组基底.
故选：BCD.
10．（5分）（23-24高二上·贵州黔南·期中）已知圆C：x2+y2−6x+4y−3=0，则下列说法正确的是（ ）
A．圆C的半径为16
B．圆C截x轴所得的弦长为43
C．圆C与圆E：x−62+y−22=1相外切
D．若圆C上有且仅有两点到直线3x+4y+m=0的距离为1，则实数m的取值范围是19,24∪−26,−21
【解题思路】先运用配方法将一般式方程化为标准方程，可确定其圆心个半径，可判断A；根据点到弦的距离可求出弦长，判断B；圆心距和半径的关系可确定圆与圆的位置关系，判断C；圆心到直线的距离与半径之间的数量关系可确定圆C上有且仅有两点到直线的距离为1，判断D.
【解答过程】由圆C:x2+y2−6x+4y−3=0，可得圆C的标准方程为x−32+y+22=16，
所以圆C的半径为4，故A错误；
令y=0，得x2−6x−3=0，设圆C与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，
则x1，x2是x2−6x−3=0的两个根，所以x1+x2=6，x1x2=−3，
所以x1−x2=x1+x22−4x1x2=43，故B正确；
两圆圆心距CE=6−32+2+22=5=4+1，故C正确；
由圆C上有且仅有两点到直线3x+4y+m=0的距离为1，
则30，代入点的坐标，求出椭圆方程；
（2）在第一问的基础上，得到D､E两点的坐标，从而求出三角形的面积.
【解答过程】
（1）
依题意，设椭圆方程为：x2m+y2n=1 (m≠n,m>0,n>0)，
则有1n=13m+14n=1，解得m=4n=1，
所以椭圆方程为x24+y2=1.
（2）
由（1）知，椭圆C的左焦点为(−3,0)，直线l的方程为：x=−3，
将x=−3代入x24+y2=1中，解得：y=±12，不妨设D(−3,12),E(−3,−12)，
则DE=1，而点B(3,12)到直线x=−3的距离为23，
所以△BDE的面积S△BDE=12×23DE=3.
20． （12分）（23-24高二下·上海·期中）在平面直角坐标系xOy中，圆C的半径为1，其圆心在射线y=x(x≥0)上，且OC=22 .
(1)求圆C的标准方程；
(2)若直线l过点P1,0， 且与圆C相切，求直线l的方程；
(3)自点A−3,3发出的光线m射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在的直线与圆C相切，求光线m所在直线的方程.
【解题思路】
（1）设圆心Ca,a，a≥0，由距离公式求出a，即可得到圆的方程；
（2）分直线l的斜率不存在与存在两种情况讨论，当斜率存在时，设直线l的方程为y=k(x−1)，利用圆心到直线的距离等于半径得到方程，解得k即可；
（3）取圆C关于x轴的对称的圆C′，可知直线m与圆C′相切，根据切线结合点到直线的距离公式运算求解.
【解答过程】
（1）设圆心Ca,a，a≥0，
由于OC=22，所以OC=a2+a2=2a=22，所以a=2，
即圆心C的坐标为2,2，则圆C的方程为(x−2)2+(y−2)2=1；
（2）若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=1，
圆心C到直线x=1的距离d=2−1=1，此时满足直线l和圆C相切；
若直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k(x−1)，
即kx−y−k=0，
因为直线l和圆C相切，
所以圆心C到直线l的距离d=|2k−2−k|1+k2=|k−2|1+k2=1，
即|k−2|=1+k2，平方得k2−4k+4=1+k2，
即k=34，此时直线l的方程为34x−y−34=0，即3x−4y−3=0，
所以直线l的方程为x=1或3x−4y−3=0；
（3）取圆C关于x轴的对称的圆C′:x−22+y+22=1，即圆心C′2,−2，半径r′=1，
可知直线m与圆C′相切，
若直线m的斜率不存在，则l:x=−3，此时圆心C′2,−2到直线m的距离d=5≠r′，不合题意；
所以直线m的斜率存在，设为k1，则m:y−3=k1x+3，即k1x−y+3k1+3=0，
则5k1+51+k12=1，整理得12k12+25k1+12=0，解得k1=−34或k1=−43，
所以直线m的方程为3x+4y−3=0或4x+3y+3=0.
21．（12分）（23-24高二上·广东惠州·阶段练习）已知双曲线Γ:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的焦距为4，且过点P2,33．
(1)求双曲线Γ的方程；
(2)过双曲线Γ的左焦点F分别作斜率为k1,k2的两直线l1与l2，直线l1交双曲线Γ于A,B两点，直线l2交双曲线Γ于C,D两点，设M,N分别为AB与CD的中点，若k1⋅k2=−1，证明：直线MN过定点．
【解题思路】
（1）由题意得2c=4，再将P2,33代入双曲线方程，结合c2=a2+b2可求出a2,b2，从而可求出双曲线方程
（2）设直线l1方程为y=k1x+2，Ax1,y1,Bx2,y2，将直线方入双曲线方程化简后利用根与系数的关系，结合中点坐标公式可表示点M的坐标，再利用k1⋅k2=−1表示出点N的坐标，再表示出直线MN的方程，可求得直线MN过定点E−3,0，从而可求得答案.
【解答过程】
（1）由题意得2c=4，得c=2，所以a2+b2=4，
因为点P2,33在双曲线上，所以4a2−13b2=1，解
得a2=3,b2=1，
所以双曲线方程为x23−y2=1．
（2）F−2,0，设直线l1方程为y=k1x+2，
Ax1,y1,Bx2,y2，
由y=k1x+2x23−y2=1，得1−3k12x2−12k12x−12k12−3=0，
则x1+x2=12k121−3k12,x1x2=−12k12−31−3k12，
所以x1+x22=6k121−3k12，所以AB的中点M6k121−3k12,2k11−3k12，
因为k1⋅k2=−1，所以用−1k1代换k1，得N6k12−3,−2k1k12−3，
当6k121−3k12=6k12−3，即k1=±1时，直线MN的方程为x=−3，过点E−3,0，
当k1≠±1时，kMN=2k11−3k12−−2k1k12−36k121−3k12−6k12−3=−2k13k12−1，
直线MN的方程为y−2k11−3k12=−2k13k12−1x−6k121−3k12，
令y=0，得x=3k12−11−3k12+6k121−3k12=−3，
所以直线MN也过定点E−3,0．
22．（12分）（23-24高二下·江苏扬州·期中）如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，底面是边长为2的等边三角形，CC1=2,D,E分别是线段AC,CC1的中点，C1在平面ABC内的射影为D.
(1)求证：A1C⊥平面BDE；
(2)若点F为棱B1C1的中点，求点F到平面BDE的距离；
(3)若点F为线段B1C1上的动点（不包括端点），求锐二面角F−BD−E的余弦值的取值范围.
【解题思路】
（1）利用线面垂直、面面垂直的性质定理与判定定理可证；
（2）利用空间向量法求点到面的距离；
（3）利用空间向量求出二面角的余弦值，再借助函数性质求值域.
【解答过程】
（1）连接AC1，因为△ABC为等边三角形，D为AC中点，则BD⊥AC，
由题意可知平面ACC1A1⊥平面ABC，平面ACC1A1∩平面ABC=AC，BD⊂平面ABC，
所以BD⊥平面AA1C1C，则A1C⊂平面AA1C1C，可得BD⊥A1C，
由题设知四边形AA1C1C为菱形，则A1C⊥AC1，
因为D，E分别为AC，CC1中点，则DE∥AC1，可得A1C⊥DE，
且BD∩DE=D，BD，DE⊂平面BDE，所以A1C⊥平面BDE.
（2）C1在平面ABC内的射影为D，所以C1D⊥平面ABC，由题设知四边形AA1C1C为菱形，D是线段AC的中点，所以△ACC1为正三角形，
由BD⊂平面ABC，AC⊂平面ABC，可得C1D⊥BD，C1D⊥AC，
又因为△ABC为等边三角形，D为AC中点，所以BD⊥AC，
则以D为坐标原点，DB，DA，DC1所在直线为x，y，z轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则D0,0,0，B3,0,0，C0,−1,0，C10,0,3，E0,−12,32，B13,1,3，A10,2,3，F32,12,3，
可得DB=3,0,0，DE=0,−12,32，DF=32,12,3，
设平面BDE的一个法向量为m=x,y,z，则m⋅DB=3x=0m⋅DE=−12y+32z=0，
令z=1，则x=0,y=3，可得m=0,3,1，
所以点F到平面BDE的距离为d=m⋅DFm=32+32=334.
（3）因为C1B1=3,1,0，CA1=0,3,3
设Fx,y,z，C1F=λC1B10