广西南宁市第二中学2024−2025学年高三下学期5月冲刺 数学试卷（含解析）

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一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知i为虚数单位，复数，复数z的共轭复数为，则的虚部为（ ）
A．B．3C．D．
3．双曲线的一条渐近线为，则C的离心率为（ ）
A．B．C．2D．4
4．（ ）
A．B．C．D．
5．小明新买的储蓄罐有5位密码，他决定在“斐波那契数列”的前6项中随机抽取5个数字设置为储蓄罐的密码，且密码的第3位是偶数，已知“斐波那契数列”的前6项依次为“1、1、2、3、5、8”，则可以设置的不同密码个数为（ ）
A．144B．120C．84D．116
6．在物理学中简谐运动可以用函数来表示，其部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的图象关于点成中心对称
B．函数的解析式可以为
C．函数在上的值域为
D．若把图象上所有点向右平移个单位，则所得函数是
7．某烘焙店制作了一个圆柱形状的蛋糕，顾客要求均分成24块，店家计划将蛋糕按左图方式切割．先将蛋糕均分成8块，再按照右图将每个角蛋糕近似的均分成三块，从弧的中点B出发，左右对称各切1刀，已知右图中，则的长度约为（ ）
（其中，计算结果小数点请保留到）
A．B．C．D．
8．由杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司推出，该公司是一家专注于人工智能（）的中国初创公司．其模型于2024年年底发布，此模型足以媲美，一经推出便成为全球热门话题．利用进行学习已经成为一种学生自主学习的全新方式，但是目前市场各种模型运算参差不齐．技术人员对n个模型进行测试，测试由m道题组成，每个模型都对这道题逐一进行求解．若一道题至少有个模型未解对，则称此题为难题；若一个模型至少解出了道题，则该模型测试成绩合格．如果测试至少有个模型成绩合格，且测试中至少有道题为难题，那么的最小值为（ ）
A．6B．9C．18D．27
二、多选题
9．设样本空间，且每个样本点是等可能的，已知事件，则下列结论正确的是（ ）
A．事件A与B为互斥事件B．事件两两独立
C．D．
10．已知直线与抛物线交于A，B两点，F是抛物线的焦点，则下列选项正确的是（ ）
A．若，则
B．
C．过点B作的垂线，垂足为D，则A，O，D三点共线
D．以为直径的圆与相切
11．已知函数，则（ ）
A．当时，B．函数与的图象关于对称
C．函数与的图象关于点对称D．在有2个零点
三、填空题
12．已知向量，，若，则 ．
13．已知正三棱台的上底面边长是下底面边长的一半，侧棱长为2，过侧棱中点且平行于底面的截面的边长为3，则正三棱台的体积为 .
14．设，我们常用来表示不超过的最大整数．如：．若，则 ，若是方程的实数解，则 ．
四、解答题
15．在等比数列中，公比，其前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和为.
16．已知椭圆，分别为椭圆E的左，右焦点，A，B分别为椭圆E的上、下顶点，且．
（1）求椭圆E的方程；
（2）已知过的直线与椭圆E交于M，N两点，且直线l不过椭圆四个顶点．
（ⅰ）若直线的倾斜角为，求的面积；
（ⅱ）若M在x轴上方，直线与直线的斜率分别为，且，求直线l的方程．
17．红蜘蛛是柚子的主要害虫之一，能对柚子树造成严重伤害，每只红蜘蛛的平均产卵数（个）和平均温度有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.
（1）根据散点图判断，与（其中为自然对数的底数）哪一个更适合作为平均产卵数（个）关于平均温度（）的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（2）由（1）的判断结果及表中数据，求出关于的回归方程.（计算结果精确到0.1）
附：回归方程中
18．球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球O的半径为R．A，B，C为球面上三点，设表示以O为圆心且过A，B的圆，表示以O为圆心且过B，C的圆，表示以O为圆心且过A，C的圆，由圆的劣弧围成的曲面（阴影部分）叫做球面三角形，若设二面角分别为，则球面三角形的面积为（R为球半径）．已知．
（1）若平面，平面，平面两两垂直，求球面三角形的面积；
（2）若平面三角形为直角三角形，，设．则：
①求证：；
②延长与球O交于点D．若直线与平面所成的角分别为，S为中点，T为中点，设平面与平面的夹角为，求的最小值以及此时平面截球O的截面面积．
19．已知首项为1的正项数列满足，函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）探究数列的单调性并说明理由；
（3）证明；．
参考答案
1．【答案】C
【详解】，
∵，解得，
∴，又，
所以
故选C
2．【答案】A
【详解】方法一、设，，
所以，
，，所以的虚部为，
故选A．
方法二、，得，则有，
所以的虚部为，
故选A．
3．【答案】B
【详解】因双曲线的焦点在轴上，由渐近线方程易得，
于是C的离心率为：.
故选B.
4．【答案】D
【详解】解：
故选D
5．【答案】B
【详解】若选的数字只有一个1，此时有两个偶数，则不同的排列方法有种；
若选的数字有两个1，则不同的排列方法有种.
故共有种不同的设置方法.
故选B.
6．【答案】B
【详解】由图可知，所以，
且，所以，
又因为，所以只能，所以，
对于A， ，故A错误；
对于B．，故B正确；
对于C， ，故C错误；
对于D，若把图象上所有点右平移个单位，则所得函数是，故D错误．
故选B.
7．【答案】B
【详解】设，
即
故选B.
8．【答案】B
【详解】设有个模型合格，道题为难题，则，
依题意有，
所以
所以，
同理
，
要使两式有整数解，则，所以．
当时，若3个模型生答题情况如下表：
则有2个模型合格，2个难题，符合题意，所以的最小值为9．
故选B
9．【答案】BD
【详解】对于选项A，因为，所以事件与不互斥，故A错误；
对于选项B，，
，故B正确；
对于选项C，交集为，则，故C错误；
对于选项D，，故D正确.
故选BD.
10．【答案】ACD
【详解】对于A：设．当时，由，得，故，
由于直线过点，故，A正确；
对于B：如图，不妨设位于第一象限，设直线倾斜角为，
由，故，
同理，故，B错误；
对于C：，联立，得，
所以，则．
因为，所以，所以三点共线，所以C正确；
对于D：由题意知是抛物线的准线，过点A作垂直于点，
过点B作垂直于点，取的中点M，
过点M作垂直于点，所以，
所以以为直径的圆与准线相切，D正确，
故选ACD．
11．【答案】AC
【详解】由题意得，，令，解得，
令，解得； 令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以的最大值为.故选项A正确；
因为，.
又，所以，
故函数与的图象不关于对称.故选项B错误；
由B可知，所以函数与的图象关于点对称.故选项C正确；
令，则，整理得，
令，则，
当时，，，所以在上单调递减.
又，，
所以由零点存在性定理得，在上存在唯一零点，
当时，，此时函数无零点，
所以在上存在唯一零点，即函数在上的零点个数为1.故选项D正确.
故选AC.
12．【答案】
【详解】因为，，则，
若，则，解得.
13．【答案】/
【详解】如图，延长三棱台的侧棱交于一点O，可以得到正三棱锥，
设三棱台的上底面边长为，下底面边长为，
则有，即，则正三棱锥的侧棱长为，
过点O作平面ABC，交平面于点，
记的中点为，则，
故三棱锥的高为，
故三棱台的体积为.
14．【答案】或或
【详解】若，则，故
因为，故，
因为，故，故，故，
若，则，又，故符合；
若，则，故，又，不符合，均舍；
若，则，故，又，故符合；
若，则，故，又，故符合；
综上，或或．
15．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）由及，得，
两式相减，得， 即，
所以， 由，得，
所以，解得，
所以数列的通项公式为.
（2）由（1），得，
所以.
16．【答案】（1）
（2）（ⅰ）；（ⅱ）
【详解】（1）由题意知
椭圆方程为
（2）（ⅰ）设
联立，消去x得
（ⅱ）已知直线的方程为，与椭圆方程联立：
将代入可得.
展开并整理得.
所以.
由韦达定理可得，.
因为，根据斜率公式可得：
，即.
又因为，，所以.
展开得.
移项可得.
将，代入：
因为，等式两边同时除以得.
即.
两边同时乘以得.
移项可得，解得.
把代入得.
整理得.
17．【答案】（1）更适宜
（2）
【详解】（1）由散点图可以判断，随温度升高，产卵数增长速度变快，符合指数函数模型的增长，
所以更适宜作为平均产卵数关于平均温度的回归方程类型.
（2）将两边同时取自然对数，可得，
由题中的数据可得，，
所以，则，
所以关于的线性回归方程为，故关于的回归方程为；
18．【答案】（1）
（2）①证明见解析；②的最小值为，截面面积为
【详解】（1）若平面两两垂直，有，
所以球面三角形面积为．
（2）①由余弦定理有：，且，
消掉，可得；
②由是球的直径，则，
且，平面，
所以平面，且平面，则，
且，平面，可得平面，
由直线与平面所成的角分别为，所以，
由于，则，
由，
以C为坐标原点，以所在直线为x，y轴，
过点C作的平行线为z轴，建立如图空间直角坐标系，
设，则，
可得，
则
设平面法向量，则，
取，则，可得，
设平面法向量，则，
取，则，可得，
要使取最小值时，则取最大值，
因为
，
令，则，
可得，
当且仅当取等，则取最大值，为最小值，
此时点，可得，
设平面中的法向量，则，
取，则，可得，
,
可得球心O到平面距离为，
设平面截球O圆的半径为r，则，
所以截面圆面积为．
19．【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增
（2）数列为递减数列，理由见解析
（3）证明见解析
【详解】（1）因为，所以，
令，，令，，
故在上单调递减，在上单调递增．
（2）数列为递减数列，理由如下：
由题意可得，则，
令函数，则，
得到在上单调递减，则，
令，则，
故，即数列为递减数列；
（3）由题意得，
令函数，
令函数，则，
当时，，当时，，
得到在上单调递减，在上单调递增，
故，则，即，
则，故在定义域上单调递增，且，
令，则，得到，
且，故，又因为，所以，
得到，故，
当时，得到．即，
当时，．故．
综上，原命题得证.
参考数据
17713
714
27
81.3
题目1
题目2
题目3
1
√
√
×
2
√
×
√
3
√
×
×