湖南省长沙市2025届高三数学上学期8月联考模拟试卷 (1)

这是一份湖南省长沙市2025届高三数学上学期8月联考模拟试卷 (1)，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数，则（ ）
A．3B．2C．D．
3．已知空间向量和的夹角为，且，，则等于（ ）
A．12B．8C．4D．14
4．的值是（ ）
A．B．C．1D．
5．已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，若，则的值为（ ）
A．4B．C．8D．
6．如图1，一个圆柱形笔筒的底面直径为，（笔筒壁的厚度忽略不计），母线长为，该圆柱形笔筒的直观图如图2所示，，分别为该圆柱形笔筒的上底面和下底面直径，且，则三棱锥的体积为（ ）

A．B．C．D．
7．斐波那契数列因数学家斐波那契以兔子繁殖为例而引入，又称“兔子数列”. 这一数列如下定义：设为斐波那契数列，，其通项公式为，设是的正整数解，则的最大值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
8．已知不等式恰有2个整数解，则实数的取值范围（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．小胡同学参加射击比赛，打了8发子弹，报靶数据如下：（单位：环），则下列说法正确的是（ ）
A．这组数据的众数为9B．这组数据的平均数是8.5
C．这组数据的极差是4D．这组数据的标准差是2
10．已知复数，则（ ）
A．的实部为B．的虚部为
C．D．在复平面内对应的点位于第一象限
11．已知定义在上的函数满足为偶函数，为奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．函数为周期函数
C．函数为上的偶函数D．
三、填空题
12．在数列中，.若为等差数列，则.
13．若，则的值为．
14．如图，在矩形中，分别是矩形四条边的中点，点在直线上，点在直线上，，直线与直线相交于点，则点的轨迹方程为.
四、解答题
15．在中，，是边上的点，，，.
(1)求cs B与的面积；
(2)求边AC的长.
16．已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A、B，左、右焦点分别为．过右焦点的直线l交椭圆于点M、N，且的周长为16．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)记直线AM、BN的斜率分别为，证明：为定值．
17．在中，，，D为边上一点，，E为上一点，，将沿翻折，使A到处，.

(1)证明：平面；
(2)若射线上存在点M，使，且与平面所成角的正弦值为，求λ.
18．已知函数的图象在点处的切线方程为.
(1)求的值；
(2)讨论的单调性；
(3)若关于的方程有两个正根，证明：.
19．将个不同的数按照某种顺序排成一列得到数列，对任意，如果，那么称数对构成数列的一个逆序对，一个有穷数列的全部逆序对的总数称为该数列的逆序数．
(1)若将1，2，3，4四个数构成的数列恰有2个逆序对，请写出符合条件的数列组合；
(2)计算以下数列的逆序数．
（ⅰ）；
（ⅱ）；
(3)已知数列，，…，的逆序数为，求，，…，的逆序数．
2025届高三8月联考数学模拟试卷参考答案
1．B
【分析】先求解两个集合，再结合两集合交集定义求解答案；
【详解】因为，所以．
故选：B.
2．D
【分析】根据条件，利用复数的运算法则，得到，再利用模长的计算公式，即可求出结果.
【详解】因为，所以.
故选：D
3．D
【分析】根据数量积的运算律，结合定义即可求解.
【详解】,
故选：D
4．A
【分析】由，结合两角差的正弦展开化简即可.
【详解】原式.
故选：A
5．C
【分析】设出公比根据题干条件列出方程，求出公比，从而利用等比数列通项的基本量计算求出答案.
【详解】设数列的公比为，
则，得，
解得或（舍），
所以.
故选：C.
6．C
【分析】取的中点O，连接，，证得平面，三棱锥的体积，计算得到答案；
【详解】由，易得，取的中点O，连接，，
则，，又，，平面，
所以平面，
所以，
故选：C.

7．A
【分析】利用给定条件结合对数的性质构造，两侧同时平方求最值即可.
【详解】由题知是的正整数解，
故，
取指数得，
同除得，，
故，即，
根据是递增数列可以得到也是递增数列，
于是原不等式转化为.
而可以得到满足要求的的最大值为5，故A正确.
故选：A
8．A
【分析】原不等式等价于，设，，然后转化为函数的交点结合图象可求.
【详解】原不等式等价于，
设，，
等价与函数在图象下方的整数解恰有2个，
函数的图象是恒过的直线，
，则，
当时，，所以在单调递增，
当时，，所以在单调递减，且，
做出和的图象可知，当时，符合题意的解的个数大于2个，
所以，从图中可看到一个解是，则另外一个解是，且，
因为，所以在可取等号，
，解之可得
故选：A
9．AC
【分析】分别计算这组数据的众数、平均数、极差、方差逐项判断可得答案.
【详解】对于A，由题意知这组数据的众数为9，故A正确；
对于B，这组数据的平均数是，故B错误；
对于C，这组数据的极差是，故C正确；
对于D，这组数据的方差是，
所以这组数据的标准差是，故D错误.
故选：AC.
10．AC
【分析】复数除法化简的，再根据复数的实部、虚部、模和共轭复数的几何意义判断各个选项；
【详解】由题意得，所以的实部为，虚部为，故A正确B错误；
在复平面内对应的点位于第四象限．故C正确D错误；
故选：AC.
11．AB
【分析】首先利用函数的奇偶性得到函数的对称轴和对称中心，结合关系式的变换得到函数周期判断B，利用特殊值代入判断A，根据导函数判断函数单调性结合关系式和偶函数定义判断C，根据函数的关系式和单调性判断D.
【详解】因为为偶函数，
，故函数图象关于直线对称，
为奇函数，1），函数图象关于对称，
对于B，，故2是函数的周期，函数为周期函数，故B正确；
对于A，，令，故，
又，故A正确；
对于C，，当时，，即函数在上递增，
函数图象关于对称，故函数在上递减，故函数在上递增，
所以，故函数不是偶函数，故C错误；
对于D，，故D错误，
故选：AB.
【点睛】抽象函数的判断一般会从函数奇偶性、周期性和对称性的定义推得相关的函数性质；
12．
【分析】设数列的公差，由求得公差，再由的通项公式求得结果.
【详解】设的公差为，所以，所以，
所以，解得.
故答案为：.
13．129
【分析】利用特殊值法，结合进行求解即可.
【详解】令，得，
又，
则，解得．
故．
故答案为：129
14．
【分析】以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求出直线的方程与直线的方程，联立求解即可.
【详解】
以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系.
因为，所以 ，
所以 ，又因为 ，
所以 ，所以.
因为 ，所以直线的方程为 ①，
因为 ，所以直线的方程为 ②.
由①可得 ，代入②化简可得 ，
结合图象易知点可到达 ，但不可到达 ，
所以点的轨迹方程为 ，
故答案为：
15．(1)，
(2)
【分析】（1）借助余弦定理与面积公式计算即可得；
（2）借助正弦定理计算即可得.
【详解】（1）在中，由余弦定理得，
∵，∴，
∴；
（2）由（1）知，∵，∴，
在中，由正弦定理得，
即.
16．(1)
(2)
【分析】（1）由已知条件结合椭圆定义、离心率公式，确定的值，得出椭圆的标准方程.
（2）设直线的方程为：，与椭圆方程联立，消去得到关于的一元二次方程，由韦达定理得到，，再把用，表示出来，化简即可得解.
【详解】（1）由的周长为16，及椭圆的定义，可知：，即，
又离心率为所以
．
所以椭圆C的方程为：．
（2）依题意，直线l与x轴不重合，
设l的方程为：．
联立得：，
因为在椭圆内，所以，
即，易知该不等式恒成立，
设，
由韦达定理得．
又，则
注意到，即：
.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
17．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）题意先证明平面，得到，根据线面垂直判定定理得证；
（2）作，垂直为Q，由（1）得，证得平面，以B为原点，，，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，求得和平面的一个法向量，根据与平面所成角正弦值为，解得参数的值；
【详解】（1）证明：由题意知，，
又，所以平面，
又平面，所以，
又，，所以平面
（2）作，垂直为Q，由（1）知，平面，
又平面，所以，
又，，平面，
所以平面
故以B为原点，，，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
设，则，，，，
又，
所以，故，
设平面的一个法向量为，
则，即，
取，则
设与平面所成角为θ，
则，
解得或，
由题意知，故.

18．(1)；
(2)在上单调递减，在上单调递增；
(3)证明见解析.
【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义及给定切线求出.
（2）由（1），利用导数求出函数的单调区间即可.
（3）方程变形为，利用方程根的意义换元构造函数，利用导数推理证明不等式.
【详解】（1）函数，求导得，
由的图象在点处的切线方程为，得，
所以.
（2）由（1）知，
由，得，由，得，
所以在上单调递减，在上单调递增.
（3）由，得，
令，依题意，，则，
设，由（2）知在上单调递增，则，，
由，得，于是，
要证当时，，即证，
令，求导得，
令，求导得，
函数，即在上单调递增，，
函数在上单调递增，则当时，，即成立，
所以.
19．(1)，，，，
(2)（ⅰ）4950；（ⅱ）答案见解析
(3)
【分析】（1）根据逆序的定义求解即可；
（2）（ⅰ）由数列为单调递减数列，即可得到逆序数；
（ⅱ）当为奇数时，，当为偶数时，，由此分析，即可得逆序数；
（3）在数列，，…，中，若与后面个数构成个逆序对，则有不构成逆序对，即可得到答案.
【详解】（1）由1，2，3，4构成的逆序对有，，，，，．
若第一个数为4，则至少有3个逆序对；
若第二个数为4，则恰好有2个逆序对的数列组合为；
若第三个数为4，则恰好有2个逆序对的数列组合为或；
若第四个数为4，则恰好有2个逆序对的数列组合为或．
综上，符合条件的数列组合有：
，，，，．
（2）（ⅰ）因为为单调递减数列，
所以逆序数为．
（ⅱ）当为奇数时，
当为偶数时，
，
所以，
当为奇数时，逆序数为
，
当为偶数时，逆序数为
．
（3）在数列，，…，中，若与后面个数构成个逆序对，
则有不构成逆序对，
所以在数列，，…，中，逆序数为
．
【点睛】方法点睛：本题考查数列的新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答.