2025年中考数学第三次模拟考试卷：数学（重庆卷）（解析版）

这是一份2025年中考数学第三次模拟考试卷：数学（重庆卷）（解析版），共30页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回，估算的值在等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上．
2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回．
参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为．
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1．的绝对值是（ ）
【答案】B
【分析】本题考查了绝对值，根据绝对值的定义计算即可．熟练掌握绝对值的定义是解题的关键．
【详解】解：的绝对值是2024，
故选：B．
2．下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ）
【答案】C
【分析】本题考查了中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此判断即可求解，掌握中心对称图形的定义是解题的关键．
【详解】A．不是中心对称图形，该选项不合题意；
B．不是中心对称图形，该选项不合题意；
C．是中心对称图形，该选项符合题意；
D．不是中心对称图形，该选项不合题意；
故选：C．
3．若点在反比例函数的图象上，则k的值是（ ）
【答案】D
【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，将代入反比例函数解析式计算即可得解．
【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
故选：D．
4．如图，与是位似图形，位似中心是点O，若，且的面积为12，则的面积为（ ）
【答案】A
【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的性质，由位似图形的性质得，，由相似三角形的性质，即可求解；掌握位似图形的性质及相似三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵与是位似图形，
∴，
，
∴，
∴，
解得：，
故选：A．
5．将一把直尺与一块含有角的直角三角板按如图方式放置，若，则为（ ）
【答案】B
【分析】本题考查三角板中的角度计算，平行线的性质，三角形外角的性质．掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和是解题关键．根据平行线的性质求出，然后利用三角形外角的性质求解即可．
【详解】解：如图所示，
∵，
∴
∴
∴．
故选：B．
6．估算的值在（ ）
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及估算无理数的大小，能估算出的范围是解此题的关键．利用二次根式的混合运算将原式化简，再进行无理数的估算即可．
【详解】解：
∵
∴即，
故选：C．
7．如图都是由同样大小的圆按一定规律摆出的图案，第①个图案有4个圆，第②个图案有9个圆，第③个图案有14个圆，…，依此规律，第7个图案圆的个数为（ ）
【答案】A
【分析】根据前面四个图案的情况找出规律，然后可以算得答案．
【详解】解：由前面4个图案的情况可以得到排列规律为：
第1个图案圆的个数为：4×1+0=4个；
第2个图案圆的个数为：4×2+1=9个；
第3个图案圆的个数为：4×3+2=14个；
第4个图案圆的个数为：4×4+3=19个；
∴第n个图案圆的个数为：4×n+n-1=5n-1个；
∴第7个图案圆的个数为：5×7-1=34个；
故选：A．
8．如图，是半圆的直径，点D是的中点，连接，，于点E．若，，则阴影部分的面积为（ ）
【答案】A
【分析】连接，．由圆周角定理可得，根据点D是的中点，可知，即可证为等腰直角三角形，结合勾股定理可求出，最后根据，结合扇形面积公式和三角形面积公式求解即可．
【详解】解：如图，连接，．
∴．
∵点D是的中点，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，，
∴．
故选A．
9．如图，在正方形中，M， N分别是，的中点，，相交于点E，与相交于点F，分别连接，，则下列结论错误的是（ ）
【答案】D
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质逐项判断即可．
【详解】如图1，分别延长，相交于点P，
∵正方形，
∴，，，
∴，
∵N是的中点，
∴，
∴，
∴．
∵M是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选项A结论正确；
如图2，过点A作，与的延长线交于点G，作于点H．
同理可证，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴平分，
故选项B结论正确；
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
故选项C结论正确；
∵，
∴四边形为正方形，
∴，，
∴，
故选项D结论错误．
故选：D.
10．将（所有字母均不为0）中的任意两个字母对调位置，称为“对调操作”．例如：“x、y对调操作”的结果为，且“x、y对调操作”和“y、x对调操作”是同一种“对调操作”．
下列说法：
①只有“x、n对调操作”的结果与原式相等；
②若“x、y对调操作”与“n、y对调操作”的结果相等，则或；
③若，则所有的“对调操作”共有5种不同运算结果．
其中正确的个数是（ ）
【答案】B
【分析】本题考查新定义题型，根据多给的定义，举出符合条件的代数式进行情况讨论．
【详解】解：，
“x、n对调操作”的结果为
“y、m对调操作”的结果为，故①错误；
∵“x、y对调操作”与“n、y对调操作”的结果相等，
∴，
，
，
解得：或，故②正确；
∵，
∴
∴对调后的结果为，，，共有3种不同运算结果，故③错误；
综上所述，正确的为②，
故选B
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．）
11．2025年，电影“哪吒之魔童闹海”票房突破153.86亿，将数据153.86亿用科学记数法表示为 ．
【答案】
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：153.86亿=15386000000=，
故答案为：．
12．李老师记得王老师的电话号码是□□，最后两个数字有一个是7，还有一个数字和其他数字都不重复，李老师要拨通王老师的电话，最多要试打 次．
【答案】8
【分析】本题考查了列举法，列出所有可能的结果是解题的关键．
列出所有可能的结果即可求解．
【详解】解：这个电话号码已知数字有0、4、5、6、7、8，剩下的这个数字可能是1、2、3、9，
因为最后两个数字有一个是7，7可能在倒数第二的位置或最后一位的位置，所以最后两位数字可能是：71、72、73、79、17、27、37、97，所以最多要试打8次．
故答案为：8．
13．如图，在菱形中，，E为对角线上一点，连接并延长交的延长线于点F，连接，，则 ．
【答案】32
【分析】本题考查了菱形的性质，三角形内角和定理，三角形全等的判定与性质，根据菱形的性质可得，，易证，得到，再根据菱形的性质求出，，，进而求出，利用三角形内角和定理求出，得到由即可得到结果．
【详解】解：∵四边形是菱形，，
∴，，，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：32．
14．已知关于x的不等式组至少有三个整数解，且关于y的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的和为 ．
【答案】8
【分析】本题主要考查了解分式方程，解一元一次不等式组，先解两个不等式，再根据不等式组至少有3个整数解得到 ，再解分式方程确定a的值即可得到答案．正确计算是解题的关键．
【详解】解：解不等式得：，
解不等式，得：，
∵关于x的不等式组至少有三个整数解，
∴，
∴，
由，得，
∵关于y的分式方程的解为非负整数，
∴且，
∴且，同时a是偶数，
则所有满足条件的整数a有：，0，4，6
∴所有满足条件的整数a的值之和为，
故答案为：8．
15．如图，内接于，是的直径，是的切线，点D为切点，点E在的延长线上，，，垂足分别为点O，F，连接．若，，则 ， ．
【答案】12；
【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，正方形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识点，过C作交延长线于点H，连接，根据切线的性质、正方形的判定可得四边形为正方形，再由勾股定理，可求出，再根据正方形的性质可求，即可求得直径；过D作交于点Q，连接，根据等面积法即，可求出，由同弧所对的圆周角相等可得，进而可求出，再根据，可证明A、C、O、F四点共圆，根据同弧所对的圆周角相等可得，，从而证明，最后由，即可求出，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，过C作交延长线于点H，过D作交于点Q，连接，，
∵是的直径，，
∴，
∴、、为等腰直角三角形，
∴，
∵是的切线，
∴，
∵，，，
∴四边形为正方形，
设，
则，
∵，
即，
解得：（舍去负值），
∴，，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴．
∴A、C、O、F四点共圆，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：12；．
16．我们把13的倍数称为“大吉数”，判断一个数m是否是大吉数，可以用m的末三位数减去末三位数以前的数字所组成的数，其差记为，如果是“大吉数”，这个数就是“大吉数”．比如：数字253448，这个数末三位是448，末三位以前是253，则，因为，所以是“大吉数”，那么253448也是“大吉数”．若整数（其中，且为整数）是“大吉数”，则 ．若p，q均为“大吉数”，且，（，，且、、均为整数），则的最大值为 ．
【答案】91，819
【分析】本题考查新定义的运算，一次方程及整除问题，根据新定义，列出方程，求出未知数的值，即可．解题的关键是理解新定义，根据新定义列出方程．本题的难度较大，属于填空题中的压轴题．
【详解】解：∵整数（其中，且n为整数）是“大吉数”，
∴能被13整除；
∵，
∴能被13整除，
∴，
∴，
∴；
∵，是“大吉数”，
∴，是“大吉数”，
∴能被13整除，
∴能被13整除，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是“大吉数”，
∴，是“大吉数”，
∴，能被13整除，
∴能被13整除，
∵，，
∴，
∴当时，，，此时，
当时，不存在y，z满足条件；
当时，不存在y，z满足条件；
当时，，，此时，
综上：或，
∴或；
∴或；
∴的最大值为819．
故答案为：91，819．
三、解答题：（本大题共8个小题，第17题16分，其余每题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将答题过程书写在答题卡中对应位置上．
17．计算：
（1）．
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查了整式的混合运算、分式的化简求值、二次根式的分母有理化，熟练掌握运算法则是解题关键．（1）先计算多项式乘以多项式、多项式除以单项式，再计算整式的加减法即可得；
（2）先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法，然后将x的值代入计算即可得．
【详解】（1）解：原式．
（2）解：原式，
将代入得：原式．
18．学习了平行四边形后，小高进行了拓展性探究．她发现，如果作平行四边形一组对边与同一条对角线所组成的角的平分线，那么这两条角平分线截另一对角线所得的线段被对角线的交点平分，其解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空：
用直尺和圆规，作的平分线，交于点F．（只保留作图痕迹）
已知：如图，在中，，交于点O，平分交于点E，平分交于点F．
求证：．
证明：∵四边形是平行四边形，
∴， ①
∴．
又∵平分，平分，
∴， ②
∴．
又∵ ③ ，，
∴
∴．
小高再进一步研究发现，过平行四边形一条对角线的两端点作两条平行线，这两条平行线截另一对角线所得的线段均有此特征．请你依照题意完成下面命题：
过平行四边形一条对角线的两端点作两条平行线，这两条平行线截另一对角线所得的线段 ④ ．
【答案】（1）作图见解析；（2）①；②；③；④被对角线的交点平分
【分析】本题考查命题与定理，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，根据要求画出图形，证明，可得结论．
【详解】如图所示，即为所求：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．
又∵平分，平分，
∴，
∴．
又∵，，
∴
∴．
小高再进一步研究发现，过平行四边形一条对角线的两端点作两条平行线，这两条平行线截另一对角线所得的线段均有此特征．请你依照题意完成下面命题：
过平行四边形一条对角线的两端点作两条平行线，这两条平行线截另一对角线所得的线段被对角线的交点平分．
故答案为：①；②；③；④被对角线的交点平分．
19．中考体考在即，某校对初三年级共830名学生进行了最后一次体测（满分50分且分数均为整数）.测试完成后，发现所有学生成绩均为40分及以上.现从该年级甲、乙两班中各随机抽取10名学生的成绩进行整理、描述和分析（分数用x表示，为合格，为良好，为优秀），得到下列信息：
甲班10名学生的测试成绩为：50，46，40，49，50，50，47，49，50，47
乙班10名学生的测试成绩中，“良好”等级包含的所有数据为：48，47，48，48，47
抽取的甲、乙两班学生测试成绩统计表

根据以上信息回答以下问题：
（1）填空：____________，____________，____________；
（2）你认为甲乙两个班哪个班的学生测试成绩较好，并说明理由（写出一条理由即可）；
（3）请估计该校初三年级参加此次测试中成绩等级为“优秀”的学生人数有多少名？
【答案】（1）50，48，10；（2）见解析；（3）415人．
【分析】本题考查频数分布表、中位数、众数、用样本估计总体，理解中位数和众数的定义，并会利用这些统计量作决策是解答的关键．（1）根据题中数据和中位数、众数的定义求解即可；（2）根据甲乙两班的平均数、中位数和众数分析决策即可；（3）用总人数乘以样本中优秀人数所占的比例求解即可．
【详解】（1）解：甲班的测试成绩出现次数最多的是50，因此众数是50，
∴，
∵乙班10名学生的测试成绩中，“良好”等级包含的所有数据为：47，47，48， 48，48，48出现3次，众数是49，
∴49出现4次，
优秀人数为（人），
∴优秀的学生都是49，
∴从小到大排列后处在中间位置的两个数都是48，
∴中位数，
∵乙组合格的人数为，
∴，
即，
故答案为：50，48，10
（2）解：甲班的成绩较好，理由：甲乙两班的平均数相等都是47.8、甲班的中位数49大于乙班的中位数48；
（3）解：（人），
答：估计该校初三年级参加此次测试中成绩等级为“优秀”的学生人数有415人．
20．重庆市巴南白居寺大桥夜景特别震撼，被网友称为“重庆版的星际穿越”．近来天气炎热，白居寺大桥下面夜市某小吃店推出的玫瑰冰粉和山城冰汤圆最受欢迎．已知玫瑰冰粉单价是山城冰汤圆单价的，用48元购买玫瑰冰粉比购买山城冰汤圆多2份．
（1）求两种小吃的单价分别为多少元？
（2）已知该小吃店山城冰汤圆成本为每份4元，玫瑰冰粉成本为每份元．某天该小吃店售出两种小吃共100份，并且这两种小吃获得总利润不低于380元，则当天至少卖出山城冰汤圆多少份？
【答案】（1）山城冰汤圆的单价为8元，则玫瑰冰粉的单价为6元；（2）当天至少卖出山城冰汤圆60份
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用：（1）设山城冰汤圆的单价为元，则玫瑰冰粉的单价为元，根据用48元购买玫瑰冰粉比购买山城冰汤圆多2份列出方程求解即可；
（2）设当天卖出山城冰汤圆m份，则卖出玫瑰冰粉份，根据总利润不低于380元列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：设山城冰汤圆的单价为元，则玫瑰冰粉的单价为元，
由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，，
答：山城冰汤圆的单价为8元，则玫瑰冰粉的单价为6元；
（2）解：设当天卖出山城冰汤圆m份，则卖出玫瑰冰粉份，
由题意得，，
解得，
∴m的最小值为60，
答：当天至少卖出山城冰汤圆60份．
21．如图，在中，，，，点P为直角边，边上一动点，现从点B出发，沿着的方向运动至点A处停止．点P在上的运动速度为每秒2个单位，在上的运动速度为每秒个单位，运动时间为x秒，的面积为y．
（1）求y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
（2）画出这个函数的图象，写出该函数的一条性质：
（3）结合函数图象，当时，直接写出y的范围．
【答案】（1）；（2）作图见解析，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小；（3）
【分析】本题主要考查函数图象的性质，熟练掌握题意是解题的关键．（1）当P在上时，，当P在上时，，分两种情况讨论即可；（2）根据函数图象得出性质；（3）根据图象x的取值范围求出y的范围．
【详解】（1）解：当P在上时，，
∴，
当P在上时，，
，
由于，
∴，，
综上，；
（2）解：如图：
由函数图象，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小；
（3）解：．
22．如图1，在集美景与科技于一体的重庆融创渝乐小镇，有一座号称“山城之光”的摩天轮建在山体上．如图2，小北在山体底部A处测得摩天轮顶端D的仰角为52°，然后乘坐扶梯到达山体平台B处，已知AB坡度i＝3：4，且米，BC＝50米，CD⊥BF于点C（A，B，C，D，E，F均在同一平面内，AE∥BF）．
（1）求平台上点B到山体底部地面AE的距离；
（2）求摩天轮顶端D到山体平台BF的距离CD的长．（精确到1米，参考数据：sin52°≈0.8，cs52°≈0.6，tan52°≈1.3）
【答案】（1）48米；（2）100米
【分析】（1）过点B作，根据坡度，且米，设，则，进而求得，即可求得k，进而求得；（2）延长交于点H，解直角三角形，进而即可求得，．
【详解】（1）解：如图，过点B作，
∵ AB坡度，且米，
∴
设，则，
∴
∴
∴米，米
∴米
即平台上点B到山体底部底面AE的距离为48米；
（2）解：如图，延长交于点H，
∵，，
∴四边形是矩形
则米，米，
∴米，
∵在山体底部A处测得摩天轮顶端D的仰角为52°，
即，
∴在中，米
∴米
即摩天轮顶端D到山体平台BF的距离CD的长为100米．
23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，过点B的直线与y轴交于点．
（1）求抛物线的表达式：
（2）如图1，点E是抛物线顶点，P是轴上方抛物线上一动点，过点P作轴交直线于点R，过点P作直线的垂线交于点Q，点M、N为y轴上的动点（点M在点N的上方），且，当的周长取得最大值时，求的最小值；
（3）如图2，把抛物线沿射线的方向平移个单位得到新抛物线，点H在新抛物线的对称轴上，过点H作直线的平行线，交x轴于点G，连接．若，直接写出所有符合条件的点H的坐标．
【答案】（1）；（2）；（3）或
【分析】（1）由待定系数法即可求解；（2）设直线的表达式为，求出表达式，当最大时，的周长最大，设，则，得，当时，最大，此时的周长最大，得，作 ，截取，连接，，N，E三点共线时最小；（3）由抛物线沿射线方向平移个单位，得出新抛物线的顶点坐标为即，对称轴为直线，设，直线交x轴于点M，分两种情况：
①当点H在x轴上方时，②当点H在x轴下方时，利用勾股定理建立方程分别求解即可．
【详解】（1）解：把，代入，
得，
解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：设直线的表达式为，
把，代入得，
解得：，
∴直线的表达式为，
∵，，
∴，
∴，，
∵轴，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴当最大时，的周长最大，
设，则，
∴，
当时，最大，此时的周长最大，
∴，
∴，
∴的顶点E的坐标为，
即；
作 ，截取，连接，
∴，即，
∴，
∵，若使最小，则最小即可，
∵，
∴，N，E三点共线时最小，
∴，
∴；
（3）解：把抛物线沿射线方向平移个单位，相当于向上平移个单位，向右平移个单位，
∴新抛物线的顶点坐标为，即，
∴对称轴为直线，
设，直线交x轴于点M，
①当点H在x轴上方时，
如图，当时，
，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，
∴
∴（舍去），，
∴，
②当点H在x轴下方时，如图，
此时，
作关于直线的对称点，连接，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
同①可得，，
，
在中，
∴，
∴（舍去），，
∴，
综上所述，点H的坐标为或．
24．如图所示，在等腰三角形中，，，等边边长为4，连接．

（1）如图①，若，，求；
（2）如图②，取中点F，连接，，，猜想线段与之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）在（2）的条件下，将沿翻折得，连接，若，则当最小时，求的值．
【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）
【分析】（1）作于点，作于点G，先求得，，再利用等腰直角三角形的性质求得，据此求解即可；
（2）连接并延长至M，使，连接，，延长交于点N，交于点H，证明和，推出是等边三角形，据此求解即可；
（3）推出当A、、B共线时，最小，此时点D、重合，且都在线段上，求得，利用勾股定理求得，过点C作于点K，利用勾股定理求得，据此求解即可．
【详解】（1）解：过点E作于点，过点D作于点G，

∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∵，是等边三角形，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
在中，；
（2）解：，理由如下，
连接并延长至M，使，连接、，延长交于点N，交于点H，

∵点F是中点，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴；
（3）解：过点D作于点G，

∵，，
∴，，
∴，，
∴，
点在以点A为圆心，1为半径的圆上，当A、、B共线时，最小，此时点D、重合，且都在线段上，

，
∴，
∴，
过点C作于点K，则，，
∴，
∴，
∴．A．
B．2024
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．5
B．
C．
D．4
A．3
B．4
C．6
D．8
A．
B．
C．
D．
A．4和5之间
B．5和6之间
C．6和7之间
D．7和8之间
A．34
B．35
C．39
D．40
A．
B．
C．
D．
A．
B．平分
C．
D．
A．0
B．1
C．2
D．3
班级
平均数
中位数
众数
甲班
47.8
49
a
乙班
47.8
b
49