江苏省南通市海安市实验中学2023−2024学年高一下学期6月月考 数学试题（含解析）

这是一份江苏省南通市海安市实验中学2023−2024学年高一下学期6月月考 数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知复数，则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
2．已知一组数据分别是2.65，2.68，2.68，2.73，2.75，2.80，2.82，则它们的75百分位数为（ ）
A．2.75B．2.80C．2.81D．2.82
3．甲、乙两人独立地解决某个数学难题，甲解决出该难题的概率为0.4，乙解决出该难题的概率为0.5，则该难题被解决出的概率为（ ）
A．0.9B．0.8C．0.7D．0.2
4．在中，边长，，，则的外接圆的面积是（ ）
A．B．C．D．
5．已知，若，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则B．若，与所成的角相等，则
C．若，，则D．若，，，则
7．已知一个古典概型，其样本空间中共有12个样本点，其中事件有6个样本点，事件有4个样本点，事件有8个样本点，则下列说法正确的是（ ）
A．事件与事件互斥B．
C．D．事件与事件相互独立
8．如图，一种工业部件是由一个圆台挖去一个圆锥所制成的.己知圆台的上、下底面半径分别为和，且圆台的母线与底面所成的角为，圆锥的底面是圆台的上底面，顶点在圆台的下底面上，则该工业部件的体积为（ ）

A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．某市2022年经过招商引资后，经济收入较前一年增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该市的经济收入的变化情况，统计了该市招商引资前后的年经济收入构成比例，得到如下扇形图：
则下列结论中正确的是（ ）
A．招商引资后，工资净收入较前一年增加
B．招商引资后，转移净收入是前一年的1.25倍
C．招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和超过了该年经济收入的
D．招商引资后，经营净收入较前一年增加了一倍
10．已知向量，，下列结论中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．当时，与的夹角为锐角
D．若，则与的夹角的余弦值为
11．已知正方体的棱长为1，点为线段上的动点，则（ ）
A．与始终保持垂直
B．的最小值为
C．经过的平面截正方体所得截面面积的最小值为
D．以为球心，为半径的球面与平面的交线长为
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知向量和满足，，，则向量在向量上的投影向量为 .
13．欧拉是科学史上最多才的一位杰出的数学家，他发现的公式为，是虚数单位.将指数函数的定义域扩大到复数集，则在复平面内，复数对应的点在第 象限.
14．在中，在边上且平分，若，，则线段的长为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．数字人民币在数字经济时代中体现的价值、交易媒介和支付手段职能，为各地数字经济建设提供了安全、便捷的支付方式，同时也为金融监管、金融产品设计提供更多选择性和可能性.苏州作为全国首批数字人民币试点城市之一，并将他们按年龄（单位：岁）进行分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组.
(1)求直方图中a的值和第25百分位数；
(2)在这200位市民中用分层随机抽样的方法从年龄在和内抽取6位市民做问卷调查，求两名幸运市民年龄都在内的概率.
16．已知向量，向量与的夹角为，且.
(1)求向量的坐标；
(2)设向量，向量，若，求的最大值并求出此时x的取值集合.
17．在①；②；③设的面积为，且.这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上.并加以解答.
在中，角，，的对边分别为，，，已知 ，且.
(1)若，求的面积；
(2)若为锐角三角形，求的取值范围.（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
18．如图，在三棱锥中，平面平面，，，，分别为，的中点.

(1)求证：；
(2)若点在线段上，且平面，求；
(3)求二面角的正弦值.
19．我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对视为一个向量，记作.两个复向量，的线性运算定义为：，；两个复向量，的积记作，定义为；复向量的模定义为；若复向量与满足，则称复向量与平行.
(1)设，，求以及；
(2)对于实数，判断与能否平行，若能求出的值，若不能，说明理由；
(3)设，，，且复向量与平行，求复数.
参考答案
1．【答案】C
【分析】利用复数除法的法则及复数的概念即可求解.
【详解】.
所以的虚部为.
故选C.
2．【答案】B
【分析】将数据从小到大排列，然后按照百分位数的计算公式求解即可.
【详解】因为7个样本数据是从小到大排列的，且，
所以第75百分位数是第6个数2.80.
故选B.
3．【答案】C
【分析】利用独立事件的概率乘法公式求出该难题没被解出的概率，然后由对立事件的概率关系求解.
【详解】该难题没被解出的概率为，
所以该难题被解决出的概率为.
故选C.
4．【答案】A
【分析】先求出角，由正弦定理可得的外接圆的半径，进而可求面积.
【详解】在中，，，所以，
设的外接圆的半径为，
由正弦定理得，所以，
所以的外接圆的面积是.
故选A.
5．【答案】A
【分析】由可得的范围，可知，再由同角三角函数的基本关系和两角和的余弦公式求解即可得出答案.
【详解】因为，所以，所以，
所以，
所以
.
故选A.
6．【答案】D
【分析】利用线面垂直的性质定理，线面角的定义，面面平行的判定定理，即可逐个选项判断.
【详解】若，，则或，A错；
若，与所成的角相等，则或与相交或异面，B错；
若，，则与平行或相交，C错；
若，，所以，又，则，D正确.
故选：D.
7．【答案】D
【分析】根据题意，画出Venn图求解.
【详解】由题意得Venn图如下：
由图知，，
，，
所以事件与事件不互斥，，，，
故选D.
8．【答案】B
【分析】由题知该圆台的轴截面为等腰梯形，进而得，圆台，圆锥的高均为，再计算体积即可.
【详解】解：根据题意，该圆台的轴截面为等腰梯形，如图，

所以即为圆台母线与底面所成角，即，
分别过点、在平面内作，，垂足分别为点、，
因为，则四边形为矩形，且，
因为，，，
所以，，所以，，且，
因为，则，
所以，圆台，圆锥的高均为，
所以，该工业部件的体积为
.
故选：B.
9．【答案】AD
【分析】根据已知条件及扇形图的特点即可求解.
【详解】设招商引资前经济收入为，而招商引资后经济收入为.
对于A：招商引资前工资性收入为，而招商引资后的工资性收入为，所以工资净收入增加了，故A正确；
对于B：招商引资前转移净收入为，招商引资后转移净收入为，所以招商引资后，转移净收入是前一年的倍，故B错误；
对于C：招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和为，所以招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和低于该年经济收入的，故C错误；
对于D：招商引资前经营净收入为，招商引资后转移净收入为，所以招商引资后，经营净收入较前一年增加了一倍，故D正确.
故选AD.
10．【答案】ABD
【分析】根据向量共线的坐标表示判断A，利用特例说明C，由数量积的坐标表示计算BD.
【详解】因为，，
对于A：若，则，解得，故A正确；
对于B：若，则，解得，故B正确；
对于C：当时，此时，所以与共线同向，故C错误；
对于D：若，则，则，，，
所以，即与的夹角的余弦值为，故D正确；
故选ABD.
11．【答案】AC
【分析】根据正方体的性质，截面形状，结合空间中的垂直关系，以及空间中线段和最值的求解方法进行求解.
【详解】对于A：连接，由正方形的性质可得，由正方体的性质可得；
又，所以平面，
因为平面，所以；
同理可得，因为，所以平面；
因为平面，所以，故A正确；

对于B：把沿展开到与共面，如图，
则三点共线时，最小，且最小值为，
在中，，
由余弦定理可得，故B错误；

对于C：分别取的中点，连接，
由正方体的性质可知四边形是菱形，且是过面积最小的截面.
理由如下：过点作于，设，则；
由直角三角形性质可得；
，；
由可得，显然时，取到最小值，此时截面面积最小.
最小面积为，故C正确；

对于D：过点作于点，由平面，可得；
又因为，所以平面，
以为球心，为半径的球面被平面所截的圆面的圆心为，半径为，
则，所以，即，
以为球心，为半径的球面与平面的交线是以为圆心的圆周，
其长度为，故D错误.

故选AC.
12．【答案】
【分析】根据已知条件，结合投影向量的公式，即可求解.
【详解】，，，
则，解得，
故，
故向量在向量上的投影向量为.
13．【答案】四
【分析】利用复数的运算及复数的几何意义即可解决.
【详解】因为，则，，所以 .复数对应的点为，在第四象限.
14．【答案】
【分析】由结合三角形面积公式求解．
【详解】因为，，
又，
所以，
所以，解得.
15．【答案】(1)，30
(2)
【分析】（1）根据频率和为1可求a的值，判断第25百分位数在第二组，设为x，列方程可求解；
（2）用分层随机抽样的方法抽取年龄在的人数为4人，年龄在的人数为2人，利用列举法，根据古典概型概率公式求解即可.
【详解】（1），
解得，
因为第一组的频率为，，
第二组的频率为，，
所以第25百分位数在第二组，设为，则，
解得，
所以第25百分位数为30；
（2）年龄在的市民人数为，
年龄在的市民人数为，
用分层随机抽样的方法抽取年龄在的人数为人，
年龄在的人数为人，
设年龄在的7人为A，B，C，D，年龄在的2人为E，F，
从这6位市民中抽取两名的样本事件为，共15种，
其中2名年龄都在内的样本事件有，共6种，
所以两名幸运市民年龄都在内的概率为.
16．【答案】(1)或
(2)3，
【分析】（1）设出向量的坐标，利用向量数量积和向量的模建立方程组并求解；
（2）由（1）的结论结合确定向量，再求出并借助辅助角公式及正弦函数性质求解.
【详解】（1）设，依题意，，，而，
所以，解得或，
所以向量的坐标是或；
（2）向量，且，当时，，不符合题意，舍去，
当时，，符合题意，即，则，
，
因为，则当，即时，，
所以的最大值是3，此时x的取值集合是.
17．【答案】(1)选①，②，③，的面积都为
(2)
【分析】（1）若选①，由正弦定理化角为边，结合余弦定理求，利用余弦定理求，再由三角形面积公式求面积；若选②，通过三角恒等变换求，利用余弦定理求，再由三角形面积公式求面积；若选③，由条件结合三角形面积公式，余弦定理可求，利用余弦定理求，再由三角形面积公式求面积；
（2）由题意可求得，利用正切函数的性质可求，利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求，进而可求解的范围.
【详解】（1）若选①，设的外接圆的半径为，由正弦定理可得，
又，
所以，
所以，又，
所以，所以，又，
所以，
所以，所以，
又，，所以，
所以的面积；
若选②，由，
所以，
所以，结合三角形内角性质，
所以，
所以，所以，又，
所以，
所以，所以，
又，，所以，
所以的面积；
若选③，因为，又，
所以，又，
所以，所以，又，
所以，
所以，所以，
又，，所以，
所以的面积；
（2）由（1）可知，，
所以由正弦定理知，
因为为锐角三角形，，
所以，且，
解得，
所以，可得，
所以，
所以的取值范围是.
18．【答案】(1)证明见详解
(2)1
(3)
【分析】（1）利用面面垂直的性质定理得到平面，再利用线面垂直的判定及性质即可证明；
（2）取的中点，可得平面，即可得结果；
（3）先利用平面角的定义得到二面角的平面角为，在中可求得二面角的平面角的正弦值.
【详解】（1）因为，D为SB的中点，则，
且平面平面SBC，平面SAB，平面平面，
可得平面，由平面，可得，
又因为，即，
且，平面SAB，平面SAB，
可得平面SAB，
由平面SAB，可得；
（2）取的中点，连接，

因为分别为的中点，则，
且平面，平面，
可得平面，所以；
（3）取BD中点H，过H作于K，连接EK，
因为E,H分别为AB,BD的中点，则，
由（1）知，，则，，
且，平面SBC，平面SBC，
可得平面SBC，即平面BDC，
由平面BDC，可得，
且，，平面EHK，平面EHK，
可得平面EHK，
又因为平面EHK，则，
可知为二面角的平面角，

在中，，，，则，
在中，，，则，
由（1）可知平面SAB，平面SAB，则，
且，平面ABC，平面ABC，可得平面ABC，
由平面ABC，可得，
又因为D,E分别为SB,AB的中点，则，，
则，
在中，，，则，
在中，，，则，，
在中，，可得，
由平面SBC，HK平面SBC，可得EHHK，
在中，，
所以二面角的正弦值.
19．【答案】(1)
(2)不存在
(3)
【分析】（1）由新定义求解即可；
（2）通过，得,求解即可；
（3）设，由，得，求解即可.
【详解】（1），
；
（2），
得，
，
，
若与平行，则，
得，
得，而，则此方程无实数根，
故不存在实数m，使得与平行；
（3）设，
则，
得，
，
，
若与平行，则，
得，
得，
得，
得，
故复数.
【关键点拨】第二问及第三问，要利用若与平行，则，新定义去求解即可．