江苏省南通市海安高级中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题（含答案）

这是一份江苏省南通市海安高级中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题（含答案），共16页。试卷主要包含了若复数，则，若，则，已知，则，已知，下列说法中正确的是等内容，欢迎下载使用。
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若复数，则（ ）
A.5 B. C.10 D.
2.在中，，若点满足，以作为基底，则等于（ ）
A. B.
C. D.
3.已知，与同向的单位向量为的夹角为，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
4.窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.如图2，若正八边形的边长为是正八边形八条边上的动点，则的最小值为（ ）
A. B.0 C. D.
5.若，则（ ）
A.1 B. C. D.
6.已知，则（ ）
A. B. C. D.
7.如图，三点在半径为1的圆上运动，且是圆外一点，，则的最大值是（ ）
A.5 B.8 C.10 D.12
8.已知：，则（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9.下列说法中正确的是（ ）
A.平面向量的一个基底中，一定都是非零向量
B.在平面向量基本定理中，若，则
C.若单位向量的夹角为，则在上的投影向量是
D.表示同一平面内所有向量的基底是唯一的
10.已知，则（ ）
A. B.
C. D.
11.中华人民共和国国旗是五星红旗，国旗上每个五角星之所以看上去比较美观，是因其图形中隐藏着黄金分割数.连接正五边形的所有对角线能够形成一个标准的正五角星，正五角星中每个等腰三角形都是黄
金三角形.黄金三角形分两种：一种是顶角为的等腰三角形，其底边与一腰的长度之比为黄金比；一种是顶角为的等腰三角形，其一腰与底边的长度之比为黄金比.如图，正五角星中，，记，则（ ）
A.
B.
C.在上的投影向量为
D.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知，则__________.
13.向量满足，则的最大值为__________.
14.记的内角，已知，求的取值范围为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知.
（1）求；
（2）求.
16.（15分）已知向量满足，设与的夹角为，
（1）若对任意实数，不等式恒成立，求的值；
（2）根据（1）中与的夹角值，求与夹角的余弦.
17.（15分）如图，已知直线分别在直线上，是之间的定点，点到的距离分别为1，.设.
（1）用表示边的长度；
（2）若为等腰三角形，求的面积；
（3）设，问：是否存在，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.
18.（17分）如图，是单位圆上的相异两定点（为圆心），且（为锐角）.点为单位圆上的动点，线段交线段于点.
（1）求（结果用表示）；
（2）若
①求的取值范围；
②设，求的取值范围.
19.（17分）定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”（其中为坐标原点）.记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为.
（1）设，请问函数是否存在相伴向量，若存在，求出与共线的单位向量；若不存在，请说明理由.
（2）已知点满足：，向量的“相伴函数”在处取得最大值，求的取值范围.
2023-2024学年度第二学期高一年级阶段检测（一）
数学
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.【答案】B
【详解】因为，所以.
2.【答案】A
【详解】如图，因，则，
即，解得：.
3.【答案】D
【详解】向量在向量方向上的投影向量为.
4.【答案】C
【详解】设，
当与重合时，；
当在线段（除）､线段､线段，线段，线段（除）点上运动时，
，所以，
当与重合时，，所以，
以为原点，分别为轴建立平面直角坐标系，
根据正八边形的性质可知，
则，
直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为，
当在线段（除）上运动时，设，
所以，
当在线段上运动时，设，
所以，
当在线段（除）上运动时，设，
所以.
综上所述，的最小值为.
5.【答案】A
【详解】由，可得，解得，
又由.
6.【答案】D
【详解】由两边平方得：，而，则，
因此，
所以.
7.【答案】C
【详解】连接，如下图所示：
因为，则为圆的一条直径，故为的中点，
所以，
所以
.
当且仅当共线且同向时，等号成立，
因此，的最大值为10.
8.【答案】D
【详解】由
，则
.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9.【答案】ABC
【详解】选项，作为基底的两个向量一定不共线，零向量与任意向量共线，
因此一定都是非零向量，故A正确；
选项B，，由在同一基底下向量分解的唯一性，得，故B正确；
选项C，在方向上的投影向量为，故C正确；
选项，只要不共线的两个向量都可以作为基底，所以表示同一平面内所有向量的基底是不唯一的，故错误；
10.【答案】ACD
【详解】，
则，
选项正确；
选项错误；
，
C选项正确；
由，有，
选项正确.
11.【答案】ABD
【详解】因为，三角形为黄金三角形，
所以，可得，
由对称性可知，
，
所以，
，
可知，所以，
所以，即可得，
所以，故选项A正确；
在三角形中，有余弦定理可得，
，故选项B正确；
在上的投影向量为，故选项错误；
，
，
，
，
，
，
，具有周期性，
所以
，故选项D正确.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.【答案】
【详解】，
.
13.【答案】
【详解】因为，
所以，则，
则，所以，
又因为，所以，
则可设，则，
又因为，所以，
故又可设的坐标为，
所以，
因此，所以最大值为.
14.【答案】
【详解】
因为，
所以，
所以，
，
又因为，解得，所以，
而单调递减，
所以的取值范围为.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.【答案】（1）（2）
【详解】（1）解：因为，则，
所以.
（2）解：由（1）可得，
因为，则，
可得，
所以
.
16.【答案】（1）（2）.
【详解】（1）将不等式两边同时平方，
得，即
因为，设与的夹角为，
则恒成立，
所以，
即，解得.
（2）由（1）知，
则，
，则，
则，故与夹角的余弦值为.
17.【答案】（1）；（2）；（3）不存在使得
【详解】（1）由题意得，
因为，所以，
故；
（2）由（1）得，，故，即，
又，所以，即，
所以；
（3）由（1）得，，
故，
当且仅当，即时，等号成立，
又，当且仅当时，等号成立，
显然与不会同时成立，
故，不存在使得.
18.【答案】（1）（2）①；②
【详解】（1）.
（2）①.
设.由题意得，则
所以
.
因为，则
所以，所以最小值是0，最大值是3，则；
②设，
则，
所以，由得，
即，整理得，
所以，
所以.
令.
令，
，令
，
，则，即
在上单调递增，则
所以的取值范围是.
19.【答案】（1）存在，或
【详解】（1）因为
，
所以，函数存在相伴向量，，
所以，与共线的单位向量为或
.
（2）的“相伴函数”，
因为在处取得最大值，
所以，当，即时，有最大值，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以，
令，则，
因为均为上的单调递减函数，
所以在上单调递减，
所以，
所以，，
所以，的取值范围为.