吉林省长春市东北师范大学附属中学2023−2024学年高一下学期期末 数学试题（含解析）

这是一份吉林省长春市东北师范大学附属中学2023−2024学年高一下学期期末 数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知为虚数单位，复数，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，下列四个命题中正确的为（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
3．高一年级某位同学在五次考试中的数学成绩分别为105，90，104，106，95，这位同学五次数学成绩的方差为（ ）
A．20.2B．40.4C．50D．50.2
4．在直三棱柱中，，且，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
5．数据1，2，5，4，8，10，6的第60百分位数是（ ）
A．4.5B．5.5C．6D．8
6．已知圆台的上、下底面圆的半径分别为1和3，高为1，则圆台的表面积为（ ）
A．B．20πC．D．
7．某学校高一年级学生有900人，其中男生500人，女生400人，为了获得该校高一全体学生的身高信息，现采用样本量按比例分配的分层随机抽样方法抽取了容量为180的样本，经计算得男生样本的均值为170，女生样本的均值为161，则抽取的样本的均值为是（ ）
A．165.5B．166C．166.5D．168
8．棱长为2的正方体内有一个棱长为a的正四面体，且该正四面体可以在正方体内任意转动，则a的最大值为（ ）
A．1B．C．D．2
二、多选题（本大题共3小题）
9．某单位为了解员工参与一项志愿服务活动的情况，从800位员工中抽取了100名员工进行调查，根据这100人的服务时长（单位：小时），得到如图所示的频率分布直方图．则（ ）
A．a的值为0.018
B．估计员工平均服务时长为45小时
C．估计员工服务时长的中位数为48.6小时
D．估计本单位员工中服务时长超过50小时的有45人
10．正六边形ABCDEF的边长为2，G为正六边形边上的动点，则的值可能为（ ）
A．B．C．12D．16
11．如图，正三棱锥和正三棱锥的侧棱长均为，．若将正三棱锥绕BD旋转，使得点A，C分别旋转至点M，N处，且M，B，D，E四点共面，点M，E分别位于BD两侧，则（ ）
A．B．
C．MC的长度为D．点C与点A旋转运动的轨迹长度之比为
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知复数，复数满足，则的最小值为 ．
13．设正方体的棱长为1，E，F分别为AB，的中点，点M在正方体的表面上运动，且满足，则点M轨迹的长度为 ．
14．有两个相同的直三棱柱，高为2，底面三角形的三边长分别为．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，拼成的几何体的表面积最小值是 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，．
(1)若，，求A；
(2)若，求周长的最大值．
16．在四棱锥中，平面ABCD，，，，，E为PD中点．
(1)求证：平面PAB；
(2)求直线CE与平面PAD所成的角的正弦值．（要求用几何法解答）
17．近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行营销形式.某直播平台有1000个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图①所示.为了更好地服务买卖双方，该直播平台打算用分层抽样的方式抽取80个直播商家进行问询交流.
(1)应抽取小吃类、生鲜类商家各多少家？
(2)在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的80个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得频率直方图如图②所示.
（i） 估计该直播平台商家平均日利润的75百分位数与平均数（求平均数时同一组中的数据用该组区间中点的数值为代表）；
（ii） 若将平均日利润超过480元的商家称为“优质商家”，估计该直播平台“优质商家”的个数.
18．如图，已知正方体的棱长为2，M为棱的中点．
(1)证明：；
(2)求平面与平面ABCD所成二面角的余弦值．
（要求用几何法解答）
19．定义：球的直径的两个端点称为球的一对对径点；过球心的平面与球面的交线称为该球的大圆；对于球面上不在同一个大圆上的点A，B，C，过任意两点的大圆上的劣弧AB，劣弧BC，劣弧CA所组成的图形称为球面，记其面积为．易知：球的任意两个大圆均可交于一对对径点，如图1的A，；若球面上A，B，C的对径点分别为，，，则球面与球面全等，如图2．已知球O的半径为R，圆弧AB和圆弧AC所在平面组成的锐二面角的大小为α，圆弧BA和圆弧BC所在平面组成的锐二面角的大小为β，圆弧CA和圆弧CB所在平面组成的锐二面角的大小为．记．
(1)请写出，，的值，并猜测函数的表达式；
(2)求（用α，β，γ，R表示）．
参考答案
1．【答案】D
【分析】利用复数的四则运算求解即可.
【详解】因为，
所以.
故选D.
2．【答案】D
【分析】利用点、线、面的位置关系即可得出答案.
【详解】对于A项，若，，则可能相交，故A错误；
对于B项，若，，则可能，故B错误；
对于C项，若，，则可能相交或平行，故C错误；
对于D项，若，在平面内能找到直线，使得，
由，可得，又因为，则，故D正确.
故选D.
3．【答案】B
【分析】根据题中数据结合平均数、方差公式运算求解.
【详解】由题意可得：数学成绩平均数为，
所以数学成绩的方差为.
故选B.
4．【答案】A
【分析】先找到异面直线与所成角为（或其补角）,再通过解三角形求出它的余弦值.
【详解】如图分别取的中点，
连接，因为，
所以异面直线与所成角即为直线与所成角，即（或其补角），
设，由，
所以，，
，
，
所以由余弦定理可得：.
则异面直线与所成角的余弦值是.
故选A.
5．【答案】C
【分析】对这7个数按从小到大的顺序排列，然后根据百分位数的定义求解.
【详解】这7个数从小到大排列为：1，2，4，5，6，8，10，
因为，
所以第60百分位数是第5个数，即是6.
故选C.
6．【答案】C
【分析】根据题意求出圆台的母线长，再利用圆台的表面积公式求解即可.
【详解】设圆台的母线长为，则，
所以圆台的表面积为.
故选C.
7．【答案】B
【分析】由样本均值计算公式，代入数据即可求得；
【详解】抽取的样本的均值近似于总体的均值，
由题意可得：，，
抽取的样本的均值为.
故选B.
8．【答案】B
【分析】棱长为的正四面体的外接球的半径为1，设正四面体为，过作平面，垂足为，连接，表示出，然后结合图形利用勾股定理列方程求解
【详解】
棱长为2的正方体内切球的半径为1，
因为正四面体可以在正方体内任意转动，所以只需该正四面体为球的内接正四面体，换言之，棱长为的正四面体的外接球的半径为1，
设正四面体为，过作平面，垂足为，连接，为底面正的中心，
则，体高为，
由于外接球半径为1，利用勾股定理得：，解得或(舍)，
故选B.
9．【答案】AC
【分析】对于A项，根据各组的频率和为1可求出；对于B项，利用平均数的定义求解判断；对于C项，先判断中位数的位置，然后列方程求解即可；对于D项，根据频率分布直方图求出服务时长超过50小时的频率，再乘以800进行判断.
【详解】对于A项，由频率分布直方图得，
解得，所以A正确，
对于B项，员工平均服务时长为，所以B错误，
对于C项，因为前2组的频率和为，前3组的频率和为，
所以中位数在第3组，设中位数为，则，
解得，所以C正确，
对于D项，因为服务时长超过50小时的频率为，
所以本单位员工中服务时长超过50小时的约有人，所以D错误.
故选AC.
10．【答案】ABC
【分析】利用投影向量求解向量数量积，得到的最小值和最大值，得到答案.
【详解】连接与相交于点，由正六边形的几何性质，，，
正六边形ABCDEF的边长为2，所以，，
所以，
所以点在上的投影为，
当点与点重合时，此时的投影向量为，与方向相同
此时取得最大值，最大值为，
所以当与重合时，的投影向量为，与方向相反，
此时取得最小值，最小值为，
所以，所以ABC项正确，D项错误.
故选ABC.
【方法总结】用向量法解决平面(解析)几何问题的两种方法
(1)几何法：选取适当的基(基中的向量尽量是已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算．
(2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算．一般地，存在坐标系或易建坐标系的题目适合用坐标法．
11．【答案】ACD
【分析】对于A项，先作出图形，取中点，证明平面，即可得到；对于B项，分别证明平面,平面，可推得，排除B；对于C项,先求得，再由余弦定理即可求得，对于D项，只需求出两点的旋转半径即可求得.
【详解】
如图，取中点，连接,依题意，,则有
因为平面,则平面.
对于A项，因为将正三棱锥绕BD旋转，使得点A，C分别旋转至点M，N处，
所以平面,
因为平面，所以,所以A正确；
对于B项，因为,则由可知，,同理,
因为平面,所以平面,同理可证平面,
依题意，因M，B，D，E四点共面，所以平面,所以,所以B错误；
对于C项，设连接，交于点，则,,,
则，依题意三点共线，可得,
在中，由余弦定理，
,所以C正确；
对于D项，因点C与点A是同时旋转，所以转动的轨迹长度之比即旋转的半径之比，
而点转动的半径为,点转动的半径为,
所以点C与点A旋转运动的轨迹长度之比为，所以D正确.
故选ACD.
【思路导引】本题主要考查余几何体旋转有关的线面关系问题.问题的关键在于正确作出图形，理解旋转前后的变与不变的量，通过线面关系的推理与证明，即可得到线面关系，借助于正、余弦定理进行相关计算，即可解决.
12．【答案】2.
【分析】设，代入中化简可得，则点在以为圆心，3为半径的圆上，从而可求得结果.
【详解】设，因为，，
所以，
所以，
所以点在以为圆心，3为半径的圆上，
所以的最小值为.
故答案为：2.
13．【答案】.
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解出点M轨迹的长度.
【详解】
在正方体中，棱长为1，
以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，
所以设，则，
因为，所以，
当时，，当时，，
取，连接，
则，所以四边形为矩形，
则，，
即为平面中的两条相交直线，所以平面，
又，又F为的中点，则平面，
为使，必有点平面，又点在正方体表面上运动，
所以点的轨迹为四边形，因为，
则点的轨迹不是正方形，则矩形的周长为.
故答案为：.
14．【答案】52.
【分析】先分情况分别求解组成三棱柱和四棱柱时的表面积，再比较大小得出最小值即可.
【详解】记两直三棱柱为直三棱柱和直三棱柱，如图所示：

当拼成一个三棱柱时，表面积有三种情况：
①上下底面对接，其表面积为；

②边长为的边合在一起时，表面积为；
③边长为的边合在一起时，表面积为.

当拼成一个四棱柱时，有四种情况，如图④、⑤、⑥、⑦：

图④的表面积，
图⑤的表面积，

图⑥的表面积，
图⑦的表面积.
综上所述，拼成的几何体的表面积最小值是.
故答案为：.
15．【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用正弦定理直接求解；
（2）根据余弦定理结合基本不等式得，从而可求出周长的最大值．
【详解】（1）由正弦定理知，所以，解得，
因为B为钝角，所以．
（2）由余弦定理得，
又由，，则，
所以，
所以，当且仅当时，等号成立，
即的最大值为4，
所以周长的最大值为．
16．【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）取AD中点G，根据平行关系可证平面平面PAB，结合面面平行的性质分析证明；
（2）根据题意可证平面PAD，可知为CE与平面PAD所成的角，即可得结果.
【详解】（1）取AD中点G，连接EG，CG，
因为E、G分别为PD、AD中点，则，，
且平面PAB，平面PAB，可得平面PAB，
由题意可知：，且，可知为平行四边形，
则，，
且平面PAB，平面PAB，可得平面PAB，
且，平面，所以平面平面PAB，
又因为平面ECG，所以平面PAB．
（2）因为平面ABCD，平面ABCD，则
又因为，，平面PAD，可得平面PAD，
由（1）可知：，则平面PAD，
可知为CE与平面PAD所成的角，
在直角三角形CEG中，由（1）可知：，
则，
所以直线CE与平面PAD所成的角的正弦值.
17．【答案】(1)小吃类28家，生鲜类12家
(2)（i）75百分位数为487.5元，平均数为440元，（ii）个数为280
【分析】（1）由题意求出小吃类所占的百分比，进而求出应抽取小吃类、生鲜类商家的数目；
（2）（i）由频率分布直方图中各个小矩形的面积之和1 ，求出a ，再由百分位数和平均数的计算公式求解即可；（ii） 先求出平均日利润超过480元的商家所占的比列，即可得出答案.
【详解】（1）根据分层抽样知：
应抽取小吃类80×1-30%-15%-10%-5%-5%=28 家，生鲜类80×15%=12 家，
所以应抽取小吃类28家，生鲜类12家.
（2）（i）根据题意可得0.002×3+2a+0.006×50=1 ，解得a=0.004 ，
设75百分位数为x，因为0.002+0.004+0.006×50=0.6 ，第四组频率为0.2，
所以x-450×0.004+0.6=0.75 ，解得x=487.5 ，
所以该直播平台商家平均日利润的75百分位数为487.5元.
平均数为325×0.002+375×0.004+425×0.006+475×0.004+525×0.002+575×0.002×50=440 ，
所以该直播平台商家平均日利润的平均数为440元.
（ii）500-48050×0.004+0.002+0.002×50×1000=280 ，
所以估计该直播平台“优秀商家”的个数为280.
18．【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）连接BD，则，由线面垂直的判定定理可证得，从而可证得结论；
（2）延长、DB交于点E，则直线AE为平面与平面ABCD的交线，过点M，作，垂足为N，连接BN，则可得与平面ABCD所成二面角的平面角，然后在中求解即可.
【详解】（1）证明：连接BD，因为四边形为正方形，所以，
因为平面，平面，所以，
因为，平面，
所以平面，
因为平面，所以．
（2）延长、DB交于点E，则直线AE为平面与平面的交线，过点M，作，垂足为N，连接BN，
因为平面，平面，所以，
因为，，所以平面，
因为平面，所以，
所以所成二面角的平面角，
因为，所以∽，
所以，所以，
在中，，，
所以，
所以
因为，
所以，
所以，
所以
所以平面与平面ABCD所成二面角的余弦值为．
【方法总结】求空间角的常用方法
（1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应三角形，即可求出结果；
（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量夹角（直线方向向量与直线方向向量、直线方向向量与平面法向量、平面法向量与平面法向量）的余弦值，通过转化求出结果.
19．【答案】(1)，，；猜测；
(2).
【分析】（1）结合图形理解题意，根据的计算公式，分别求出，，，并按照规律猜出的表达式即得；
（2）分别计算并相加，利用八块球面拼接成一个球面，以及，将其化简，代入（1）猜测的公式，即可求得的解析式.
【详解】（1），
，
．
猜测．
（2）
因为，
所以，
即．
【思路导引】本题主要考查球面三角形表面积的新定义问题.解题的思路是结合图形，充分理解题意，正确列出关系式，并根据图形进行表面积合并整理，即可求得.